„Substitution (Mathematik)“ – Versionsunterschied
[gesichtete Version] | [gesichtete Version] |
Änderung 154271728 von 80.187.109.185 rückgängig gemacht; warum nicht t? |
|||
(28 dazwischenliegende Versionen von 21 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Unter '''Substitution''' versteht man in der [[Mathematik]] allgemein das Ersetzen eines [[Term]]s durch einen anderen mit dem Ziel der Überführung des Ausgangsterms in eine einfach lösbare Standardform. |
Unter '''Substitution''' versteht man in der [[Mathematik]] allgemein das Ersetzen eines [[Term]]s durch einen anderen mit dem Ziel der Überführung des Ausgangsterms in eine einfach lösbare Standardform. |
||
Die Substitution wird unter anderem verwendet um [[biquadratische Gleichung]]en zu lösen oder um [[Integration durch Substitution|Integrale mittels Substitution]] zu bestimmen. |
Die Substitution wird unter anderem verwendet, um [[biquadratische Gleichung]]en zu lösen oder um [[Integration durch Substitution|Integrale mittels Substitution]] zu bestimmen. |
||
== Beispiel == |
|||
== Beispiele == |
|||
[[Datei:Substitutionsbeispiel.jpg|mini|Funktionsgraphen vor und nach der Substitution]] |
[[Datei:Substitutionsbeispiel.jpg|mini|Funktionsgraphen vor und nach der Substitution]] |
||
⚫ | Folgendes Beispiel nutzt die Substitution um die [[Lösungsmenge]] einer gegebenen biquadratischen Gleichung bzw. die [[Nullstelle]]n einer [[Ganzrationale Funktion|ganzrationalen Funktion]] bzw. eines [[Polynom |
||
=== Biquadratische Gleichung === |
|||
⚫ | Folgendes Beispiel nutzt die Substitution, um die [[Lösungsmenge]] einer gegebenen biquadratischen Gleichung bzw. die [[Nullstelle]]n einer [[Ganzrationale Funktion|ganzrationalen Funktion]] bzw. eines [[Polynom]]s 4. Grades zu bestimmen.<ref>{{Literatur|Autor=Jan Peter Gehrk|Titel=Mathematik im Studium: Brückenkurs für Wirtschafts- und Naturwissenschaften|Verlag=[[R. Oldenbourg Verlag]]|Jahr=2010|Ort=München|ISBN=978-3486599107|Seiten=116–117}}</ref> |
||
Die Gleichung |
Die Gleichung |
||
:<math>x^4 + x^2 - 2 = 0</math> |
:<math>x^4 + x^2 - 2 = 0</math> |
||
lässt sich durch die Substitution |
lässt sich durch die Substitution |
||
<math>t=x^2</math> |
<math>t:=x^2</math> |
||
in |
in |
||
:<math>t^2 + t - 2 = 0</math> |
:<math>t^2 + t - 2 = 0</math> |
||
überführen. Diese [[quadratische Gleichung]] lässt sich nun mit Standardverfahren wie zum Beispiel mit der [[ |
überführen. Diese [[quadratische Gleichung]] lässt sich nun mit Standardverfahren wie zum Beispiel mit der [[p-q-Formel]] lösen. Man erhält als Lösungen |
||
<math>t_1=1</math> und <math>t_2=-2</math>. |
<math>t_1=1</math> und <math>t_2=-2</math>. |
||
Durch Rücksubstitution erhält man für <math>x</math> |
Durch Rücksubstitution erhält man für <math>x</math> die Gleichungen |
||
:<math> |
: <math>x^2=1</math> |
||
mit den Lösungen <math>x_1 = 1</math> und <math>x_2 = -1</math> sowie |
|||
: <math>x^2=-2</math> |
|||
⚫ | |||
mit den [[Komplexe Zahl|komplexen]] Lösungen <math>x_3 = i \sqrt{2}</math> und <math>x_4 = -i \sqrt{2}</math>. |
|||
⚫ | |||
=== Gleichung mit Exponentialfunktion === |
|||
Nun soll die Gleichung |
|||
:<math>\exp(2x) - 2\, \exp(x) - 3 = 0</math> |
|||
gelöst werden, wobei <math> \exp(x) = e^x </math> die natürliche [[Exponentialfunktion]] ist. Diese Gleichung lässt sich durch die Substitution <math>t:=\exp(x) </math> umformulieren zu |
|||
:<math>t^2 - 2t - 3 = (t-3)(t+1) = 0, </math> |
|||
mit Lösungen <math>t_1=3, t_2=-1, \, </math> wodurch <math>x_1= \ln(t_1) = \ln(3) \in \mathbb{R} , \, \, x_2= \ln(t_2) = \ln(-1) = i \pi \in \Complex \setminus \mathbb{R} .</math> Somit ist die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung <math>\{\ln(3) \}</math> in <math>\R</math> bzw. <math>\{\ln(3), \ln(-1)\} = \{\ln(3), i \pi \}</math> in <math>\Complex</math>. |
|||
== Siehe auch == |
== Siehe auch == |
||
* [[Substitution (Logik)]] |
* [[Substitution (Logik)]] |
||
* [[Symmetrische Gleichung#4. Grades]] |
* [[Symmetrische Gleichung#Symmetrische Gleichung 4. Grades|Symmetrische Gleichung]] |
||
* [[Integration durch Substitution]] |
|||
== Einzelnachweise == |
== Einzelnachweise == |
Aktuelle Version vom 18. Februar 2023, 18:09 Uhr
Unter Substitution versteht man in der Mathematik allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen anderen mit dem Ziel der Überführung des Ausgangsterms in eine einfach lösbare Standardform. Die Substitution wird unter anderem verwendet, um biquadratische Gleichungen zu lösen oder um Integrale mittels Substitution zu bestimmen.
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Biquadratische Gleichung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Folgendes Beispiel nutzt die Substitution, um die Lösungsmenge einer gegebenen biquadratischen Gleichung bzw. die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion bzw. eines Polynoms 4. Grades zu bestimmen.[1]
Die Gleichung
lässt sich durch die Substitution in
überführen. Diese quadratische Gleichung lässt sich nun mit Standardverfahren wie zum Beispiel mit der p-q-Formel lösen. Man erhält als Lösungen und . Durch Rücksubstitution erhält man für die Gleichungen
mit den Lösungen und sowie
mit den komplexen Lösungen und . Die Ausgangsgleichung hat somit als Lösungsmenge in bzw. in .
Gleichung mit Exponentialfunktion
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Nun soll die Gleichung
gelöst werden, wobei die natürliche Exponentialfunktion ist. Diese Gleichung lässt sich durch die Substitution umformulieren zu
mit Lösungen wodurch Somit ist die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung in bzw. in .
Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Jan Peter Gehrk: Mathematik im Studium: Brückenkurs für Wirtschafts- und Naturwissenschaften. R. Oldenbourg Verlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59910-7, S. 116–117.