« Théorème de Birkhoff (relativité) » : différence entre les versions

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En relativité générale, le théorème de Birkhoff affirme que toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein doit être statique et asymptotiquement plate. C'est, en d'autres termes, un théorème d'unicité^[1]^,^[2]^,^[3] en vertu duquel toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein dans le vide est localement isométrique à la solution de Schwarzschild^[4]^,^[5]^,^[6].

Énoncés

Unicité de la métrique de Schwarzschild — La métrique de Schwarzschild est l'unique solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein pour le vide et en l'absence de constante cosmologique^[7].

Tout espace-temps à symétrie sphérique satisfaisant à l'équation d'Einstein pour le vide doit avoir, en plus des trois champs de vecteur de Killing liés à la symétrie sphérique, un champ de vecteur de Killing supplémentaire^[8].

.

Une solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein pour le vide est nécessairement statique^[9]^,^[10] dans une région extérieure^[9] au rayon de Schwarzschild^[11].

Une région extérieure au rayon de Schwarzschild est celle où la coordonnée $t$ est de genre temps et les coordonnées $r, θ et φ$ sont de genre espace^[10].

Histoire

La métrique de Schwarzschild est une solution de l'équation d'Einstein pour le vide^[12]. Elle est à symétrie sphérique et dépend d'un paramètre $M$ correspondant à la masse^[12]. Elle peut s'exprimer dans un système de coordonnées d'espace-temps avec $r$ tel que l'aire des sphères — qui sont les orbites du groupe des rotations — soit $4π r 2$ ^[12]. Dans ce système de coordonnées et pour $M > 0$ , la métrique présente une singularité à $r = 2 GM / c 2$ ^[12]. Dans la région $r > 2GM / c 2$ , la métrique est statique et représente le champ gravitationnel en dehors d'un corps à symétrie sphérique, statique et dont l'aire correspond à $r 0 > 2 GM / c 2$ ^[12]. Le théorème répond à la question de savoir si la métrique reste applicable sans avoir à supposer que le corps soit statique^[12].

L'éponyme du théorème de Birkhoff est le mathématicien américain George D. Birkhoff (1884-1944) qui l'a établi en 1923^[13]^,^[14]^,^[15].

À la suite des travaux d'Ernst Schmutzer^[16] et de Hubert Goenner^[17], et de leur citation par Hans-Jürgen Schmidt^[18] puis Stanley Deser et Joel Franklin^[19], il est désormais admis qu'il avait déjà été publié deux ans plus tôt par un physicien norvégien alors méconnu, Jørg Tofte Jebsen (en)^[20]. Depuis, il est souvent question du « théorème de Jebsen-Birkhoff » dans les publications scientifiques^[21]. D'après Deser et Franklin^[19], le théorème a également été obtenu indépendamment par W. Alexandrow dès 1923^[22] et par J. Eisland deux ans plus tard^[23].

Justification intuitive

L'idée du théorème de Birkhoff est qu'un champ gravitationnel de symétrie sphérique doit être généré par un objet massif à l'origine : s'il y avait une autre concentration de masse-énergie ailleurs, cela perturberait la symétrie sphérique, donc, on peut s'attendre à ce que la solution représente un objet isolé. Le champ devrait disparaître à grande distance de l'objet, ce qui correspond partiellement à une solution asymptotiquement plate. Ainsi, cette part du théorème correspond à ce que l'on attend du fait que la gravitation newtonienne est un cas limite de la relativité générale.

Conséquences

Le théorème montre qu'il est inutile de supposer que l'espace-temps est statique pour obtenir la métrique de Schwarzschild^[24] : supposer que l'espace-temps est à symétrie sphérique est nécessaire mais suffisant^[24].

La conclusion que le champ extérieur doit être stationnaire est plus surprenante, et a une conséquence importante. Considérons une étoile sphérique de masse fixe soumise à des pulsations sphériques. Alors, le théorème de Birkhoff dit que sa géométrie extérieure doit obéir à la métrique de Schwarzschild : le seul effet de la pulsation est de changer la position de la surface stellaire. Cela signifie qu'une étoile soumise à des pulsations sphériques ne peut pas émettre d'ondes gravitationnelles.

Une autre conséquence intéressante du théorème de Birkhoff est que pour une fine couche sphérique, la solution intérieure doit obéir à la métrique de Minkowski. En d'autres termes, le champ gravitationnel doit s'annuler à l'intérieur d'une couche sphérique. Ceci est en accord avec la gravitation newtonienne.

En vertu du théorème de de Birkhoff, une étoile statique doit avoir un rayon supérieur au rayon de Schwarzschild^[25] :

R>{\frac {2GM}{c^{2}}}=R_{\mathrm {S} }

,

où :

$R$ et $M$ son respectivement le rayon et la masse de l'étoile ;
$c$ et $G$ sont respectivement la vitesse de la lumière dans le vide et la constante de la gravitation ;
$R_{\mathrm {S} }$ est le rayon de Schwarzschild.

Généralisations

Le théorème de Birkhoff peut être généralisé : toute solution à symétrie sphérique des équations de champ d'Einstein-Maxwell doit être stationnaire et asymptotiquement plate, ce qui implique que la géométrie extérieure d'une étoile chargée sphérique doit correspondre à celle d'un trou noir de Reissner-Nordström.

Il n'existe pas de généralisation du théorème de Birkhoff pour le cas d'un espace-temps à symétrie axiale^[26], notamment pour l'effondrement gravitationnel d'un corps en rotation^[27]. En particulier, la métrique de Kerr n'est pas la métrique extérieure au corps en rotation pendant son effondrement gravitationnel^[27].

Notes et références

↑ Bachelot 1993, p. 2.
↑ Bachelot 1996, p. 3.
↑ Vasset 2009, p. 64.
↑ Dul 2016, p. 7.
↑ Reall 2017, p. 11.
↑ Zegers 2005, p. 1.
↑ Earman 2015, chap. 1^er, sec. 1.2, p. 5.
↑ Ong 2015, chap. 1^er, sec. 1.1, p. 7, n. 12.
↑ ^{a et b} Ellis 2015, sec. 2, introduction, p. 598, col. 2.
↑ ^{a et b} Capozziello et Faraoni 2010, chap. 4, sec. 4.3, § 4.3.3, p. 143.
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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Birkhoff's theorem (relativity) » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

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Publications du théorème

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Découverte du théorème

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[Goenner 1970] (en) Hubert Goenner, « Einstein tensor and generalizations of Birkhoff's theorem », Communications in Mathematical Physics, vol. 16, n^o 1,‎ mars 1970, art. n^o 1, p. 34-47 (DOI 10.1007/BF01645493, Bibcode 10.1007/BF01645493, résumé).
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Exemples de démonstration du théorème

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Dictionnaires

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Communications et exposés

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[Bachelot 1996] Alain Bachelot, « Diffusion classique et quantique par un trou noir en formation », dans Centre de mathématiques Laurent-Schwartz, Équations aux dérivées partielles : séminaire 1995-1996, Palaiseau, École polytechnique, 1996, 1^re éd., 30 cm (ISBN 2-7302-0366-8 (édité erroné), OCLC 36684122, BNF 35843538, SUDOC 029139945), exposé n^o XV du 26 mai 1996, 18 p. (lire en ligne [PDF]).
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[Le Bellac 2012] Michel Le Bellac, chap. 5 « Relativité générale », dans Freddy Bouchet, Basile Audoly et Jacques-Alexandre Sepulchre (éd.), Peyresq lectures on nonlinear phenomena, vol. 3, Singapour, World Scientific, novembre 2012, 1^re éd., IX-375 p., 15,8 × 23 cm (ISBN 978-981-4440-58-5, EAN 9789814440585, OCLC 874994970, SUDOC 177232897, présentation en ligne, lire en ligne), p. 155-239 (DOI 10.1142/9789814440592_0005, résumé).

