Álgebra de Banach

En matemáticas, especialmente en el análisis funcional, un álgebra de Banach, que lleva el nombre del matemático Stefan Banach, es un álgebra asociativa sobre los números reales o complejos (o sobre un cuerpo normado completo no arquimediano) que al mismo tiempo también es un espacio de Banach, es decir, un espacio normado que es completo bajo la métrica inducida por la norma. Llamando la norma de como , es necesario que satisfaga la condición

para todo .
Esta condición nos asegura que la multiplicación en sea continua.

La teoría en álgebras de Banach puede variar mucho dependiendo del cuerpo en el que se trabaje. Por ejemplo, el espectro de un elemento en un álgebra de Banach compleja no trivial nunca será vacía, mientras en un álgebra de Banach real puede ser vacía para algunos elementos de ella. Es importante tener en cuenta que no debemos limitarnos al cuerpo de los reales o complejos, por ejemplo en el análisis p-ádico se trabaja con álgebras de Banach sobre cuerpos de números p-ádicos.

Definición

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Sea   un álgebra asociativa sobre los reales o complejos (o sobre un cuerpo normado completo no arquimidiano). Sea   una norma tal que

  para todo  ,

entonces diremos que   es un álgebra normada. Si además esta álgebra normada   es un espacio de Banach (espacio vectorial normado y completo) entonces la llamamos un álgebra de Banach.[1]

Note que un álgebra de Banach   no se asume ni conmutativa (   para todo  ) ni unitaria ( existe   tal que   para todo  ).

Llamaremos a un álgebra de Banach real o compleja cuando es sobre el cuerpo de los números reales o complejos respectivamente.

Estructura

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Homomorfismos

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Si   y   son álgebras de Banach sobre el cuerpo  , diremos que   es un homomorfismo de álgebras de Banach si   es una función  -lineal que respeta la multiplicación en ambas álgebras, esto es

  para todo  ,

donde   y   son las multiplicaciones en   y   respectivamente.

Dado un homomorfismo   definimos como el núcleo o kernel de   al conjunto  el cual no es difícil ver que corresponde a un ideal de  .

Es importante tener en mente que no todo homomorfismo entre álgebras de Banach es continuo.

Álgebras unitarias

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Un álgebra de Banach es llamada unitaria si posee un elemento neutro o unidad, esto es, existe   tal que   para todo  . No es difícil comprobar que  , de hecho podemos crear una norma equivalente a  , digamos   tal que  . De este modo, en toda álgebra de Banach unitaria puede suponerse que la norma de la unidad es  .

Cualquier álgebra de Banach   (unitaria o no) puede ser incrustada isométricamente en un álgebra de Banach unitaria   de tal modo que la imagen de   sería un ideal cerrado de  . En otras palabras, existe un homomorfimos de álgebras de Banach   isométrico tal que   es unitaria y   es un ideal de  .

Comúnmente se asume desde un principio que un álgebra de Banach es unitaria,[1]​ la existencia de la unidad en   ayuda a desarrollar una gran cantidad de resultados que pueden ser trasladados al álgebra de Banach original  . Sin embargo este no siempre es el caso, por ejemplo no es posible definir todas las funciones trigonométricas en un álgebra de Banach sin la existencia de la unidad. Otro ejemplo común ocurre en el caso de las C*-álgebras, donde si   no tiene unidad, entonces el espectro de Gelfand de   será compacto mientras que el de   sólo será localmente compacto.

Elementos invertibles

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Supondremos en esta parte que el álgebra de Banach   es unitaria con unidad  . Sea  , diremos que   es invertible en   si existe un elemento   tal que  . No es difícil ver que este elemento   es único, usualmente se define  . Un subconjunto importante del álgebra   corresponde a

 ,

el cual una de sus propiedades es ser un subconjunto abierto de  .[2]​ Un problema interesante ocurre cuando consideramos una sub álgebra   y observar si efectivamente  , a estas sub álgebras las llamamos simétricas.

