Diferencia entre revisiones de «Conjunto abierto»
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La discusión anterior muestra, para el caso ''x'' = 0, que se puede aproximar ''x'' a grados de precisión cada vez mayores definiendo ''ε'' cada vez más pequeño. En particular, los conjuntos de la forma (-''ε'', ''ε'') nos dan mucha información sobre los puntos cercanos a ''x'' = 0. Así, en lugar de hablar de una métrica euclidiana concreta, se pueden utilizar conjuntos para describir los puntos cercanos a ''x''. Esta idea innovadora tiene consecuencias de gran alcance; en particular, al definir diferentes colecciones de conjuntos que contienen 0 (distintos de los conjuntos (-''ε'', ''ε'')), se pueden encontrar diferentes resultados sobre la distancia entre 0 y otros números reales. Por ejemplo, si definimos '''R''' como el único conjunto de este tipo para "medir la distancia", todos los puntos están cerca de 0, ya que sólo hay un grado posible de exactitud que se puede alcanzar en la aproximación a 0: ser un miembro de '''R'''. Así, nos encontramos con que, en cierto sentido, todo número real está a una distancia 0 de 0. En este caso, puede ayudar pensar que la medida es una condición binaria: todas las cosas en '''R''' están igualmente cerca de 0, mientras que cualquier elemento que no esté en '''R''' no está cerca de 0.
En general, nos referimos a la [[familia de conjuntos]] que contienen 0, utilizada para aproximar 0, como una '''''base de vecindad'''''; un miembro de esta base de vecindad se denomina '''conjunto abierto'''. De hecho, uno puede generalizar estas nociones a un conjunto arbitrario (''X''); en lugar de sólo los números reales. En este caso, dado un punto (''x'') de ese conjunto, se puede definir una colección de conjuntos "alrededor" (es decir, que contengan) ''x'', utilizados para aproximar ''x''. Por supuesto, esta colección tendría que satisfacer ciertas propiedades (conocidas como '''axiomas'''), ya que de otro modo no podríamos disponer de un método bien definido para medir la distancia. Por ejemplo, cada punto de ''X'' debería aproximarse a ''x'' con ''cierto'' grado de precisión. Por tanto, ''X'' debería pertenecer a esta familia. Una vez que empezamos a definir conjuntos "más pequeños" que contienen ''x'', tendemos a aproximar ''x'' con un mayor grado de precisión. Teniendo esto en cuenta, se pueden definir los axiomas restantes que la familia de conjuntos sobre ''x'' debe satisfacer.
== Definiciones ==
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* La intersección de un número finito de miembros de T está en T.
* La unión de cualquier número de elementos de T está en T.
Con estas precisiones, al par (X,T) se denomina ''espacio topológico'' y a los miembros de T se los nombra ''abiertos'' en el espacio topológico (X,T). Ver el libro '''Topología''' de un
Esto generaliza la definición métrica del espacio: si se comienza con un espacio métrico y define conjuntos abiertos como antes, entonces la familia de todos los conjuntos abiertos formará una topología en el espacio métrico. Cada espacio métrico es por lo tanto de una manera natural un espacio topológico. (Hay sin embargo espacios topológicos que no son espacios métricos).