Cours

[Gourgoulhon 2014] Éric Gourgoulhon, Relativité générale (notes de cours, 2^e année du master recherche Astronomie et Astrophysique de l'Observatoire de Paris, des universités Paris-VI – Pierre-et-Marie-Curie, Paris-VII – Paris Diderot et Paris-XI – Paris-Sud, et de l'École normale supérieure, année universitaire 2013-2014), Paris, Observatoire de Paris, mars 2014, 341 p., 30 cm (lire en ligne), § 3.2.4 « Théorème de Birkhoff ».
[Reall 2017] (en) Harvey S. Reall, Black holes (notes de cours), Cambridge, Université de Cambridge, janvier 2017, VIII-148 p., 30 cm (lire en ligne [PDF]), § 2.1 « Birkhoff's theorem », p. 11-12.

Thèses

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[Vasset 2009] Nicolas Vasset et Jérôme Novak (dir.), Quelques aspects des horizons de trous noirs en relativité numérique (thèse de doctorat en astronomie), Paris, Université Paris-VII – Paris-Diderot, Laboratoire Univers et Théories, 30 juin 2009, 171 p., 30 cm (OCLC 690346916, SUDOC 137115849, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).

Articles connexes

Liens externes

(en) Birkhoff's theorem (théorème de Birkhoff) sur l'Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics de l'Observatoire de Paris.
(en) « Birkhoff's Theorem », sur ScienceWorld (consulté le 18 août 2014)

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[Bachelot19963-2] Bachelot 1996, p. 3.

[Vasset200964-3] Vasset 2009, p. 64.

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[Reall201711-5] Reall 2017, p. 11.

[Zegers20051-6] Zegers 2005, p. 1.

[Earman20155<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;1.2-7] Earman 2015, chap. 1^er, sec. 1.2, p. 5.

[Ong20157,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;12</span><span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;1.1-8] Ong 2015, chap. 1^er, sec. 1.1, p. 7, n. 12.

[Ellis2015598,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span><abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2,_introduction-9] {a et b} Ellis 2015, sec. 2, introduction, p. 598, col. 2.

[CapozzielloFaraoni2010143<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.3,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.3.3</span>-10] {a et b} Capozziello et Faraoni 2010, chap. 4, sec. 4.3, § 4.3.3, p. 143.

[Ellis2015598,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span><abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2,_introduction-11] Ellis 2015, sec. 2, introduction, p. 598, col. 1.

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[Birkhoff1923-13] Birkhoff 1923.

[Spagnou2017<abbr_class="abbr"_title="Quatrième">4<sup>e</sup></abbr>&nbsp;partie,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;3</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4</span>-14] Spagnou 2017, 4^e partie, chap. 3, § 4.

[TailletVillainFebvre201879,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''Birkhoff_(théorème_de)-15] Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Birkhoff (théorème de), p. 79, col. 2.