Más aún, la función   en   es continua, transformando a este espacio en un grupo topológico.[2]

Ejemplos

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El álgebra conmutativa C0(X)

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Sea   un espacio de Hausdorff localmente compacto, definimos entonces

 ,

en donde "anular en el infinito" significa lo siguiente: para todo  , existe un compacto   tal que   para todo  .

(  debe satisfacer también la condición de ser  -compacto).

El espacio   se transforma en un álgebra de compleja mediante la operación puntual, estos es, dadas   y   se tiene

  • Ponderación:   donde   para todo  .
  • Suma:   donde   para todo  .
  • Multiplicación:   donde   para todo  .

Usando la norma del supremo   definida por

 ,

se tiene que   se transforma en un álgebra de Banach.

Compacidad de X

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Si se añade la condición de que el espacio   sea compacto, entonces la condición "anular en el infinito" desaparece, es decir,   corresponde al espacio de funciones continuas en  . Además en este caso el álgebra   se vuelve unitaria, cuya unidad corresponde a la función

  tal que   para todo  

(no confundirse con la función identidad de  ).

Observe que en este caso

 ,

y si   entonces   viene dada por   para todo  .

Cn y Rn como álgebras de Banach

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Considere el conjunto finito   con la topología discreta, de este modo no es difícil ver que el álgebra de Banach compleja   corresponde al conjunto   donde por ejemplo, la multiplicación es

  con  ,

y el elemento unidad es  . Observe también que la norma del supremo se vuelve en la norma del máximo   usualmente utilizada en  .

El caso   resulta en las operaciones usuales de   en donde la norma del supremo se vuelve en el valor absoluto usual de los números complejos.

  puede construirse de una manera análoga como un álgebra de Banach real.

Álgebra C(X)

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Con las mismas operaciones y norma expuestas para   es posible generalizar este espacio en el siguiente

 

en donde podemos notar que para el caso en que   sea compacto se tiene  . Observe que independiente de la topología de  , el espacio   tendrá unidad (la función constante igual a  ).

Observe que   puede ser bastante más grande que  , no sólo posee el elemento neutro en cualquier caso, podemos encontrar en él a las funciones periódicas (de cualquier período), casi periódicas entre otras más. De hecho, si   es la compactificación de Stone–Čech de  , entonces tenemos que   y   resultan ser isomorfos como álgebras de Banach.

Álgebra de operadores continuos

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Sea   un espacio de Banach y al espacio

 ,

conocido también como el espacio de operadores acotados de  . Observe que la aplicación identidad   pertenece a   (  para todo  ). Las operaciones algebraicas de   son las usuales (  y  )

  • Ponderación:   donde   para todo  .
  • Suma:   donde   para todo  .
  • Multiplicación:   donde   para todo  .

La norma operatoria   de un elemento   viene dada por

 

donde   corresponde a la norma del espacio de Banach  .

Con esta estructura tenemos que   es un álgebra de Banach compleja.

Matrices reales y complejas

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Si consideramos al espacio de Banach   como el espacio   entonces no resulta difícil ver que el álgebra de Banach   se vuelve en el conocido  , esto es, el espacio de las matrices de tamaño   con coeficientes complejos.

Observe que en este caso, el subconjunto   viene dado por el espacio de las matrices   invertibles.

De un modo análogo podemos determinar que   es un álgebra de Banach real.

*-álgebras de Banach

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Una *-álgebra de Banach  [3]​ es un álgebra de Banach sobre el cuerpo de los complejos, en conjunto con una involución   satisfaciendo las propiedades para todo   y  

  1. Anti-linealidad:  .
  2. Contravariante:  .
  3. Idempotencia:  .

En otras palabras, una *-álgebra de Banach es un álgebra de Banach sobre   que también es una *-álgebra.

Nota: del mismo modo que en un álgebra de Banach, las *-álgebras de Banach no se restringen solamente al cuerpo de los complejos   (puede ser extendido a un cuerpo normado completo e involutivo).

Álgebra de convolución L1(G)

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Sea   un grupo localmente compacto (de Hausdorff) no necesariamente conmutativo con medida de Haar   (izquierda), sea   (definido anteriormente), definimos el soporte de   como

 ,

de este modo podemos definir el subconjunto de   de   como

 .

