Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la qual el cos d'escalars és substituït per un anell.
Sigui
un anell i
un grup abelià. El grup
té estructura de
-mòdul per l'esquerra si l'anell
opera linealment per l'esquerra sobre els elements de
, és a dir, si hi ha una operació externa de
sobre
:
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times M&\longrightarrow &M\\(\lambda ,x)&\longmapsto &\lambda x\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc3029e5e11a4f2a5c1fc32bf650e5f6c5a9d79)
amb les condicions de linealitat
|
|
|
per a
i
. Si, a més, l'anell té unitat, es demana que
|
Si l'operació externa és per la dreta,
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}M\times A&\longrightarrow &M\\(x,\lambda )&\longmapsto &x\lambda \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83145a947f1bc59a502f50779f649f0a50d54ca2)
amb les corresponents condicions de linealitat:
|
|
|
aleshores es tracta d'un
-mòdul per la dreta.
Si l'anell
és commutatiu, aleshores és possible la identificació
, perquè les condicions
i
ja no són contradictòries. Aleshores
té estructura de
-mòdul bilàter o, simplement, d'
-mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un
-mòdul per l'esquerra.
- Si
és un anell, ell mateix es pot considerar com a
-mòdul de manera natural:
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times A&\longrightarrow &A\\(x,y)&\longmapsto &xy\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96591689363f8f73b2f84c9754ad7d36b0fecae4)
- Els grups commutatius són
-mòduls. En efecte, si
és un grup commutatiu (notació additiva) i
, l'operació externa de
sobre
donada per:
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathbb {Z} \times G&\longrightarrow &G\\(n,g)&\longmapsto &{\begin{cases}\overbrace {g+g+\cdots +g} ^{n},{\mbox{ si }}n>0\\0,{\mbox{ si }}n=0\\-(\overbrace {g+g+\cdots +g} ^{n}),{\mbox{ si }}n<0\end{cases}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c36380a03376feb102f1e8829d2eb2b94336ff5)
- dota el grup
d'una estructura de
-mòdul.
- Els espais vectorials sobre un cos
són
-mòduls.
- Si
és l'anell d'endomorfismes d'un
-mòdul
, l'operació externa
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Hom} _{A}(E)\times M&\longrightarrow &M\\(\varphi ,x)&\longmapsto &\varphi (x)\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab292c3d94485b21dd3d2092e3435af29082e7f5)
- fa que
es pugui considerar un
-mòdul.
- Si
és un anell i
n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi
, amb l'operació
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times {\mathfrak {a}}&\longrightarrow &{\mathfrak {a}}\\(x,a)&\longmapsto &xa\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0667d91eaa5895ba4872c5aea55e4d27bb8098)
- és un
-mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot
i tot
, el producte
pertany a
.
Viccionari