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 En [[relativité générale]], le '''théorème de Birkhoff''' affirme que toute solution à symétrie sphérique de l'[[équation d'Einstein]] doit être statique et asymptotiquement plate. C'est, en d'autres termes, un {{page h'|théorème d'unicité}}{{sfn|Bachelot|1993|p=2}}{{,}}{{sfn|Bachelot|1996|p=3}}{{,}}{{sfn|Vasset|2009|p=64}} en vertu duquel toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein dans le vide est localement isométrique à la [[Métrique de Schwarzschild|solution de Schwarzschild]]{{sfn|Dul|2016|p=7}}{{,}}{{sfn|Reall|2017|p=11}}{{,}}{{sfn|Zegers|2005|p=1}}.
+== Énoncés ==
-Ce théorème a été prouvé en {{date|1923}} par [[George David Birkhoff]]{{sfn|Birkhoff|1923}}. À la suite des travaux d'Ernst Schmutzer{{sfn|Schmutzer|1968}} et de Hubert Goenner{{sfn|Goenner|1970}}, et de leur citation par Hans-Jürgen Schmidt{{sfn|Schmidt 1997}} puis [[Stanley Deser]] et Joel Franklin{{sfn|Deser|Franklin|2005|loc={{n.|5}}}}, il est désormais admis qu'il avait déjà été publié deux ans plus tôt par un physicien norvégien alors méconnu, {{lien|Jørg Tofte Jebsen}}<ref>{{article | lang=en | nom1=Nils Voje Johansen | nom2=Finn Ravndal | titre=On the discovery of Birkhoff's theorem | périodique=General Relativity and Gravitation | volume=38 | numéro=3 | pages=537-540 | jour=3 | mois=mars | année=2006 | doi=10.1007/s10714-006-0242-0 | arxiv=physics/0508163v2}}.</ref>. Depuis, il est souvent question du « théorème de Jebsen-Birkhoff » dans les publications scientifiques<ref>{{article | lang=en | nom1=Anne Marie Nzioki | nom2=Rituparno Goswami | nom3=Peter K. S. Dunsby | titre=Jebsen-Birkhoff theorem and its stability in f(R) gravity | périodique=[[Physical Review D]] | jour=20 | mois=mars | année=2014 | volume=89 | pages=064050 | doi=10.1103/PhysRevD.89.064050}}.</ref>. D'après Deser et Franklin{{sfn|Deser|Franklin|2005|loc={{n.|5}}}}, le théorème a également été obtenu indépendamment par W. Alexandrow dès {{date-|1923}}{{sfn|Alexandrow|1923}} et par J. Eisland [[1925|deux ans plus tard]]{{sfn|Eiesland|1925}}.
+{{Théorème|Unicité de la métrique de Schwarzschild|La [[métrique de Schwarzschild]] est l'unique [[Métrique (physique)|solution]] à [[Symétrie de rotation#Espace-temps à symétrie sphérique|symétrie sphérique]] de l'[[équation d'Einstein]] pour le [[Vide (physique)#Vide (relativité générale)|vide]] et en l'absence de [[constante cosmologique]]{{sfn|Earman|2015|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.2}}|p=5}}.}}
+{{Énoncé||Tout [[espace-temps]] à [[Symétrie de rotation#Espace-temps à symétrie sphérique|symétrie sphérique]] satisfaisant à l'[[équation d'Einstein]] pour le [[Vide (physique)#Vide (relativité générale)|vide]] doit avoir, en plus des trois champs de [[vecteur de Killing]] liés à la symétrie sphérique, un champ de vecteur de Killing supplémentaire{{sfn|Ong|2015|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.1}}|p=7, {{n.|12}}}}.}}.
+{{Énoncé||Une [[Métrique (physique)|solution]] à [[Symétrie de rotation#Espace-temps à symétrie sphérique|symétrie sphérique]] de l'[[équation d'Einstein]] pour le [[Vide (physique)#Vide (relativité générale)|vide]] est nécessairement [[Vecteur de Killing#Espace-temps statique|statique]]{{sfn|Ellis|2015|loc={{sec.|2}}, introduction|p=598, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Capozziello|Faraoni|2010|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.3}}, {{§|4.3.3}}|p=143}} dans une région extérieure{{sfn|Ellis|2015|loc={{sec.|2}}, introduction|p=598, {{col.|2}}}} au [[rayon de Schwarzschild]]{{sfn|Ellis|2015|loc={{sec.|2}}, introduction|p=598, {{col.|1}}}}.}}
+Une région extérieure au rayon de Schwarzschild est celle où la [[Coordonnées d'espace-temps|coordonnée]] {{formule|''t''}} est de [[Genre (relativité)|genre]] temps et les coordonnées {{formule|''r'', ''θ'' et ''φ''}} sont de genre espace{{sfn|Capozziello|Faraoni|2010|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.3}}, {{§|4.3.3}}|p=143}}.
+== Histoire ==
+La [[métrique de Schwarzschild]] est une solution de l'[[équation d'Einstein]] pour le [[Vide (physique)|vide]]<ref name=C1>{{Ouvrage | langue=en | prénom=Demetrios | nom=Christodoulou | lien auteur=Demetrios Christodoulou | titre=The formation of black holes in general relativity | traduction titre=La formation des trous noirs en relativité générale | lieu=Zürich | éditeur=[[Société mathématique européenne|EMS]] | collection=EMS monographs in mathematics | fate=1/2009 | numéro d'édition=1 | pages totales={{IX}}-589 | format livre={{dunité|16,5|23,5|cm}} | isbn10=3-03-719068-X | isbn=978-3-03-719068-5 | ean=9783037190685 | oclc=495196402 | bnf=42200945j | doi=10.4171/068 | bibcode=2009fbhg.book.....C | arxiv=0805.3880 | sudoc=13544893X | présentation en ligne=https://www.ems-ph.org/books/book.php?proj_nr=93 | lire en ligne={{Google Livres|id=DL5IDp1p0LYC}} | consulté le=13 février 2022 | passage=1}}.</ref>. Elle est à [[Symétrie de rotation|symétrie sphérique]] et dépend d'un paramètre {{formule|§=''M''}} correspondant à la [[masse]]<ref name=C1/>. Elle peut s'exprimer dans un système de [[coordonnées d'espace-temps]] avec {{formule|§=''r''}} tel que l'[[Sphère#Formules|aire des sphères]] {{incise|qui sont les orbites du groupe des rotations}} soit {{formule|§=4π''r''{{exp|2}}}}<ref name=C1/>. Dans ce système de coordonnées et pour {{formule|§=''M'' > 0}}, la métrique présente une [[Singularité (mathématiques)|singularité]] à {{formule|§=''r'' = 2''GM'' / ''c''{{exp|2}}}}<ref name=C1/>. Dans la région {{formule|§=''r'' > ''2GM'' / ''c''{{exp|2}}}}, la métrique est statique et représente le [[champ gravitationnel]] en dehors d'un corps à symétrie sphérique, statique et dont l'aire correspond à {{formule|§=''r''{{ind|0}} > 2''GM'' / ''c''{{exp|2}}}}<ref name=C1/>. Le théorème répond à la question de savoir si la métrique reste applicable sans avoir à supposer que le corps soit statique<ref name=C1/>.
+L'[[Éponymie|éponyme]] du '''théorème de Birkhoff''' est le mathématicien américain [[George David Birkhoff|George D. Birkhoff]] (1884-1944) qui l'a établi en 1923{{sfn|Birkhoff|1923}}{{,}}{{sfn|Spagnou|2017|loc={{4e|partie}}, {{chap.|3}}, {{§|4}}}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}}Birkhoff (théorème de)|p=79, {{col.|2}}}}.
