Isoelastische Nutzenfunktion

Isoelastische Nutzenfunktion mit unterschiedlichen Werten für $\eta$. Im Fall $\eta >1$ nähert sich die Kurve asymptotisch der horizontalen Achse an (mit keiner unteren Grenze).

In der Mikroökonomie ist die isoelastische Nutzenfunktion, auch CRRA-Nutzenfunktion (CRRA: englisch für Constant Relative Risk Aversion) eine Nutzenfunktion die meist benutzt wird, um Nutzen in Abhängigkeit vom Konsum auszudrücken. In der modernen Finanzökonomik stellt sie die Standard-Nutzenfunktion dar.

Definition

Die Isoelastische Nutzenfunktion hat die Form

$u(c)={\begin{cases}{\frac {c^{1-\eta }-1}{1-\eta }}&\eta >0{\text{, }}\eta \neq 1\\\log(c)&\eta =1\end{cases}}$

wobei $\eta$ das Arrow-Pratt-Maß für die Risikoaversion ist. Der Fall $\eta =1$ ist der klassische Fall („Bernoulli-Fall“). Er ergibt sich durch Anwendung der Regel von de l’Hospital.

Eigenschaften

• Sie gehört zur Klasse der HARA-Nutzenfunktionen (englisch Hyperbolic Absolute Risk Aversion).
• Dass sie auch CRRA-Nutzenfunktion genannt wird, liegt in der Tatsache begründet, dass sie die einzige Funktion mit konstanter relativer Risikoaversion ist. Denn sie ist die einzige Lösung der nichtlinearen ODE zweiter Ordnung $-c\cdot u''(c)/u'(c)=\eta$, d. h. der allgemeinen Formulierung der CRRA-Eigenschaft mithilfe vom Arrow-Pratt-Maß.
• Eine isoelastische Nutzenfunktion besitzt die Eigenschaft einer konstanten Substitutionselastizität.

In der Portfoliotheorie erlaubt sie, Wohlstand und Rendite voneinander zu trennen.

Literatur

• Stiglitz, Joseph E.: Economics for an imperfect world: Essays in honor of Joseph E. Stiglitz. MIT Press, 2003. S. 431 Isoelastic Utility Functions
• Mossin, Jan. Optimal multiperiod portfolio policies. The Journal of Business 41.2 (1968): 215–229. S. 224