Entscheidung unter Risiko

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Von einer Entscheidung unter Risiko spricht man im Rahmen der Entscheidungstheorie dann, wenn der Entscheidungsträger die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der möglichen Umweltzustände kennt. Diese Wahrscheinlichkeiten können sowohl objektiv bekannt sein (Lotto, Roulette) oder auf subjektiven Schätzungen (z. B. aufgrund von Erfahrungswerten) beruhen.

Allgemeines

„Entscheidung unter Risiko“ ist nach dem üblichen Sprachgebrauch ein Unterfall der Entscheidung unter Unsicherheit. Während man bei Kenntnis von Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände von Risiko spricht, liegt eine Entscheidung unter Ungewissheit vor, wenn man zwar die möglichen Umweltzustände kennt, jedoch keine Eintrittswahrscheinlichkeiten angeben kann.

Bei Entscheidungen unter Risiko liegt eine sogenannte Ergebnismatrix vor, die das Entscheidungsproblem darstellt: Der Entscheider hat die Wahl zwischen verschiedenen Alternativen $a_{i}$ , die abhängig von den möglichen Umweltzuständen $s_{j}$ verschiedene Ergebnisse $e_{ij}$ zur Folge haben. Die Eintrittswahrscheinlichkeiten $w_{j}$ der verschiedenen Umweltzustände sind bekannt, wobei gilt: $0\leq w_{j}\leq 1$ und $\sum _{j}w_{j}=1$ .

Ergebnismatrix
Entscheidung unter Risiko
	$w_{1}$	$\dots$	$w_{j}$	$\dots$	$w_{n}$
	$s_{1}$	$\dots$	$s_{j}$	$\dots$	$s_{n}$
$a_{1}$	$e_{11}$		$e_{1j}$		$e_{1n}$
$\vdots$
$a_{i}$	$e_{i1}$		$e_{ij}$		$e_{in}$
$\vdots$
$a_{m}$	$e_{m1}$		$e_{mj}$		$e_{mn}$

Beispiel

100 € sollen für ein Jahr angelegt werden. Zur Wahl stehen: eine Aktie ( $a_{1}$ ) oder der Sparstrumpf, der keine Zinsen abwirft ( $a_{2}$ ). Die möglichen Umweltzustände sind: Der Aktienkurs steigt ( $s_{1}$ ), er sinkt ( $s_{2}$ ) oder er bleibt gleich ( $s_{3}$ ).

Die Ergebnismatrix sieht dann zum Beispiel wie folgt aus:

	$p(s_{1})=w_{1}$ $s_{1}$	$p(s_{2})=w_{2}$ $s_{2}$	$p(s_{3})=w_{3}$ $s_{3}$
$a_{1}$	$e_{11}=$ 120	$e_{12}=$ 80	$e_{13}=$ 100
$a_{2}$	$e_{21}=$ 100	$e_{22}=$ 100	$e_{23}=$ 100

Der Entscheider rechnet mit einer Wahrscheinlichkeit von $w_{1}$ damit, dass der Aktienkurs steigt, mit einer Wahrscheinlichkeit von $w_{2}$ rechnet er mit einem Sinken des Aktienkurses und mit einer Wahrscheinlichkeit von $w_{3}$ bleibt der Kurs unverändert.

Klassische Entscheidungsregeln

Die folgenden Entscheidungsregeln werden auch als klassische Entscheidungsregeln bezeichnet.^[1]

Die Bayes-Regel

Bei der Bayes-Regel (auch μ-Regel, Erwartungswert-Regel oder Erwartungswert-Prinzip) orientiert sich der Entscheider nur nach den Erwartungswerten.

\max _{i}:\varphi {}_{a_{i}}=\mathbb {E} (e_{i})=\mu {}_{i}=\sum _{j}w{}_{j}\cdot e_{ij}

Da nur der Erwartungswert der jeweiligen Alternative $a_{i}$ bewertet wird, ist der Entscheider risikoneutral, er ist beispielsweise indifferent hinsichtlich der Teilnahme an einer Lotterie per Münzwurf, in der er mit 50 % Wahrscheinlichkeit 1 € gewinnt und mit 50 % Wahrscheinlichkeit 1 € verliert. Im obigen Beispiel ist der dann indifferent, wenn gilt: $e_{11}\cdot w_{1}+e_{12}\cdot w_{2}+e_{13}\cdot w_{3}=100$ (da unabhängig von den Wahrscheinlichkeiten $w_{j}$ eine sichere „Auszahlung“), hier also: $120\cdot w_{1}+80\cdot w_{2}+100\cdot w_{3}$ . Indifferenz würde z. B. vorliegen bei Gleichverteilung, wenn also gilt: $w_{1}=w_{2}=w_{3}={\frac {1}{3}}$ .