+À la suite des travaux d'Ernst Schmutzer{{sfn|Schmutzer|1968}} et de Hubert Goenner{{sfn|Goenner|1970}}, et de leur citation par Hans-Jürgen Schmidt{{sfn|Schmidt 1997}} puis [[Stanley Deser]] et Joel Franklin{{sfn|Deser|Franklin|2005|loc={{n.|5}}}}, il est désormais admis qu'il avait déjà été publié deux ans plus tôt par un physicien norvégien alors méconnu, {{lien|Jørg Tofte Jebsen}}<ref>{{article | lang=en | nom1=Nils Voje Johansen | nom2=Finn Ravndal | titre=On the discovery of Birkhoff's theorem | périodique=General Relativity and Gravitation | volume=38 | numéro=3 | pages=537-540 | jour=3 | mois=mars | année=2006 | doi=10.1007/s10714-006-0242-0 | arxiv=physics/0508163v2}}.</ref>. Depuis, il est souvent question du « théorème de Jebsen-Birkhoff » dans les publications scientifiques<ref>{{article | lang=en | nom1=Anne Marie Nzioki | nom2=Rituparno Goswami | nom3=Peter K. S. Dunsby | titre=Jebsen-Birkhoff theorem and its stability in f(R) gravity | périodique=[[Physical Review D]] | jour=20 | mois=mars | année=2014 | volume=89 | pages=064050 | doi=10.1103/PhysRevD.89.064050}}.</ref>. D'après Deser et Franklin{{sfn|Deser|Franklin|2005|loc={{n.|5}}}}, le théorème a également été obtenu indépendamment par W. Alexandrow dès {{date-|1923}}{{sfn|Alexandrow|1923}} et par J. Eisland [[1925|deux ans plus tard]]{{sfn|Eiesland|1925}}.
 == Justification intuitive ==
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 == Conséquences ==
+Le théorème montre qu'il est inutile de supposer que l'espace-temps est statique pour obtenir la métrique de Schwarzschild<ref name=R1>{{Ouvrage | langue=en | prénom=Wolfgang | nom=Rindler | lien auteur=Wolfgang Rindler | titre=Essential relativity | sous-titre=special, general, and cosmological | lieu=New York, Heidelberg et Berlin | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | collection=Text and monographs in physics | année=1977 | numéro d'édition=2 | année première édition=1969 | pages totales={{XIV}}-284 | format livre={{unité|24|cm}} | isbn1=0-387-07970-X | isbn2=0-387-10090-3 | isbn3=3-540-07970-X | isbn4=3-540-10090-3 | oclc=299708869 | bnf=373627177 | doi=10.1007/978-3-642-86650-0 | bibcode=1977ersg.book.....R | sudoc=011728663 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-86650-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=rCfsCAAAQBAJ}} | consulté le=14 février 2022 | passage=138}}.</ref> : supposer que l'espace-temps est à symétrie sphérique est nécessaire mais suffisant<ref name=R1/>.
 La conclusion que le champ extérieur doit être stationnaire est plus surprenante, et a une conséquence importante. Considérons une [[étoile]] sphérique de masse fixe soumise à des pulsations sphériques. Alors, le théorème de Birkhoff dit que sa géométrie extérieure doit obéir à la métrique de Schwarzschild : le seul effet de la pulsation est de changer la position de la surface stellaire. Cela signifie qu'une étoile soumise à des pulsations sphériques ne peut pas émettre d'[[onde gravitationnelle|ondes gravitationnelles]].
 Une autre conséquence intéressante du théorème de Birkhoff est que pour une fine couche sphérique, la solution intérieure doit obéir à la [[Espace de Minkowski#Structure algébrique|métrique de Minkowski]]. En d'autres termes, le champ gravitationnel doit s'annuler à l'intérieur d'une couche sphérique. Ceci est en accord avec la gravitation newtonienne.
+En vertu du théorème de de Birkhoff, une étoile statique doit avoir un rayon supérieur au [[rayon de Schwarzschild]]<ref>{{Ouvrage | langue=en | prénom1=Kip S. | nom1=Thorne | lien auteur1=Kip Thorne | prénom2=Roger D. | nom2=Blandford | titre=Relativity and cosmology | traduction titre=Relativité et cosmologie | lieu=Princeton | éditeur=[[Princeton University Press]] | collection=Modern classical physics | numéro dans collection=5 | date=5/2021 | numéro d'édition=1 | format livre={{nb p.|XXII}} et {{p.|1151-1544}}, {{unité|26|cm}} | isbn10=0-691-20739-9 | isbn=978-0-691-20739-1 | ean=9780691207391 | oclc=1259628386 | sudoc=256442894 | présentation en ligne=https://press.princeton.edu/books/paperback/9780691207391/relativity-and-cosmology | lire en ligne={{Google Livres|id=HgEREAAAQBAJ}} | consulté le=13 février 2022 | passage=1250}}.</ref> :
+:<math>R>\frac{2GM}{c^2}=R_\mathrm{S}</math>,
+où :
+*<math>R</math> et <math>M</math> son respectivement le rayon et la [[masse]] de l'étoile ;
+*<math>c</math> et <math>G</math> sont respectivement la [[vitesse de la lumière]] dans le vide et la [[Constante gravitationnelle|constante de la gravitation]] ;
+*<math>R_\mathrm{S}</math> est le rayon de Schwarzschild.
 == Généralisations ==
-Le théorème de Birkhoff peut être généralisé : toute solution à symétrie sphérique des équations de champ d'Einstein-Maxwell doit être stationaire et asymptotiquement plate, ce qui implique que la géométrie extérieure d'une étoile chargée sphérique doit correspondre à celle d'un [[trou noir de Reissner-Nordström]].
+Le théorème de Birkhoff peut être généralisé : toute solution à symétrie sphérique des équations de champ d'Einstein-Maxwell doit être stationnaire et asymptotiquement plate, ce qui implique que la géométrie extérieure d'une étoile chargée sphérique doit correspondre à celle d'un [[trou noir de Reissner-Nordström]].
+Il n'existe pas de généralisation du théorème de Birkhoff pour le cas d'un espace-temps à symétrie axiale<ref name=HH170>{{Article | langue=en | prénom1=Christian | nom1=Heinicke | prénom2=Friedrich W. | nom2=Hehl | titre=Schwarzschild and Kerr solutions of Einstein's field equation | sous-titre=an introduction | traduction titre=Les solutions de Schwarzschild et de Kerr de l'équation du champ d'Einstein : une introduction | périodique=Int. J. Mod. Phys. D | volume=24 | numéro=2 | année=2015 | pages=1530006 | oclc=5823012032 | doi=10.1142/S0218271815300062 | bibcode=2015IJMPD..2430006H | arxiv=1503.02172 | résumé=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218271815300062}} {{commentaire biblio SRL | réimpr. dans :
+* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Wei-Tou | nom1=Ni | directeur1=oui | titre=One hundred years of general relativity | sous-titre=from genesis and empirical foundations to gravitational waves, cosmology and quantum gravity | traduction titre=Cent ans de relativité générale : de la genèse et des fondements empiriques aux ondes gravitationnelles, à la cosmologie et à la gravité quantique | volume=1 | lieu=New Jersey | éditeur=[[World Scientific]] | année=2017 | numéro d'édition=1 | isbn10=981-4678-48-1 | isbn=978-981-4678-48-3 | ean=9789814678483 | oclc=1002304256 | doi=10.1142/9389-vol1 | sudoc=203795857 | présentation en ligne=https://www.worldscientific.com/doi/10.1142/9389-vol1 | lire en ligne={{Google Livres|id=lvUnDwAAQBAJ}} | consulté le=13 février 2022 | partie=I | numéro chapitre=3 | passage=109-187 <small>([[Digital Object Identifier|DOI]] {{lien web | url=https://doi.org/10.1142/9789814635134_0003 | description=10.1142/9789814635134_0003}}, {{lien web | url=https://www.worldscientific.com/doi/epdf/10.1142/9789814635134_0003 | description=lire en ligne}})</small>, {{p.|170}}}}.}}</ref>, notamment pour l'[[effondrement gravitationnel]] d'un corps en rotation<ref name=ST359>{{Ouvrage | langue=en | prénom1=Stuart L. | nom1=Shapiro | prénom2=Saul A. | nom2=Teukolsky | titre=Black holes, white dwarfs, and neutron stars | sous-titre=the physics of compact objects | traduction titre=Trous noirs, naines blanches, et étoiles à neutrons : la physique des objets compacts | lieu=New York | éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]] | date=7/1983 | numéro d'édition=1 | réimpression={{date-|11/2008}} | pages totales={{XVII}}-645 | format livre={{unité|24|cm}} | isbn1=0-471-87317-9 | isbn2=0-471-87316-0 | ean=9780471873174 | oclc=421948441 | bnf=37360987g | doi=10.1002/9783527617661 | sudoc=007387539 | présentation en ligne=https://www.wiley.com/en-us/Black+Holes,+White+Dwarfs,+and+Neutron+Stars:+The+Physics+of+Compact+Objects-p-9783527617678 | lire en ligne={{Google Livres|id=d1CRQIcP1zoC}} | consulté le=13 février 2022 | passage=359}}.</ref>. En particulier, la [[métrique de Kerr]] n'est pas la métrique extérieure au corps en rotation pendant son effondrement gravitationnel<ref name=ST359/>.
 == Notes et références ==
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 === Bibliographie ===
+* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Kirill A. | nom1=Bronnikov | prénom2=Sergey G. | nom2=Rubin | titre=Black holes, cosmology and extra dimensions | lieu=Hackensack | éditeur=[[World Scientific]], hors {{coll.}} | date=7/2021 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|12/2012}} | pages totales={{XXII}}-568 | format livre={{dunité|15,9|22,9|cm}} | isbn10=981-123-344-6 | isbn=978-981-123-344-9 | ean=9789811233449 | oclc=1386706536 | doi=10.1142/12186 | sudoc=269733590 | présentation en ligne=https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/12186 | lire en ligne={{Google Livres|id=L9Q3EAAAQBAJ}} | consulté le=17 septembre 2023 | libellé= Bronnikov et Rubin 2021}}.
+* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Salvatore | nom1=Capozziello | prénom2=Valerio | nom2=Faraoni | titre=Beyond Einstein gravity | sous-titre=a survey of gravitational theories for cosmology and astrophysics | lieu=Dordrecht | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | collection=Fundamental theories of physics | numéro dans collection=170 | date=11/2010 | réimpression={{date-|1/2013}} | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIX}}-428 | isbn10=94-0070164-0 | isbn1=978-94-007-0164-9 | isbn2=978-94-007-3402-9 | ean=9789400701649 | oclc=758698417 | doi=10.1007/978-94-007-0165-6 | bibcode=2011beg..book.....F | s2cid=118678245 | sudoc=150245866 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-007-0165-6 | lire en ligne={{Google Livres|id=eBFpiXXVcKkC}} | consulté le=17 septembre 2023 | libellé=Capozziello et Faraoni 2010}}.
+* {{Ouvrage | langue=en | prénom=John | nom=Earman | titre=Bangs, crunches, whimpers, and shrieks | sous-titre=singularities and acausalities in relativistic spacetimes | lieu=New York et Oxford | éditeur=[[Oxford University Press|OUP]], hors {{coll.}} | date=11/1995 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XI}}-257 | format livre={{dunité|15,6|23,4|cm}} | isbn=0-19-509591-X | ean=9780195095913 | oclc=31867384 | bnf=388212362 | bibcode=1995bcws.book.....E | s2cid=121995426 | sudoc=032380747 | présentation en ligne=https://global.oup.com/academic/product/bangs-crunches-whimpers-and-shrieks-9780195095913 | lire en ligne={{Google Livres|id=Oi6_tGn2aLMC}} | consulté le=17 septembre 2023 | libellé=Earman 2015}}.
+* {{Chapitre | langue=en | prénom=George F. R. | nom=Ellis | lien auteur=George F. R. Ellis | titre=General relativity and cosmology | auteurs ouvrage=[[Nicholas Higham|Nicholas J. Higham]] (éd. et {{préface}}) {{et al.}} | titre ouvrage=The Princeton companion to applied mathematics | lieu=Princeton | éditeur=[[Princeton University Press|PUP]], hors {{coll.}} | date=9/2015 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVII}}-994 | format livre={{dunité|21,3|26,2|cm}} | isbn10=0-691-15039-7 | isbn=978-0-691-15039-0 | ean=9780691150390 | oclc=923003755 | doi=10.1515/9781400874477 | s2cid=26766987 | sudoc=190115718 | présentation en ligne=https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691150390/the-princeton-companion-to-applied-mathematics | lire en ligne={{Google Livres|id=MvI8CgAAQBAJ}} | consulté le=17 septembre 2023 | partie={{IVe|partie}}, {{chap.|{{IV}}.40}} | passage=579-590 | libellé=Ellis 2015}}.
+* {{Ouvrage |langue=fr |langue originale=en |prénom1=Michael P. |nom1=Hobson |auteur2=[[George Efstathiou]] |prénom3=Anthony N. |nom3=Lasenby |traducteur=Loïc Villain |champ libre=révision scientifique par Richard Taillet |titre=Relativité générale |titre original=General relativity : an introduction for physicists |lieu=Bruxelles et Paris |éditeur=[[De Boeck Supérieur]] |collection=Physique |année=2009 |mois=décembre |numéro d'édition=1 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{XX}}-554 |format livre={{dunité|21,6|27,6|cm}} |passage={{§|9.3}} (« Théorème de Birkhoff »), {{p.|199}} |isbn=978-2-8041-0126-8 |ean=9782804101268 |oclc=690272413 |bnf=b421421742 |sudoc=140535705 |présentation en ligne=http://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782804101268-relativite-generale |lire en ligne={{google livres|id=0EDTUmS9ShYC}} |consulté le=15 janvier 2018 |numéro chapitre=9 |titre chapitre=Géométrie de Schwarzschild |libellé=Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009}}.
+* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Ray | nom1=d'Inverno | prénom2=James | nom2=Vickers | champ libre=avant-propos de [[Roger Penrose]] | titre=Introducing Einstein's relativity | sous-titre=a deeper understanding | lieu=Oxford | éditeur=[[Oxford University Press|OUP]], hors {{coll.}} | date=6/2022 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|6/1992}} | pages totales={{XIV}}-605 | format livre={{dunité|18,9|24,6|cm}} | isbn10=0-19-886202-4 | isbn1=978-0-19-886202-4 | isbn2=978-0-19-886203-1 | ean=9780198862024 | oclc=1362982638 | doi=10.1093/oso/9780198862024.001.0001 | sudoc=255388101 | présentation en ligne=https://global.oup.com/academic/product/introducing-einsteins-relativity-9780198862024 | lire en ligne={{Google Livres|id=1edvEAAAQBAJ}} | consulté le=17 septembre 2023 | libellé=d'Inverno et Vickers 2022}}.
+* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Yen Chin | nom=Ong | titre=Evolution of black holes in anti-de Sitter spacetime and the firewall controversy | lieu=Berlin et Heidelberg | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | collection=Springer theses | date=11/2015 | réimpression={{date-|3/2019}} | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXII}}-222 | format livre={{dunité|15,9|24,1|cm}} | isbn10=3-662-48269-X | isbn1=978-3-662-48269-8 | isbn2=978-3-662-56915-3 | ean=9783662482698 | oclc=945657532 | doi=10.1007/978-3-662-48270-4 | s2cid=124359805 | sudoc=192225049 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-48270-4 | libellé=Ong 2015}}.
+* {{Ouvrage |langue=fr |auteur1=[[Pierre Spagnou]] |titre=Les mystères du temps |sous-titre=de Galilée à Einstein |lieu=Paris |éditeur=[[CNRS Éditions]] |collection=Le banquet scientifique |année=2017 |mois=janvier |numéro d'édition=1 |pages totales=277 |format livre={{dunité|15|23|cm}} |passage={{nobr|section 3}} « La métrique de Schwarzschild », {{§|4}} « Le théorème de Birkhoff » |isbn=978-2-271-08911-3 |ean=9782271089113 |oclc=973489513 |bnf=452065230 |sudoc=198491859 |présentation en ligne=http://www.cnrseditions.fr/histoire-des-sciences-et-des-techniques/7407-les-mysteres-du-temps.html |lire en ligne={{Google livres|id=hkHJDgAAQBAJ}} |consulté le=15 janvier 2018 |numéro chapitre=4 |titre chapitre=Le temps de la relativité générale |libellé=Spagnou 2017}}.
+* {{Article |langue=en |prénom=Robin |nom=Zegers |titre=Birkhoff's theorem in Lovelock gravity |périodique=[[Journal of Mathematical Physics]] |volume=46 |numéro=7 |mois=juillet |année=2005 |pages={{art.}}{{numéro|072502}}, {{nb p.|5}} |doi=10.1063/1.1960798 |bibcode=2005JMP....46g2502Z |arxiv=gr-qc/0505016 |résumé=http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1960798 |lire en ligne=https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0505016.pdf |format=pdf |consulté le=17 janvier 2018 |libellé=Zegers 2005}}.
+'''Publications du théorème'''
 * {{Article |langue=de |prénom=W. |nom=Alexandrow |titre=Über den kugelsymmetrischen Vakuumvorgang in der Einsteinschen Gravitationstheorie |périodique=[[Annalen der Physik]] |volume=377 |numéro=18 |année=1923 |pages={{art.}}{{numéro|3}}, {{p.|141-152}} |doi=10.1002/andp.19233771804 |bibcode=1923AnP...377..141A |résumé=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/andp.19233771804/abstract |consulté le=15 janvier 2018 |libellé=Alexandrow 1923}}.
-* {{Ouvrage |langue=en |prénom=George D. |nom=Birkhoff |lien auteur=George David Birkhoff |champ libre=avec la collaboration de Rudolph E. Langer |titre=Relativity and modern physics |lieu=Cambridge |éditeur=[[Harvard University Press]] |année=1923 |numéro d'édition=1 |pages={{nobr|1 vol.}}, {{XI}}-283 |format={{unité|23|cm}} |oclc=1068558 |lccn=23008297 |bibcode=1923rmp..book.....B |sudoc=121433935 |consulté le=15 janvier 2018 |libellé=Birkhoff 1923}}.
+* {{Ouvrage |langue=en |prénom1=George D. |nom1=Birkhoff |lien auteur1=George David Birkhoff |champ libre=avec la collaboration de Rudolph E. Langer |titre=Relativity and modern physics |lieu=Cambridge |éditeur=[[Harvard University Press]] |année=1923 |numéro d'édition=1 |pages totales={{XI}}-283 |format livre={{unité|23|cm}} |oclc=1068558 |lccn=23008297 |bibcode=1923rmp..book.....B |sudoc=121433935 |consulté le=15 janvier 2018 |libellé=Birkhoff 1923}}.
+* {{Article |langue=en |prénom=John |nom=Eiesland |lien auteur=w:en:John Arndt Eiesland |titre=The group of motions of an Einstein space |périodique=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |volume=27 |numéro=2 |mois=avril |année=1925 |pages={{art.}}{{numéro|6}}, {{p.|213-245}} |doi=10.1090/S0002-9947-1925-1501308-7 |jstor=1989063 |résumé=http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-02/S0002-9947-1925-1501308-7/ |lire en ligne=http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-02/S0002-9947-1925-1501308-7/S0002-9947-1925-1501308-7.pdf |format=pdf |consulté le=15 janvier 2018 |libellé=Eiesland 1925}}.
-* {{ouvrage | lang=en | nom1=Salvatore Capozziello | nom2=Valerio Faraoni | titre=Beyond Einstein Gravity | sous-titre=A Survey of Gravitational Theories for Cosmology | année=2010 | éditeur=Springer Science & Business Media | passage=139 | pages totales=447 | titre chapitre=Spherical symmetry | numéro chapitre=4 | présentation en ligne=https://books.google.de/books?id=eBFpiXXVcKkC&dq=birkhoff+jebsen+theorem&source=gbs_navlinks_s}}.
-* {{Article |langue=en |prénom=John |nom=Eiesland |lien auteur=w:en:John Arndt Eiesland |titre=The group of motions of an Einstein space |périodique=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |volume=27 |numéro=2 |mois=avril |année=1925 |pages={{art.}}{{numéro|6}}, {{p.|213-245}} |doi=10.1090/S0002-9947-1925-1501308-7 |jstor=1989063 |résumé=http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-02/S0002-9947-1925-1501308-7/ |lire en ligne=http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-02/S0002-9947-1925-1501308-7/S0002-9947-1925-1501308-7.pdf |consulté le=15 janvier 2018 |libellé=Eiesland 1925}}.
+* {{Article |langue=de |prénom=Jørg T. |nom=Jebsen |titre=Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum |périodique=[[w:en:Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik|Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik]] |volume=15 |numéro=18 |année=1921 |pages=1-9 |présentation en ligne={{Google livres|id=8youGwAACAAJ}} |consulté le=15 janvier 2018 |libellé=Jebsen 1921}}.
-* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Michael P. |nom1=Hobson |prénom2=George P. |nom2=Efstathiou |prénom3=Anthony N. |nom3=Lasenby |traducteur=de l'anglais américain par Loïc Villain |champ libre=révision scientifique par Richard Taillet |titre=Relativité générale |titre original={{langue|en|texte=General relativity : an introduction for physicists}} |lieu=Bruxelles et Paris |éditeur=[[De Boeck Supérieur]] |collection=Physique |mois=décembre |année=2009 |numéro d'édition=1 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{XX}}-554 |format={{dunité|21,6|27,6|cm}} |isbn=978-2-8041-0126-8 |ean=9782804101268 |oclc=690272413 |bnf=b421421742 |sudoc=140535705 |présentation en ligne=http://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782804101268-relativite-generale |lire en ligne={{google livres|id=0EDTUmS9ShYC}} |consulté le=15 janvier 2018 |numéro chapitre=9 |titre chapitre=Géométrie de Schwarzschild |passage={{§|9.3}} (« Théorème de Birkhoff »), {{p.|199}} |libellé=Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009}}.
+'''Découverte du théorème'''
