Diferencia entre revisiones de «Operador diferencial»
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* En la [[geometría diferencial]] los operadores de [[derivada exterior]] y [[derivada de Lie]] tienen un significado intrínseco.
* En [[álgebra abstracta]] el concepto de [[Derivación (matemática)|derivación]] significa que los operadores diferenciales pueden seguir definidos, aún en ausencia de los conceptos de cálculo basados en la geometría.
== Conjunto <math>O_{x,\alpha}^n(h)</math> de Operadores Fraccionales ==
El '''cálculo fraccional de conjuntos''' ('''Fractional Calculus of Sets (FCS)'''), mencionado por primera vez en el artículo titulado "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",<ref>[https://doi.org/10.3390/fractalfract5040240 Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods]</ref> es una metodología derivada del '''[[cálculo fraccional]]'''.<ref>[https://books.google.es/books?hl=es&lr=&id=MIXVCgAAQBAJ&oi=fnd&pg=PR5&dq=fractional+calculus&ots=fXgsNiwkju&sig=VDrrW4ZEvZpsu3ytMS-frNqc964 Applications of fractional calculus in physics]</ref> El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando [[conjunto|conjuntos]] debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.<ref>[https://doi.org/10.1155/2014/238459 A review of definitions for fractional derivatives and integral]</ref><ref>[https://doi.org/10.1016/j.jcp.2019.03.008 A review of definitions of fractional derivatives and other operators]</ref><ref>[https://doi.org/10.3390/math10050737 How many fractional derivatives are there?]</ref> Esta metodología se originó a partir del desarrollo del '''método de Newton-Raphson fraccional''' <ref>[http://dx.doi.org/10.5121/mathsj.2021.8101 Fractional Newton-Raphson Method]</ref> y trabajos relacionados posteriores.<ref>[https://doi.org/10.1016/j.amc.2022.127231 Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers]</ref><ref>[http://dx.doi.org/10.5121/mathsj.2022.9103 Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming]</ref><ref>[https://doi.org/10.5772/intechopen.107263 Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications]</ref>
[[File:Applied mathematics and computation-fig.png|thumb|center|500px|Ilustración de algunas líneas generadas por el método de Newton–Raphson fraccional para la misma condición inicial <math>x_0</math> pero con diferentes órdenes <math>\alpha</math> del operador fraccional implementado. Fuente: [https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0096300322003058?via%3Dihub Applied Mathematics and Computation]]]
El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional. Esta emergencia fue en parte debido a la notación de Leibniz para derivadas de orden entero: <math>\frac{d^n}{dx^n}</math>. Gracias a esta notación, L’Hopital pudo preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretación de tomar <math>n = \frac{1}{2}</math> en una derivada. En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L’Hopital en una carta que "... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles".
El nombre "cálculo fraccional" se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>. Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional. En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera:
<center><math>\frac{d^\alpha}{dx^\alpha}. </math></center>
Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que <math>\alpha \to n</math>. Considerando una función escalar <math>h: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</math> y la base canónica de <math>\mathbb{R}^m</math> denotada por <math>\{\hat{e}_k\}_{k \geq 1}</math>, el siguiente operador fraccional de orden <math>\alpha</math> se define utilizando [[notación de Einstein]]:<ref>[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0898122102002109 Einstein summation for multidimensional arrays]</ref>
<center><math> o_x^\alpha h(x) := \hat{e}_k o_k^\alpha h(x). </math></center>
Denotando <math>\partial_k^n</math> como la derivada parcial de orden <math>n</math> con respecto al componente <math>k</math>-ésimo del vector <math>x</math>, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales <ref>{{Cite journal|title=Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods|first1=A.|last1=Torres-Hernandez|first2=F.|last2=Brambila-Paz|date=December 29, 2021|journal=Fractal and Fractional|volume=5|issue=4|pages=240|doi=10.3390/fractalfract5040240}}</ref> <ref>[https://doi.org/10.1016/j.amc.2022.127231 Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers]</ref>:
<div style="text-align: center;">
<math> O_{x,\alpha}^n(h) := \left\{ o_x^\alpha : \exists o_k^\alpha h(x) \text{ y } \lim_{\alpha \to n} o_k^\alpha h(x) = \partial_k^n h(x) \ \forall k \geq 1 \right\}, </math>
</div>
cuyo complemento es:
<div style="text-align: center;">
<math> O_{x,\alpha}^{n,c}(h) := \left\{ o_x^\alpha : \exists o_k^\alpha h(x) \ \forall k \geq 1 \text{ y } \lim_{\alpha \to n} o_k^\alpha h(x) \neq \partial_k^n h(x) \text{ para al menos un } k \geq 1 \right\}. </math>
</div>
Como consecuencia, se define el siguiente conjunto:
<center><math> O_{x,\alpha}^{n,u}(h) := O_{x,\alpha}^{n}(h) \cup O_{x,\alpha}^{n,c}(h). </math></center>
=== Extensión a Funciones Vectoriales ===
Para una función <math>h: \Omega \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math>, el conjunto se define como:
<center><math> {}_mO_{x,\alpha}^{n,u}(h) := \left\{ o_x^\alpha : o_x^\alpha \in O_{x,\alpha}^{n,u}([h]_k) \ \forall k \leq m \right\}, </math></center>
donde <math>[h]_k: \Omega \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</math> denota el <math>k</math>-ésimo componente de la función <math>h</math>.
== Véase también ==
Línea 182 ⟶ 222:
* [[Operador lineal]]
* [[Cálculo Fraccional de Conjuntos | Operador fraccional]]
== Referencias ==
{{listaref}}
{{Control de autoridades}}
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