Ist Gleichwahrscheinlichkeit gegeben, liegt ein Spezialfall der Bayes-Regel vor, die Laplace-Regel.

Bewertung

Das Beispiel des Sankt-Petersburg-Paradoxons zeigt, dass die Berücksichtigung von Erwartungswerten nicht in allen Fällen dem Entscheidungsverhalten von Menschen in der Realität entspricht. Bei der Sankt-Petersburg-Lotterie wird eine faire Münze (d. h. Kopf und Zahl erscheinen jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 %) geworfen. Der Spieler erhält als Auszahlung:

$2\ \mathrm {\euro}$ , wenn bereits beim ersten Wurf Kopf erscheint
$4\ \mathrm {\euro}$ , wenn erst beim zweiten Wurf Kopf erscheint
…
$2^{n}\ \mathrm {\euro}$ , wenn erst beim $n$ -ten Wurf Kopf erscheint

Der Erwartungswert entspricht hierbei $\mathbb {E} (X)={\frac {1}{2}}\cdot 1+{\frac {1}{4}}\cdot 2+{\frac {1}{8}}\cdot 4+\dotsb =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\cdot 2^{k-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over 2}=\infty .$

Gemäß der Bayes-Regel wäre ein Entscheider bereit, jeden noch so hohen Betrag – also sein gesamtes Vermögen – für die Teilnahme an der Lotterie zu bezahlen, da der erwartete Gewinn unendlich groß ist. In der Realität ist jedoch kaum jemand bereit, sein gesamtes Vermögen gegen die Teilnahme an der Sankt-Petersburg-Lotterie zu tauschen.^[2]

Die μ-σ-Regel

In der μ-σ-Regel oder Erwartungswert-Varianz-Prinzip und deshalb eigentlich μ-σ²-Regel, findet die Risikoeinstellung des Entscheiders dadurch Berücksichtigung, dass auch die Standardabweichung berücksichtigt wird. Bei risikoneutralen Entscheidern entspricht sie der Bayes-Regel, bei risikoaversen (risikoscheuen) Entscheidern sinkt die Attraktivität einer Alternative $a_{i}$ mit zunehmender Standardabweichung. Bei risikofreudigen Entscheidern steigt die Attraktivität hingegen.

Der Entscheider wählt die Alternative, die seine Präferenzfunktion maximiert:

\max _{i}:\varphi _{a_{i}}=\Phi (\mu _{i},\sigma _{i})

Eine mögliche Form der μ-σ-Regel ist zum Beispiel:^[3]

\Phi (\mu _{i},\sigma _{i})=\mu _{i}-\alpha \cdot \sigma _{i}

$\alpha$ beschreibt hierbei den Risikoaversionsparameter.

Für $\alpha <0$ gilt: Der Entscheider ist risikofreudig, eine Alternative mit einem höheren $\sigma$ wird einer Alternative mit gleichem Erwartungswert $\mu$ aber niedrigerem σ vorgezogen.
Für $\alpha >0$ gilt: Der Entscheider ist risikoavers, eine Alternative mit niedrigerem $\sigma$ wird einer Alternative mit gleichem Erwartungswert, aber höherem $\sigma$ vorgezogen.
Für $\alpha =0$ entspricht die Regel der Bayes-Regel, der Entscheider ist risikoneutral, die Standardabweichung $\sigma$ hat keinen Einfluss auf die Bewertung der Alternativen.

Bernoulli-Prinzip

Das Bernoulli-Prinzip wurde von Daniel Bernoulli zur Auflösung des Sankt-Petersburg-Paradoxons vorgeschlagen und gilt unter gewissen Annahmen als rationales Entscheidungskriterium.^[4]

Beim Bernoulli-Prinzip werden die Ergebnisse $e_{ij}$ erst mit Hilfe einer Nutzenfunktion (manchmal auch Risikonutzenfunktion genannt) in Nutzenwerte umgewandelt. Die individuelle Nutzenfunktion $u(e_{ij})$ spiegelt dabei die Risikoeinstellung des Entscheiders wider.

Dabei steht eine konkave Funktion für einen risikoaversen Entscheider (z. B. Wurzelfunktion im 1. Quadranten),
eine konvexe Funktion für einen risikofreudigen Entscheider (z. B. Quadratfunktion im 1. Quadranten)
und schließlich eine lineare Funktion für eine risikoneutrale Haltung.