== Tipos especiales de conjuntos abiertos ==
== Propiedades ==▼
=== Conjuntos abiertos y conjuntos no abiertos y/o no cerrados ===
Un conjunto puede ser abierto, cerrado, ambos o ninguno. En particular, los conjuntos abiertos y cerrados no son mutuamente excluyentes, lo que significa que en general es posible que un subconjunto de un espacio topológico sea simultáneamente un subconjunto abierto y un subconjunto cerrado. Tales subconjuntos se conocen como '''[[Conjunto clopen]]s'''. Explícitamente, un subconjunto <math>S</math> de un espacio topológico <math>(X, \tau)</math> se llama «clopen» si tanto <math>S</math> como su complemento <math>X \setminus S</math> son subconjuntos abiertos de <math>(X, \tau)</math>; o equivalentemente, si <math>S \in \tau</math> y <math>X \setminus S \in \tau. </math>
En cualquier espacio topológico <math>(X, \tau),</math> el conjunto vacío <math>varnada</math> y el propio conjunto <math>X</math> son siempre cerrados. Estos dos conjuntos son los ejemplos más conocidos de subconjuntos cerrados y demuestran que existen subconjuntos cerrados en todos los espacios topológicos. Para ver por qué <math>X</math> es cerrado, empecemos recordando que los conjuntos <math>X</math> y<math>\varnothing</math>> son, por definición, subconjuntos siempre abiertos (de <math>X</math>). También por definición, un subconjunto <math>S</math> se llama cerrado si (y sólo si) su complemento en <math>X,</math> que es el conjunto <math>X \setminus S,</math> es un subconjunto abierto. Dado que el complemento (en <math>X</math>) del conjunto <math>S := X</math> es el conjunto vacío (i.e. <math>X \setminus S = \varnothing</math>), que es un subconjunto abierto, esto significa que <math>S = X</math> es un subconjunto cerrado de <math>X</math> (por definición de "subconjunto cerrado"). Por tanto, no importa qué topología se ponga en <math>X,</math> todo el espacio <math>X</math> es simultáneamente un subconjunto abierto y también un subconjunto cerrado de <math>X</math>; dicho de otro modo, <math>X</math> es siempre un subconjunto cerrado de <math>X. </math> Dado que el complemento del conjunto vacío es <math>X \setminus \varnothing = X,</math> que es un subconjunto abierto, se puede utilizar el mismo razonamiento para concluir que <math>S := \varnothing</math> también es un subconjunto cerrado de <math>X.</math>
Consideremos la recta real <math>\R</math> dotada de su habitual [[topología euclídea]], cuyos conjuntos abiertos se definen como sigue: todo intervalo <math>(a, b)</math> de números reales pertenece a la topología, toda unión de tales intervalos, e. g. <math>(a, b) \cup (c, d),</math> pertenece a la topología, y como siempre, tanto <math>\R</math> como <math>S := \varnothing</math> pertenecen a la topología.
* El intervalo <math>I = (0, 1)</math> es abierto en <math>\R</math> porque pertenece a la topología euclídea. Si <math>I</math> tuviera un complemento abierto, significaría por definición que <math>I</math> fuera cerrado. Pero <math>I</math> no tiene complemento abierto; su complemento es <math>R \setminus I = (-\infty, 0] \cup [1, \infty),</math> que no pertenece a la topología euclídea ya que no es una unión de [[Intervalo (matemáticas)#Incluyendo o excluyendo puntos extremos|intervalos abiertos]] de la forma <math>(a, b). </math> Por tanto, <math>I</math> es un ejemplo de conjunto abierto pero no cerrado.
* Por un argumento similar, el intervalo <math>J = [0, 1]</math> es un subconjunto cerrado pero no abierto.
* Finalmente, como ni <math>K = [0, 1)</math> ni su complemento <math>R \setminus K = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)</math> pertenecen a la topología euclídea (porque no se pueden escribir como unión de intervalos de la forma <math>(a, b)</math>), esto significa que <math>K</math> no es ni abierto ni cerrado.
▲== Propiedades ==
*En un espacio métrico o topológico ''X'', el conjunto vacío y ''X'' son abiertos y cerrados a la vez. Si el espacio es [[Conjunto conexo|conexo]], estos dos son los únicos conjuntos cerrados y abiertos a la vez.
*La unión de cualquier número de conjuntos abiertos es abierta.
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Dados espacios topológicos ''X'' y ''Y'', una [[función (matemáticas)|función]] ''f'' de ''X'' ''a Y'' es ''[[función continua]]'' si la [[preimagen]] de cada conjunto abierto en ''Y'' es abierto en ''X''. La función ''f'' se llama ''[[función abierta]]'' si la [[imagen]] de cada conjunto abierto en ''X'' es abierta en ''Y''.
Un conjunto abierto en la [[recta real]], según la [[topología usual]], se caracteriza por la propiedad de ser una unión contable de intervalos abiertos disjuntos.
== Variedades ==
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*Chinn,W.G.; Steenrod,N.E. (1975) ''Primeros conceptos de Topología), Editorial Alhambra, Madrid.
*García Marrero et all.(1975) ''Topología'', Editorial Alhambra, Madrid.
* {{cite book | last=Hart | first=Klaas | title=Encyclopedia of general topology | publisher=Elsevier/North-Holland | publication-place=Amsterdam Boston | year=2004 | isbn=0-444-50355-2 | oclc=162131277 }}
* {{cite book | title=Encyclopedia of general topology | first1=Klaas Pieter | last1=Hart | first2=Jun-iti | last2=Nagata | first3=Jerry E. | last3=Vaughan | publisher=Elsevier | year=2004 | isbn=978-0-444-50355-8 }}
==Véase también==
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*[[Conjunto cerrado]]
*[[Teoría de conjuntos]]
== Enlaces externos ==
* {{Springer |title=Open set |id=p/o068310}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Topología general]]
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