Operador diferencial

En matemáticas, un operador diferencial es un operador lineal definido como una función del operador de diferenciación. Ayuda, como una cuestión de notación, considerar a la diferenciación como una operación abstracta, que acepta una función y regresa otra (al estilo de una función de orden superior de las ciencias de la computación).

Caso con una variable

El uso más común del operador diferencial es realizar la derivada en sí misma. Las notaciones comunes de este operador incluyen:

${d \over dx},\quad D_{x},\quad D\,$

Las dos primeras se usan fundamentalmente cuando se quiere hacer explícita la variable respecto a la cual se toman las derivadas ordinarias, la última forma sólo se usa cuando por el contexto está claro cuál es la variable respecto a la que se deriva (sin necesidad de explicitarla). Las primeras derivadas se toman como arriba, pero para las derivadas de orden superior, las n-ésimas, son útiles los siguientes cambios:

${d^{n} \over dx^{n}},\quad D_{x}^{n},\quad D^{n}\,$

Operadores lineales ordinarios

• El uso y la creación de la notación $\scriptstyle D^{k}$ para la derivada k-ésima se debe a Oliver Heaviside, quien consideraba los operadores diferenciales lineales ordinarios de la forma:

${\begin{cases}{\mathcal {L}}:C^{1}(\Omega )\to C^{0}(\Omega )&\Omega \subset \mathbb {R} \\{\mathcal {L}}(f)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}f(x)&x\in \Omega \end{cases}}$

Donde:

$a_{k}(x)\,$ son funciones definidas sobre el dominio $\Omega \,$.

$C^{1}(\Omega )\,$ denota a las funciones diferenciables con continuidad en el dominio $\Omega \,$

$C^{0}(\Omega )\,$ denota a las funciones continuas en el mismo dominio.

en su estudio de las ecuaciones diferenciales.

• La derivada simple es, como se ha dicho, un operador diferencial lineal sobre el conjunto de funciones reales de variable real.
• Una ecuación diferencial ordinaria se puede expresar mediante un operador lineal en la forma ${\mathcal {L}}y=f$, donde $y\,$ es la función incógnita.

Propiedades de los operadores diferenciales

• La diferenciación es lineal, i.e.

$D(f+g)=(Df)+(Dg),\qquad D(af)=a(Df)$

en donde f y g son funciones y a es una constante.

• Cualquier polinomio en D con funciones como coeficientes es también un operador diferencial. También se pueden componer operadores diferenciales con la regla

$D_{1}\circ D_{2}(f)=D_{1}(D_{2}(f))$

• Esta última propiedad dota al conjunto de los operadores lineales, sobre un cierto espacio de funciones reales, de estructura de espacio vectorial sobre $\mathbb {R}$ y de modulo izquierdo sobre el mismo conjunto de funciones. Eso último implica a su vez que el conjunto de operadores constituyen un álgebra asociativa.

• Se requiere de algo de cuidado: primero, cualesquiera coeficientes de función en el operador D₂ deben ser diferenciables tantas veces como requiera la aplicación de D₁. Para obtener un anillo de dichos operadores se debe suponer que se utilizan derivadas de todos los órdenes. Segundo, este anillo no debe ser conmutativo: un operador gD no es el mismo en general que Dg. De hecho se tiene por ejemplo la relación básica en mecánica cuántica: Dx − xD = 1.

• El subanillo de operadores que son polinomios en D con coeficientes constantes es, en contraste, conmutativo. Puede ser caracterizado de otra forma: consiste en los operadores de traslación invariantes.

Operador inverso

Dado un operador diferencial lineal sobre un espacio de funciones reales de una sola variable real con condiciones de contorno homogénea, en el que todas las funciones que intervienen son continuas, existe un operador inverso que es un operador integral.

Dicho operador inverso vienen dado por la función de Green. Explicitémoslo considerando una ecuación diferencial de orden n sin constante :

${\begin{cases}{\mathcal {L}}\{y(x)\}=f(x)&y(x)\in {\mathcal {D}}\\{\mathcal {D}}=\{z\in C^{1}(\mathbb {R} )|\sum _{j=0}^{n}a_{ij}D^{j}(z)=b_{i}\}&i\in \{0,\dots ,n\}\end{cases}}$

En este caso existe un operador integral ${\mathcal {K}}$ dado por:

$y(x)={\mathcal {K}}\{f(x)\}=\int _{-\infty }^{+\infty }G({\bar {x}},x)f(x)d{\bar {x}}$

Tal que se cumple:

${\mathcal {K\circ L}}\{z\}={\mathcal {L\circ K}}\{z\}=z(x),\quad \forall z\in {\mathcal {D}}$

Caso con varias variables

Análogamente al caso de una variable, cuando se consideran derivadas respecto a variables diferentes las derivadas parciales pueden escribirse como:

${\partial \over \partial x_{i}}=\partial _{x_{i}}=\partial _{i},\qquad {\partial ^{n} \over \partial x_{i_{1}}\dots \partial x_{i_{n}}}=\partial _{x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{n}}}^{n}=\partial _{i_{1},\dots ,i_{n}}^{n}$

Además con derivadas parciales, se pueden hacer las mismas construcciones que en el caso de una variable. La derivación con respecto a variables distintas da como lugar a operadores que conmutan (ver teorema de Clairaut).

Un operador lineal en derivadas parciales de orden n tiene la forma:

${\mathcal {L}}=\sum _{k=0}^{n}a_{i_{1}\dots i_{k}}(x)\partial _{i_{1}\dots i_{k}}^{k}(\cdot )$

Uno de los operadores diferenciales que se ve con más frecuencia es el operador laplaciano

$\Delta =\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}$

Descripción independiente de las coordenadas

En la geometría diferencial y la geometría algebraica es con frecuencia conveniente tener una descripción independiente de las coordenadas de los operadores diferenciales entre dos grupos vectoriales. Sean E y F dos grupos de vectores sobre una variedad diferenciable M. Un operador es un mapeo de secciones, $P:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)\,\!$ que se mapea el tallo o fibra de un fibrado de los gérmenes de $\Gamma (E)\,\!$ en el punto $x\in M\,\!$ a la fibra de F en x:

$P:\Gamma _{x}(E)\rightarrow F_{x}\,\!$.

Se dice que un operador P es un operador diferencial de orden k-ésimo si los factores a través del chorro del fibrado $J^{k}(E)\,\!$. En otras palabras, existe un mapeo lineal de conglomerados vectoriales

$i_{P}:J^{k}(E)\rightarrow F\,\!$

tal que $P=i_{P}\circ j^{k}$ como en la siguiente composición:

$P:\Gamma _{x}(E)\rightarrow J^{k}(E)_{x}\rightarrow F_{x}\,\!$.

Ejemplos

• En aplicaciones a las ciencias físicas, los operadores como el operador de Laplace juegan un importante papel para escribir y solucionar ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
• La divergencia es un operador diferencial es un operador lineal en el espacio de vectorial de funciones $C^{1}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ constituye un enfomorfismo lineal.
• El gradiente es un operador diferencial es un operador lineal del espacio de vectorial de funciones $C^{1}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ en $C^{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{n})$.
• En la geometría diferencial los operadores de derivada exterior y derivada de Lie tienen un significado intrínseco.
• En álgebra abstracta el concepto de derivación significa que los operadores diferenciales pueden seguir definidos, aún en ausencia de los conceptos de cálculo basados en la geometría.

Véase también

• Derivada
• Operador lineal