Diferencia entre revisiones de «Operador diferencial»

Supongamos que hay un mapa <math>A</math> A de un espacio de funciónfunciones <math>F_1</math>  a otro espacio de funciones <math>F_2</math> y una función <math>f\in F_2</math> parade forma que  <math>f</math> sea la imagen de <math>u \in F_1</math>, de Eses decir, <math>f = A(u)</math>. Un operador diferencial se representa como una combinación lineal, finitamente generada por  y sus derivados que contienen un grado más alto tal como

<math>\ddot{u},\overset{...}{u},...</math>

* El uso y la creación de la notación <math>\scriptstyle D^k</math> para la derivada ''k''-ésima se debe a [[Oliver Heaviside]], quien consideraba los operadores diferenciales [[lineal]]es ordinarios de la forma:

* La derivada simple es, como se ha dicho, un operador diferencial lineal sobre el conjunto de funciones reales de variable real.

* Una [[ecuación diferencial ordinaria]] se puede expresar mediante un operador lineal en la forma <math>\mathcal{L}y = f</math>, donde <math>y\,</math> es la función incógnita.

* La diferenciación es [[linealidad|lineal]], [[Id est | i.e.]]

* Cualquier polinomio en ''D'' con funciones como coeficientes es también un operador diferencial. También se pueden componer operadores diferenciales con la regla

* Esta última propiedad dota al conjunto de los operadores lineales, sobre un cierto espacio de funciones reales, de estructura de espacio vectorial sobre <math>\R</math> y de [[Módulo (matemática)|módulo izquierdo]] sobre el mismo conjunto de funciones. Eso último implica a su vez que el conjunto de operadores constituyen un [[álgebra asociativa]].

* Se requiere de algo de cuidado: primero, cualesquiera coeficientes de función en el operador ''D''₂ deben ser [[diferenciable]]s tantas veces como requiera la aplicación de ''D''₁. Para obtener un [[anillo (matemáticas)|anillo]] de dichos operadores se debe suponer que se utilizan derivadas de todos los órdenes. Segundo, este anillo no debe ser [[conmutativo]]: un operador ''gD'' no es el mismo en general que ''Dg''. De hecho se tiene por ejemplo la relación básica en [[mecánica cuántica]]: ''Dx'' − ''xD'' = 1.

* El subanillo de operadores que son polinomios en ''D'' con coeficientes constantes es, en contraste, conmutativo. Puede ser caracterizado de otra forma: consiste en los operadores de traslación invariantes.

Dado un operador diferencial lineal sobre un espacio de funciones reales de una sola variable real con [[condición de contorno|condiciones de contorno]] homogénea, en el que todas las funciones que intervienen son continuas, existe un operador inverso que es un [[Transformada integral|operador integral]].

== Artículo principal:Operador Del o Nabla==

El operador diferencial del, también llamado operador [[nabla]], es un importante operador diferencial vectorial. Aparece frecuentemente en la física en lugares como la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell. En coordenadas cartesianas tridimensionales, del se define:

<math>\bigtriangledownnabla = \widehat{x} \frac{\eth}{\eth x}+ \widehat{y} \frac{\eth}{\eth y}+ \widehat{z} \frac{\eth}{\eth z}</math>

Del se utiliza para calcular el gradiente, de campos escalares; el enrollamiento,rotacional y la divergencia, de campos vectoriales; y el Laplaciano tanto de campos escalares como de varioscampos objetosvectoriales.

<math>{\partpartial \over \partpartial x_i} = \part_partial_{x_i} = \part_ipartial_i,

\qquad {\partpartial^n \over \partpartial x_{i_1}\dots\partpartial x_{i_n}} = \partpartial^n_{x_{i_1},\dots,x_{i_n}} =

\partpartial^n_{i_1,\dots,i_n}

<math>\mathcal{L} = \sum_{k=0}^n a_{i_1\dots i_k}(x)\part_partial_{i_1\dots i_k}^k(\cdot)</math>

Si R es un anillo,<math>R(D,X)</math> ser el anillo polinomial no conmutativo sobre R en la variable D y X, e I el ideal bidireccional Generado por DX-XD-1, entonces el anillo de operadores diferenciales polinomiales univariados[[univariado]]s sobre R es el anillo cociente <math>R(D,X)/I</math>. Este es un anillo simple no conmutativo. Todos los elementos pueden escribirse de una manera única como una combinación R-lineal de monomios de la forma <math>X^aD^b mod I</math>. Apoya un análogo de la división euclidiana de polinomios.

Aquí el corchete <math>[f,P]:\Gamma(E)\rightarrow (F)</math>  se define como el conmutador

* En aplicaciones a las ciencias físicas, los operadores como el [[operador de Laplace]] juegan un importante papel para escribir y solucionar [[Ecuación en derivadas parciales|ecuaciones diferenciales en derivadas parciales]].

* La [[Divergencia (matemática)|divergencia]] es un operador diferencial es un operador lineal en el espacio de vectorial de funciones <math>C^1(\R^n;\R)</math> constituye un endomorfismo lineal.

* El [[gradiente]] es un operador diferencial es un operador lineal del espacio de vectorial de funciones <math>C^1(\R^n;\R)</math> en <math>C^0(\R^n;\R^n)</math>.

* En la [[geometría diferencial]] los operadores de [[derivada exterior]] y [[derivada de Lie]] tienen un significado intrínseco.

* En [[álgebra abstracta]] el concepto de [[Derivación (matemática)|derivación]] significa que los operadores diferenciales pueden seguir definidos, aún en ausencia de los conceptos de cálculo basados en la geometría.

* [[Derivada]]

* [[Operador lineal]]