« Groupe unitaire » : différence entre les versions

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En mathématiques, le groupe unitaire de degré n sur un corps K relativement à un anti automorphisme involutif (cf. Algèbre involutive) σ de K (par exemple K le corps des nombres complexes et σ la conjugaison) est le groupe des matrices carrées A d'ordre n à coefficients dans K, qui sont unitaires pour σ, c'est-à-dire telles Aσ(^tA) = I_n. Plus généralement, on peut définir le groupe unitaire d'une forme hermitienne ou antihermitienne non dégénérée φ sur un espace vectoriel sur un corps comme étant le groupe des éléments f de GL(E) tels que φ(f(x), f(y)) = φ(x, y) quels que soient les vecteurs x et y de E.

Groupes unitaires complexes

Groupes unitaires compacts

U(n,ℝ) coïncide avec le groupe orthogonal O(n, ℝ).

U(n, ℂ) est généralement abrégé en U(n).

U(1) est isomorphe au groupe des nombres complexes de module 1, muni de la multiplication.

U(n) est un groupe de Lie compact réel de dimension n². Son algèbre de Lie est formée des matrices complexes n×n antihermitiennes (en).

Voir aussi

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Unitary group » (voir la liste des auteurs).

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 {{ébauche|algèbre}}
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-En [[mathématiques]], le '''groupe unitaire''' de degré ''n'' sur un corps ''K'' relativement à un antiautomorphisme involutif σ de ''K'' (par exemple ''K'' le corps des nombres complexes et σ la conjugaison) est le groupe des matrices carrées ''A'' d'ordre ''n'' à coefficients dans ''K'', qui sont unitaire pour σ, c'est-à-dire telles ''A''σ(''<sup>t</sup>A'') = ''I<sub>n</sub>''. Plus généralement, on peut définir le '''groupe unitaire''' d'une [[forme hermitienne]] ou antihermitienne non dégénérées φ sur un espace vectoriel sur un corps comme étant le groupe des élément ''f'' de ''GL''(''E'') tels que φ(''f''(''x''), ''f''(''y'') = φ(''x'', ''y'') quels que soient les vecteurs ''x'' et ''y'' de ''E''.
+En [[mathématiques]], le '''groupe unitaire''' de degré ''n'' sur un [[corps (mathématiques)|corps]] ''K'' relativement à un anti [[automorphisme]] involutif (cf. [[Algèbre involutive]]) σ de ''K'' (par exemple ''K'' le [[nombre complexe|corps des nombres complexes]] et σ la [[conjugué|conjugaison]]) est le [[Groupe (mathématiques)|groupe]] des [[Matrice carrée|matrices carrées]] ''A'' d'ordre ''n'' à coefficients dans ''K'', qui sont [[Matrice unitaire|unitaires]] pour σ, c'est-à-dire telles ''A''σ(''<sup>t</sup>A'') = ''I<sub>n</sub>''. Plus généralement, on peut définir le '''groupe unitaire''' d'une [[forme hermitienne]] ou antihermitienne non dégénérée φ sur un [[espace vectoriel]] sur un corps comme étant le groupe des éléments ''f'' de ''GL''(''E'') tels que φ(''f''(''x''), ''f''(''y'')) = φ(''x'', ''y'') quels que soient les vecteurs ''x'' et ''y'' de ''E''.
 == Groupes unitaires complexes ==
 === Groupes unitaires compacts ===
-U(''n'',<math>\mathbb R</math>) coïncide avec le [[groupe orthogonal]] O(''n'',<math>\mathbb R</math>). C'est pourquoi U(''n'',<math>\mathbb C</math>) est généralement abrégé en U(''n''), car la distinction n'est pas nécessaire.
+U(''n'',ℝ) coïncide avec le [[groupe orthogonal]] O(''n'', ℝ).
+U(''n'', ℂ) est généralement abrégé en U(''n'').
-Dans le cas où ''n''=1, U(1) est isomorphe à l'ensemble des nombres complexes de [[module]] 1, muni de la multiplication.
+U(1) est [[Isomorphisme de groupes|isomorphe]] au [[Cercle unité#Cercle unité comme groupe|groupe des nombres complexes de module 1]], muni de la multiplication.
-U(''n'') est un [[groupe de Lie]] réel de dimension ''n''<sup>2</sup>. L'[[algèbre de Lie]] de U(''n'') est formée des matrices antihermitiennes complexes ''n''×''n''.
+U(''n'') est un [[groupe de Lie compact]] réel de dimension ''n''<sup>2</sup>. Son [[algèbre de Lie]] est formée des matrices complexes ''n''×''n'' {{Lien|trad=Skew-Hermitian matrix|Matrice antihermitienne|texte=antihermitiennes}}.
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 === Groupes unitaires complexes quelconques ===
 === Géométrie des groupes unitaires ===
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 === Théorème de Witt ===
 === Espaces homogènes ===
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-==Voir aussi==
+== Voir aussi ==
-*[[Groupe spécial unitaire]]
+* [[Groupe spécial unitaire]]
+* {{Lien|trad=Projective unitary group|Groupe unitaire projectif}}
+{{Traduction/référence|en|Unitary group|10353551}}
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+{{Portail|mathématiques}}
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