-* {{ouvrage | lang=en | auteur=Ray d'Inverno | titre=Introducing Einstein's Relativity | éditeur=Oxford University Press | année=1992 | pages totales=400 | isbn=978-0198596868}}. Voir la section 14.6 pour une preuve du théorème de Birkhoff, et la section 18.1 pour le théorème de Birkhoff généralisé.
-* {{Article |langue=de |prénom=Jørg T. |nom=Jebsen |lien auteur=w:en=Jørg Tofte Jebsen |titre=Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum |périodique=[[w:en:Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik|Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik]] |volume=15 |numéro=18 |année=1921 |pages=1-9 |présentation en ligne={{Google livres|id=8youGwAACAAJ}} |consulté le=15 janvier 2018 |libellé=Jebsen 1921}}.
+* {{Article |langue=en |prénom1=Stanley |nom1=Deser |lien auteur1=Stanley Deser |prénom2=Joel |nom2=Franklin |titre=Schwarzschild and Birkhoff a la Weyl |périodique=[[American Journal of Physics]] |volume=73 |numéro=3 |mois=mars |année=2005 |pages={{nobr|partie 3}} (« {{langue|en|texte=Papers}} »), {{art.}} {{numéro|9}}, {{p.|261-264}} |doi=10.1119/1.1830505 |bibcode=2005AmJPh..73..261D |arxiv=gr-qc/0408067 |résumé=http://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1830505 |consulté le=15 janvier 2018 |libellé=Deser et Franklin 2005}}.
-* {{Chapitre |langue=en |prénom=Henning |nom=Knutsen |titre=Jørg Tofte Jebsen, the forgotten Norwegian relativist who first obtained Birkhoff's theorem |auteurs ouvrage=Jean-Michel Alimi and André Füzfa (éd.) |titre ouvrage=Albert Einstein century international conference |nature ouvrage=acte de la conférence internationale tenue à Paris du {{date-|18 juillet- 2005}} au {{date-|22 juillet 2005}} |lieu=Melville |éditeur=[[American Institute of Physics]] |collection=AIP Conference Proceedings |numéro dans collection=861 |année=2006 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{XXIII}}-260 |format={{unité|28|cm}} |isbn=978-0-7354-0359-8 |ean=9780735403598 |oclc=494342472 |bnf=40962775k |sudoc=113279140 |doi=10.1063/1.2399709 |consulté le=15 janvier 2018 |libellé=Knutsen 2006}}.
-* {{Ouvrage |langue=fr |prénom=Pierre |nom=Spagnou |titre=Les mystères du temps : de Galilée à Einstein |lieu=Paris |éditeur=[[CNRS Éditions]] |collection=Le banquet scientifique |mois=janvier |année=2017 |numéro d'édition=1 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, 277 |format={{dunité|15|23|cm}} |isbn=978-2-271-08911-3 |ean=9782271089113 |oclc=973489513 |bnf=452065230 |sudoc=198491859 |présentation en ligne=http://www.cnrseditions.fr/histoire-des-sciences-et-des-techniques/7407-les-mysteres-du-temps.html |lire en ligne={{Google livres|id=hkHJDgAAQBAJ}} |consulté le=15 janvier 2018 |numéro chapitre=4 |titre chapitre=Le temps de la relativité générale |passage={{nobr|sect. 3}} (« La métrique de Schwarzschild »), {{§|4}} (« Le théorème de Birkhoff ») |libellé=Spagnou 2017}}.
-* {{Article |langue=en |prénom=Robin |nom=Zegers |titre=Birkhoff's theorem in Lovelock gravity |périodique=[[Journal of Mathematical Physics]] |volume=46 |numéro=7 |mois=juillet |année=2005 |pages={{art.}}{{numéro|072502}}, {{nb p.|5}} |doi=10.1063/1.1960798 |bibcode=2005JMP....46g2502Z |arxiv=gr-qc/0505016 |résumé=http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1960798 |lire en ligne=https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0505016.pdf |consulté le=17 janvier 2018 |libellé=Zegers 2005}}.
-; Découverte du théorème
-* {{Article |langue=en |prénom1=Stanley |nom1=Deser |lien auteur1=Stanley Deser |prénom2=Joel |nom2=Franklin |titre=Schwarzschild and Birkhoff a la Weyl |périodique=[[American Journal of Physics]] |volume=73 |numéro=3 |mois=mars |année=2005 |pages={{nobr|part. 3}} (« {{langue|en|texte=Papers}} »), {{art.}}{{numéro|9}}, {{p.|261-264}} |doi=10.1119/1.1830505 |bibcode=2005AmJPh..73..261D |arxiv=gr-qc/0408067 |résumé=http://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1830505 |consulté le=15 janvier 2018 |libellé=Deser et Franklin 2005}}.
 * {{Article |langue=en |prénom=Hubert |nom=Goenner |lien auteur=w:de:Hubert Goenner |titre=Einstein tensor and generalizations of Birkhoff's theorem |périodique=[[w:en:Communications in Mathematical Physics|Communications in Mathematical Physics]] |volume=16 |numéro=1 |mois=mars |année=1970 |pages={{art.}}{{numéro|1}}, {{p.|34-47}} |doi=10.1007/BF01645493 |bibcode=10.1007/BF01645493 |résumé=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01645493 |consulté le=18 janvier 2018 |libellé=Goenner 1970}}.
+* {{Chapitre |langue=en |prénom=Henning |nom=Knutsen |titre=Jørg Tofte Jebsen, the forgotten Norwegian relativist who first obtained Birkhoff's theorem |auteurs ouvrage=Jean-Michel Alimi and André Füzfa (éd.) |titre ouvrage=Albert Einstein century international conference |nature ouvrage=acte de la conférence internationale tenue à Paris du {{date-|18 juillet- 2005}} au {{date-|22 juillet 2005}} |lieu=Melville |éditeur=[[American Institute of Physics]] |collection=AIP Conference Proceedings |numéro dans collection=861 |année=2006 |pages totales={{XXIII}}-260 |format={{unité|28|cm}} |isbn=978-0-7354-0359-8 |ean=9780735403598 |oclc=494342472 |bnf=40962775k |sudoc=113279140 |doi=10.1063/1.2399709 |consulté le=15 janvier 2018 |libellé=Knutsen 2006}}.
 * {{Article |langue=en |prénom=Hans-Jürgen |nom=Schmidt |titre=A new proof of Birkhoff's theorem |périodique=Gravitation and Cosmology |volume=3 |numéro=3 |mois=septembre |année=1997 |pages=185-190 |bibcode=1997GrCo....3..185S |arxiv=gr-qc/9709071 |consulté le=18 janvier 2018 |libellé=Schmidt 1997}}.
-* {{Ouvrage |langue=de |prénom=Ernst |nom=Schmutzer |lien auteur=w:en:Ernst Schmutzer |titre=Relativistische Physik |sous-titre=Klassische Theorie |lieu=Leipzig |éditeur=[[Teubner-Verlag|Teubner]] |année=1968 |numéro d'édition=1 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, 974 |format={{unité|24|cm}} |oclc=4501696 |sudoc=018917658 |consulté le=18 janvier 2018 |libellé=Schmutzer 1968}}.
+* {{Ouvrage |langue=de |prénom1=Ernst |nom1=Schmutzer |lien auteur1=w:en:Ernst Schmutzer |titre=Relativistische Physik |sous-titre=Klassische Theorie |lieu=Leipzig |éditeur=[[Teubner-Verlag|Teubner]] |année=1968 |numéro d'édition=1 |pages totales=974 |format livre={{unité|24|cm}} |oclc=4501696 |sudoc=018917658 |consulté le=18 janvier 2018 |libellé=Schmutzer 1968}}.
-; Exemples de démonstration du théorème
+'''Exemples de démonstration du théorème'''
