Álgebra lineal

El Álgebra Lineal es la rama de las matemáticas que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales, y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central en las matemáticas modernas; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional. El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.

Historia

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años 1843 y 1844. En 1843, William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones. En 1844, Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre.

Introducción Elemental

El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de vectores en el 2º y 3^er cuadrante del plano cartesiano. Aquí, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud o magnitud y dirección. Los vectores pueden ser entonces utilizados para representar ciertas magnitudes físicas, como las fuerzas, y pueden ser sumados y multiplicados como magnitudes escalares, formando entonces el primer ejemplo real de espacio vectorial.

Hoy día, el Álgebra Lineal se ha extendido al considerar n-espacio, puesto que los más útiles resultados de los cuadrantes segundo y tercero pueden ser extendidos de forma n-dimensional en el espacio. Pero podemos considerar que el álgebra lineal investiga y abarca espacios infini-dimensionales. Aunque a mucha gente le resulta imposible la visualización mental de los vectores de más de tres dimensiones (y aún éstos), es decir, en un n-espacio, o n-múltiplos, son útiles representando información. Puesto que los vectores, como n-múltiplo, son considerados listas ordenadas de n componentes, se puede resumir y manipular información eficientemente en esta estructura. Por ejemplo, en economía, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u óctuples para representar el Producto Interno Bruto (on interior, del inglés inner) para 8 diferentes países. Se puede simplemente mostrar el PIB en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia), utilizando un vector (v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición.

Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, es parte del álgebra abstracta, y podemos integrar todo esto en un campo. Algunos ejemplos contundentes en este grupo son la inversión lineal de aplicaciones o matrices, y el anillo de aplicaciones lineales de un espacio vectorial. El Álgebra Lineal también tiene un papel importante en el cálculo y en la descripción de derivadas de alto grado (o nivel) en el análisis vectorial y en el estudio de los productos de tensor (en física, buscar momentos de torsión) y sus aplicaciones alternativos.

Un espacio vectorial se define sobre un campo, tal como el campo de los números reales o en el de los números complejos. Los operadores lineales afectan al espacio vectorial de otro (o en sí mismo), de forma compatible con la suma o adición y la multiplicación o producto escalar en uno o más espacios vectoriales. Si la base de un espacio vectorial está definida, cada transformación está definida y cada transformación lineal puede ser representada por una tabla de números llamada matriz. El estudio detallado de las propiedades y los algoritmos actuando como matrices, incluyendo determinantes y eigenvectores (también denominados autovectores), se consideran parte del álgebra.

Se pueden resolver problemas lineales de matemáticas -o aquellos que exhiben un comportamiento de de linealidad. Por ejemplo, en el cálculo diferencial se hace un estupendo trabajo en la aproximación lineal de funciones. La distinción entre problema no lineal y otro lineal es muy importante en la práctica.

Algunos Teoremas Útiles

• Todo espacio lineal tiene un origen;
• Teorema Fundamental del Álgebra

Generalización y temas relacionados

Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de las matemáticas: en la teoría del módulo, que remplaza al campo en los escalares por un anillo; en el álgebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor; en la teoría del espectro de los operadores de control de matrices infi-dimensionales, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica. En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.