La estructura algebraica de   corresponde a la misma de   con excepción de la multiplicación puntual, para este caso dadas   definimos la convolución[4]​ entre   y   como

  para todo  .

Finalmente podemos definir la norma   dada por

  para todo  .

De este modo definimos el álgebra de Banach   como la completación de   con la norma  .[5][6]

Álgebra de medidas

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Considerando el caso  , podemos tomar dos medidas de Borel   y   de   y que además son de variación acotada, la convolución de estas medidas[7]​ está dada por

 , para toda  .

En particular, para todo conjunto   medible, tenemos que

 

y la función   corresponde a la función indicatriz.

De este modo podemos construir el álgebra de medidas.

Contraejemplo

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El álgebra de los cuaterniones   es un álgebra de Banach real, pero no es un álgebra de Banach compleja por la simple razón de que el centro de los cuaterniones corresponde a los números reales, el cual no puede contener una copia de los números complejos.

Propiedades

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Serie de Potencias

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Muchas funciones elementales que son definidas por medio de series de potencias pueden existir en un álgebra de Banach.

Ejemplos de esto incluye a la función exponencial

  para todo  

y las funciones trigonométricas, a saber

  para todo  

donde consideramos   (n veces) (y definimos  ). Es importante notar que la existencia de algunas funciones está ligada a que el álgebra sea unitaria.

Unidad del álgebra

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Una propiedad básica de las álgebras de Banach unitarias (de unidad  ) corresponde a que si   tal que   entonces se tiene que   será invertible (esto es, existe   tal que  ). La manera clásica de probar este hecho es utilizando la fórmula de la serie geométrica; esta fórmula sigue funcionando en un álgebra de Banach unitaria, a saber

  , para todo   tal que  .

Otra propiedad importante de la unidad corresponde a que ésta no puede ser un conmutador, es decir, para todo   se tiene que  . Una forma de justificar esto corresponde a que los elementos   e   tienen el mismo espectro con excepción (no siempre) del  .

Teorema del Binomio y elementos conmutativos

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Sean  , se dice que   e   conmutan si  . Los elementos que conmutan entre sí cumplen muchas propiedades como por ejemplo el Teorema del binomio

  para todo   que conmutan entre sí.

Otro ejemplo ocurre con la función exponencial (definida más arriba para el caso de álgebras de Banach) en donde se tiene que

 para todo   que conmutan entre sí.

Otras propiedades

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  • Toda álgebra de Banach real que también es un álgebra de división es isomorfa a los números reales, complejos o cuaterniones. Por lo tanto, la única álgebra compleja de división que es compleja corresponde a los números complejos. Este resultado se conoce como el Teorema de Gelfand-Mazur.
  • Toda álgebra de Banach real unitaria sin divisores de cero, y en la cual todo ideal principal es cerrado, es isomorfa a los números reales, complejos o cuaterniones.[8]
  • Toda álgebra de Banach real conmutativa y Noetheriana sin divisores de cero es isomorfa a los números reales o complejos.
  • Toda álgebra de Banach real conmutativa y Noetheriana de dimensión finita.
  • Divisores topológicos de cero en un álgebra de Banach   son permanentemente singulares en cualquier extensión de Banach   de  .

Teoría espectral

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Las álgebras de Banach unitarias sobre los complejos proveen todo lo necesario para el desarrollo de la teoría espectral. El espectro de un elemento   está definido como

 ,

en donde "invertible en  " significa la existencia de un elemento   tal que  . Como se restringe a la invertibilidad en   usualmente se escribe a este subconjunto de   como   (por ejemplo si   es un álgebra de Banach que contiene   entonces es claro que  ).

El espectro de cualquier elemento   es un subconjunto cerrado de la bola cerrada en   de radio   y centro  , de modo que es un conjunto compacto. Más aún, el espectro de todo elemento   es no vacío y satisface la fórmula del radio espectral:

 .

