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Une '''fonction poids''' est un outil mathématique pour le calcul de sommes, d'intégrales ou de moyennes dans lesquelles certains éléments auront plus d'importance ou d'influence que d'autres sur le même ensemble. On parle alors pour le résultat de somme pondérée ou de [[moyenne pondérée]]. Les fonctions poids sont couramment utilisées en [[statistique]] et en [[Analyse mathématique|analyse]], et peuvent être rapprochées du concept de [[mesure (mathématiques)|mesure]]. Le concept a été étendu pour développer le « calcul différentiel pondéré »<ref>Jane Grossman, Michael Grossman, Robert Katz. [httphttps://books.google.com/books?as_brr=0&q=%22The+First+Systems+of+Weighted+Differential+and+Integral+Calculus%E2%80%8E%22&btnG=Search+Books,''The First Systems of Weighted Differential and Integral Calculus''], {{ISBN |0-9771170-1-4}}, 1980.</ref> et le « méta-calcul différentiel<ref>Jane Grossman.[httphttps://books.google.com/books?q=%22Non-Newtonian+Calculus%22&btnG=Search+Books&as_brr=0, ''Meta-Calculus: Differential and Integral''], {{ISBN |0-9771170-2-2}}, 1981.</ref> ».

Dans un cas discret, une fonction poids <math>\scriptstyle w\colon A \to {\Bbbmathbb R}^+</math> est une fonction positive définie sur un ensemble discret ''<math>A''</math>, généralement fini ou dénombrable. La fonction poids <math>w(a) := 1</math> correspond au cas ''sans poids'' ou ''uniforme'' où tous les éléments ont le même poids.

Si la fonction <math>\scriptstyle f\colon A \to {\Bbbmathbb R}</math> est à valeurs réelles, alors la somme non pondérée de ''<math>f''</math> sur ''<math>A''</math> se calcule de façon naturelle par :

mais avec une fonction poids <math>\scriptstyle w\colon A \to {\Bbbmathbb R}^+</math>, la somme pondérée ou {{lien|entrad=Conical combination|titre=combinaison conique}} est donnée par :

Si ''<math>B''</math> est un sous-ensemble fini de ''<math>A''</math>, on peut remplacer la cardinalité non pondérée <math>|''B''|</math> de ''<math>B''</math> par la cardinalité pondérée

Si ''<math>A''</math> est un [[ensemble fini]] non vide, on peut remplacer la moyenne

par la [[moyenne pondérée]]

:<math> \frac{\sum_{a \in A} f(a) w(a)}{\sum_{a \in A} w(a)}.</math>

Les moyennes pondérées sont utilsiéesutilisées en [[statistique]] pour compenser les [[Biais (statistique)|biais]]. Pour une quantité ''<math>f''</math> mesurée plusieurs fois de façon indépendante ''f{{ind|i}}''<math>f_i</math> et de [[variance (statistiques)|variance]] <math>\scriptstyle\sigma^2_i</math>, le meilleur estimateur est donné en moyennant les mesures par le poids <math>\scriptstyle w_i=\frac 1 {\sigma_i^2}</math>, et la variance résultante est plus petite que chacune des mesures <math>\scriptstyle\sigma^2=1/\sum w_i</math>. La méthode du [[maximum de vraisemblance]] pondère la différence entre données et valeursestimation en utilisant le même poids ''w{{ind|i}}''<math>w_i</math>.

La valeur atrendueattendue d'une [[variable aléatoire]] est la moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles qu'elle peut prendre, avec un poids correspondant à sa probabilité. Plus généralement, la velurvaleur attendue d'une fonction d'une variable aléatoire est la moyenne pondérée par leur probabilité des valeurs que la fonction prend pour chaque valeur possible de la variable aléatoire.

Le terme de « fonction poids » vient de la mécanique : si on a un enemsbleensemble de ''<math>n''</math> objets sur un [[levier (mécanique)|levier]], de poids respectifs <math>\scriptstyle w_1, \ldots, w_n</math> (où le [[poids]] est ici à comprendre au sens physique) et aux emplacements <math>\scriptstyle\boldsymbol{x}_1,\dotsc,\boldsymbol{x}_n</math>, alors le levier sera en équilibre en son centre de gravité situé en :

qui est bien la moyenne pondérée des positions <math>\scriptstyle\boldsymbol{x}_i</math>.

Dans le cas continu, un poids est une [[mesure (mathématiques)|mesure]] telle ''<math>w''(''x'') \, {\rm d''} x''</math> sur un certain domaine Ω<math>\Omega</math>, typiquement un sous-ensemble de l'espace euclidien <math>\scriptstyle{\Bbbmathbb R}^n</math>, comme un intervalle. Ici, <math>{\rm d''} x''</math> désigne la [[mesure de Lebesgue]] et <math>\scriptstyle w\colon \Omega \to \R^+</math> est une fonction positive mesurable. On peut alors parler pour ''<math>w''</math> de [[Fonction de masse (probabilités)|fonction de masse]].

Si <math>f\colon \Omega \to {\Bbbmathbb R}</math> est une fonction à valeurs réelles], alors l'intégrale non pondérée

:<math>\int_\Omega f(x)\, dx{\rm d} x</math>

peut être étendue à l'intéralel’intégrale pondérée

:<math>\int_\Omega f(x) w(x)\, dx{\rm d} x</math>

Il faudra parfois imposer ''<math>f''</math> comme absolument intégrable pour ''<math>w''(''x'')\, {\rm d''} x''</math> afin de s'assurer que l'intégrale soit finie.

Si ''<math>E''</math> est un sous-ensemble de Ω<math>\Omega</math>, alors la définition de son [[volume]] <math>\text{vol}(''E'')</math> peut se généraliser au volume pondéré :

:<math> \int_E w(x)\, dx{\rm d} x,</math>

Si Ω<math>\Omega</math> a un volume pondéré fini non- nul, alors la définition de sa moyenne

:<math>\frac{1}{\mathrm{vol}(\Omega)} \int_\Omega f(x)\, dx{\rm d} x</math>

:<math> \frac{\int_\Omega f(x)\ w(x) dx}{\int_\Omega w(x)\, dx{\rm d} x}</math>

Si <math>\scriptstyle f\colon \Omega \to {\Bbbmathbb R}</math> et <math>\scriptstyle g\colon \Omega \to {\Bbbmathbb R}</math> sont deux fonctions, on peut généraliser le produit scalaire

:<math>\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\, dx{\rm d} x</math>

en un [[produit scalaire]] pondéré

:<math>\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ w(x)\, dx{\rm d} x.</math>

C'est un point fondamentalefondamental dans l'étude de l'[[orthogonalité]] dans les espaces.

== Références ==

[[Catégorie:Analyse (mathématiques)]]