Es ist allerdings auch möglich, dass die Nutzenfunktion sowohl konkave als auch konvexe Bereiche aufweist. Dies bildet zum Beispiel die empirisch beobachtbare Tatsache ab, dass Menschen sowohl Lotto spielen (Risikofreude), als auch Versicherungen abschließen (Risikoaversion).^[2]

Gewählt wird die Alternative, die den Erwartungswert der Nutzenfunktion maximiert:

\max _{i}:\varphi _{a_{i}}=\mathbb {E} {\bigl [}u(e_{i}){\bigr ]}=\sum _{j}w_{j}\cdot u(e_{ij})

Beispiel

100 € sollen für ein Jahr angelegt werden. Zur Wahl stehen: eine Aktie ( $a_{1}$ ) oder der Sparstrumpf, der keine Zinsen abwirft ( $a_{2}$ ). Die möglichen Umweltzustände sind: Der Aktienkurs steigt ( $s_{1}$ ), er sinkt ( $s_{2}$ ) oder er bleibt gleich ( $s_{3}$ ).
Der Entscheider rechnet mit einer Wahrscheinlichkeit von $w_{1}=30\ \%$ damit, dass der Aktienkurs steigt, mit einer Wahrscheinlichkeit von $w_{2}=50\ \%$ rechnet er mit einem Sinken des Aktienkurses und mit einer Wahrscheinlichkeit von $w_{3}=20\ \%$ bleibt der Kurs unverändert.

Für den Entscheider wird die Nutzenfunktion $u(e_{ij})={\sqrt {e_{ij}}}$ angenommen.

	$p(s_{1})=30\ \%$ $s_{1}$	$p(s_{2})=50\ \%$ $s_{2}$	$p(s_{3})=20\ \%$ $s_{3}$	$\sum _{j}w_{j}\cdot u(e_{ij})$ $s_{3}$
$a_{1}$	$e_{11}=$ 120	$e_{12}=$ 80	$e_{13}=$ 100	$0,3\cdot {\sqrt {120}}+0,5\cdot {\sqrt {80}}+0,2\cdot {\sqrt {100}}=9,758$
$a_{2}$	$e_{21}=$ 100	$e_{22}=$ 100	$e_{23}=$ 100	$0,3\cdot {\sqrt {100}}+0,5\cdot {\sqrt {100}}+0,2\cdot {\sqrt {100}}=10$

Bei Anwendung des Bernoulli-Prinzips erhält man den höchsten Nutzenwert von $10$ bei $a_{2}$ . Somit ist diese Alternative auszuwählen. Die Form der Nutzenfunktion $u(e_{ij})={\sqrt {e_{ij}}}$ ist konkav, deshalb ist die Risikoeinstellung des Entscheiders risikoavers.

Verhältnis zu den klassischen Entscheidungskriterien

Bei einer linearen Nutzenfunktion der Form $u(e_{ij})=a\cdot e_{ij}+b$ entspricht das Bernoulli-Prinzip der Bayes-Regel.

Die μ-σ-Regel ist im Allgemeinen nicht mit dem Bernoulli-Prinzip vereinbar, d. h. eine Präferenzfunktion im Sinne der μ-σ-Regel kann nicht in allen Fällen durch eine äquivalente Nutzenfunktion abgebildet werden und umgekehrt. Möglich ist dies z. B. bei einer quadratischen Nutzenfunktion der Form $u(e_{ij})=a\cdot e_{ij}^{2}+b\cdot e_{ij}+c$ , welche zu einer Präferenzfunktion der Form $\Phi (\mu _{i},\sigma _{i})=b\cdot \mu _{i}+a\cdot \mu _{i}^{2}+a\cdot \sigma _{i}^{2}$ führt, oder bei normalverteilten zukünftigen Renditen auch in weiteren Fällen.^[3]

Siehe auch

Literatur

Helmut Laux, Robert M. Gillenkirch, Heike Y. Schenk-Mathes: Entscheidungstheorie. 9. Auflage. Springer Gabler, 2014, doi:10.1007/978-3-642-55258-8.

Weblinks

Ergebnismatrix, Erwartungswert-Regel, Erwartungswert-Varianz-Prinzip, Bernoulli-Prinzip im Gabler-Wirtschaftslexikon.
Entscheidung bei Risiko auf hans-markus.de

Einzelnachweise

↑ Laux (2014), Kap. 4.6
↑ ^a ^b Laux (2014), S. 105 f.
↑ ^a ^b Werner Gothein: Evaluation von Anlagestrategien. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1995, S. 30, doi:10.1007/978-3-663-08484-6 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Laux (2014), Kap. 5.4

[1] Laux (2014), Kap. 4.6

[:0-2] Laux (2014), S. 105 f.

[:1-3] Werner Gothein: Evaluation von Anlagestrategien. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1995, S. 30, doi:10.1007/978-3-663-08484-6 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[4] Laux (2014), Kap. 5.4

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Inhaltsverzeichnis

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