Dado   , el cálculo funcional holomorfo nos permite definir   para cualquier función holomorfa   donde   es una vecinadad abierta de  . De hecho, el Teorema de mapeo espectral (no confundir con el Teorema espectral) dice que

 .[9]

Cuando el álgebra de Banach   corresponde al álgebra   de operadores lineales acotados del espacio de Banach  , la noción de espectro en   coincide con el usual de la teoría operatorial.. Para   con   un espacio compacto de Hausdorff es posible obtener que

 .

Sea   un álgebra de Banach compleja unitaria en la cual todo elemento distinto de cero es invertible (álgebra de división). Para todo   existe   tal que   no es invertible (el espectro nunca es vacío), por lo tanto necesariamente  , por lo tanto esta álgebra es naturalmente isomorfa a los números complejos   (Teorema de Gelfand-Mazur).

Ideales y caracteres

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Sea   un álgebra de Banach conmutativa y unitaria sobre el cuerpo de los complejos  .

Como   es entonces un anillo conmutativo con unidad, todo elemento no invertible de   pertenece a algún ideal maximal de  . Dado que un ideal maximal   en   es cerrado,   es un álgebra de Banach de división, luego desde el Teorema de Gelfand-Mazur se sigue que hay una biyección entre el conjunto de todos los ideales maximales de   y el conjunto   de todos los homomorfismos (de álgebras) distintos de cero de   a  . El conjunto   se denomina "espacio de estructura" o "espacio de caracteres" de  , y a sus miembros "caracteres" (se pronuncia "kaɾak̚ˈtɛɾ", con acentuación en la e).

Un caracter   es un funcional lineal en   que es al mismo tiempo multiplicativo, es decir,   y satisface  . Cada caracter de   a   es automáticamente continuo, ya que el núcleo de un caracter es un ideal maximal, el cual es cerrado. Además, la norma (es decir, la norma del operador) de un caracter es  . Equipado con la topología de convergencia puntual en   (es decir, la topología inducida por la topología débil-* de  ), el espacio de caracteres  , es un espacio compacto de Hausdorff.

Dado  , definimos la representación de Gelfand de   como la función continua   dada por  , además satisface la fórmula

 .

Observemos también que   (funciones continuas a valores complejos en el espacio compacto  ) . De una forma más explícita

 .

Como álgebra, un álgebra de Banach conmutativa unitaria es semisimple (es decir, su radical de Jacobson es cero) si y solo si su representación de Gelfand tiene un núcleo trivial. Un ejemplo importante de este tipo de álgebra son las C*-álgebras. De hecho, cuando   es un C*-álgebra unitaria conmutativa, la representación de Gelfand es entonces un *-isomorfismo isométrico entre   y  .

Véase también

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Referencias

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  1. a b Rudin, Walter (1987). «18». Real and Complex analysis (en inglés). McGraw-Hill. p. 356. ISBN 0070542341. 
  2. a b Conway, John (1990). «VII». A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics (en inglés). Teorema 2.2: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5. 
  3. Folland, Gerald (2015). «1». En Chapman and Hall/CRC, ed. A Course in Abstract Harmonic Analysis (en inglés). p. 1. ISBN 1498727131. 
  4. Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (en inglés). p. 170. 
  5. Conway, John (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. (en inglés). Ejemplo VII 1.9. 
  6. Folland, Gerald. A course in abstract harmonic analysis (en inglés). p. 51. 
  7. Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (en inglés). McGraw-Hill. p. 175. ISBN 0070542341. 
  8. García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez (1995). «A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem». Proceedings of the American Mathematical Society 123 (9): 2663-2666. ISSN 0002-9939. doi:10.2307/2160559. 
  9. Takesaki, 1979, Proposition 2.8.

Bibliografía

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  • Rudin, W. Análisis funcional. 1979. Editorial Reverté S.A., impreso en España. ISBN 84-291-5115-X.
  • Merklen, Héctor A.: Estructuras algebraicas VII [Estructuras de álgebras] (1983), publicación de la Organización de los Estados Americanos, Washington D.F.
  • Nachbin, Leopoldo: Introduçāo à análise funcional: Espaços de Banach e cálculo difrencial (1976) publicación de Estados Americanos, Washington D.F.