-* {{Ouvrage |langue=en |prénom1=Stephen W. |nom1=Hawking |lien auteur1=Stephen Hawking |prénom2=George F. R. |nom2=Ellis |lien auteur2=George F. R. Ellis |titre=The large scale structure of space-time |lieu=Cambridge |éditeur=[[Cambridge University Press]] |collection=Cambridge monographs on mathematical physics |mois=janvier |année=1973 |numéro d'édition=1 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{XI}}-391 |format={{unité|23|cm}} |isbn1=0-521-09906-4 |isbn2=978-0-521-09906-6 |isbn3=0-521-20016-4 |isbn4=978-0-521-20016-5 |ean=9780521099066 |oclc=299342801 |doi=10.1017/CBO9780511524646 |bnf=37358308d |sudoc=004735110 |présentation en ligne=https://www.cambridge.org/core/books/large-scale-structure-of-spacetime/1E6B961EC9878EDDBBD6AC0AF031CC93 |lire en ligne=https://yale.learningu.org/download/2edd46dc-7ff5-4084-8161-5b5328974fa0/E2143 |consulté le=18 janvier 2018 |passage=appendice B (« {{langue|en|texte=Spherically symmetric solutions and Birkhoff's theorem}} »), {{p.|369-372}} ({{doi|10.1017/CBO9780511524646.013}}, {{lien web |description=résumé |url=https://www.cambridge.org/core/books/the-large-scale-structure-of-space-time/spherically-symmetric-solutions-and-birkhoffs-theorem/463E2FF2B4354EA5599EA12F225F8950}}) |libellé=Hawking et Ellis 1973}}.
-* {{Ouvrage |langue=en |prénom1=Charles W. |nom1=Misner |lien auteur1=Charles W. Misner |prénom2=Kip S. |nom2=Thorne |lien auteur2=Kip Thorne |prénom3=John A. |nom3=Wheeler |lien auteur3=John Wheeler |champ libre=av.-propos de [[David Kaiser|David I. Kaiser]] |titre=[[Gravitation (livre)|Gravitation]] |lieu=Princeton |éditeur=[[Princeton University Press]] |mois=octobre |année=2017 |année première édition=1973 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{rom-maj|L}}-1279 |format={{unité|26|cm}} |isbn1=0-691-17779-1 |isbn2=978-0-691-17779-3 |ean=9780691177793 |oclc=1012380952 |présentation en ligne=https://press.princeton.edu/titles/11169.html |lire en ligne={{Google livres|id=zAAuDwAAQBAJ}} |consulté le=18 janvier 2018 |passage={{§|32.2}} ({{lien web |titre={{langue|en|Birkhoff's theorem}} |url={{Google livres|id=zAAuDwAAQBAJ|page=843}}}}), {{p.|843-844}} |libellé=Misner, Thorne et Wheeler 1973}}.
+* {{Ouvrage |langue=en |prénom1=Stephen W. |nom1=Hawking |lien auteur1=Stephen Hawking |prénom2=George F. R. |nom2=Ellis |lien auteur2=George F. R. Ellis |titre=The large scale structure of space-time |lieu=Cambridge |éditeur=[[Cambridge University Press]] |collection=Cambridge monographs on mathematical physics |année=1973 |mois=janvier |numéro d'édition=1 |pages totales={{XI}}-391 |format livre={{unité|23|cm}} |passage=appendice B « {{langue|en|texte=Spherically symmetric solutions and Birkhoff's theorem}} », {{p.|369-372}} ({{doi|10.1017/CBO9780511524646.013}}, {{lien web |description=résumé |url=https://www.cambridge.org/core/books/the-large-scale-structure-of-space-time/spherically-symmetric-solutions-and-birkhoffs-theorem/463E2FF2B4354EA5599EA12F225F8950}}) |isbn=0-521-09906-4 |isbn2=978-0-521-09906-6 |isbn3=0-521-20016-4 |ean=9780521099066 |oclc=299342801 |bnf=37358308d |doi=10.1017/CBO9780511524646 |sudoc=004735110 |présentation en ligne=https://www.cambridge.org/core/books/large-scale-structure-of-spacetime/1E6B961EC9878EDDBBD6AC0AF031CC93 |lire en ligne=https://yale.learningu.org/download/2edd46dc-7ff5-4084-8161-5b5328974fa0/E2143 |consulté le=18 janvier 2018 |libellé=Hawking et Ellis 1973}}.
+* {{Ouvrage |langue=en |prénom1=Charles W. |nom1=Misner |lien auteur1=Charles W. Misner |prénom2=Kip S. |nom2=Thorne |lien auteur2=Kip Thorne |prénom3=John A. |nom3=Wheeler |lien auteur3=John Wheeler |auteur4=[[David Kaiser|David I. Kaiser]] |responsabilité4=avant-propos |titre=[[Gravitation (livre)|Gravitation]] |lieu=Princeton |éditeur=[[Princeton University Press]] |mois=octobre |année=2017 |année première édition=1973 |pages totales={{rom-maj|L}}-1279 |format={{unité|26|cm}} |isbn1=0-691-17779-1 |isbn2=978-0-691-17779-3 |ean=9780691177793 |oclc=1012380952 |présentation en ligne=https://press.princeton.edu/titles/11169.html |lire en ligne={{Google livres|id=zAAuDwAAQBAJ}} |consulté le=18 janvier 2018 |passage={{§|32.2}} ({{lien web |titre={{langue|en|Birkhoff's theorem}} |url={{Google livres|id=zAAuDwAAQBAJ|page=843}}}}), {{p.|843-844}} |libellé=Misner, Thorne et Wheeler 1973}}.
-; Dictionnaires
-* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Richard |nom1=Taillet |prénom2=Loïc |nom2=Villain |prénom3=Pascal |nom3=Febvre |titre=Dictionnaire de physique |lieu=Bruxelles |éditeur=[[De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} |mois=janvier |année=2018 |numéro d'édition=4 |année première édition={{date-|mai 2008}} |pages totales={{nobr|1 vol.}}, 976 |format={{dunité|17|24|cm}} |isbn=978-2-8073-0744-5 |ean=9782807307445 |présentation en ligne=http://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique |lire en ligne={{Google livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} |consulté le=18 janvier 2018 |passage={{s.v.}}{{lien web |titre=Birkhoff (théorème de) |url={{Google livres|id=pjlFDwAAQBAJ|page=79}}}} ({{nobr|sens 1}}), {{p.|79}}, {{col.|2}} |libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}.
+'''Dictionnaires'''
-; Communications et exposés
+* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Richard |nom1=Taillet |prénom2=Loïc |nom2=Villain |prénom3=Pascal |nom3=Febvre |titre=Dictionnaire de physique |lieu=Bruxelles |éditeur=[[De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} |mois=janvier |année=2018 |numéro d'édition=4 |année première édition={{date-|mai 2008}} |pages totales=976 |format={{dunité|17|24|cm}} |isbn=978-2-8073-0744-5 |ean=9782807307445 |présentation en ligne=http://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique |lire en ligne={{Google livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} |consulté le=18 janvier 2018 |passage={{s.v.}}{{lien web |titre=Birkhoff (théorème de) |url={{Google livres|id=pjlFDwAAQBAJ|page=79}}}} ({{nobr|sens 1}}), {{p.|79}}, {{col.|2}} |libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}.
-* {{Chapitre |langue=fr |prénom=Alain |nom=Bachelot |titre=La diffraction en métrique de Schwarzschild |sous-titre=complétude asymptotique et résonances |auteur ouvrage=[[Centre de mathématiques Laurent-Schwartz]] |titre ouvrage=Équations aux dérivées partielles |sous-titre ouvrage=séminaire {{date-|1992}}-{{date-|1993}} |lieu=Palaiseau |éditeur=[[École polytechnique (France)|École polytechnique]] |année=1993 |numéro d'édition=1 |format={{nobr|1 vol.}}, pag. mult., {{unité|30|cm}} |isbn erroné=2-73-02-0267-6 |isbn=2-7302-0267-6 |oclc=492579008 |bnf=35591062k |sudoc=078889499 |consulté le=15 janvier 2018 |passage=exposé {{numéro|VIII}} du {{date-|16 février 1993}}, {{nb p.|13}} ({{lien web |langue=fr |description=lire en ligne |url=http://archive.numdam.org/article/SEDP_1992-1993____A8_0.pdf}}) |libellé=Bachelot 1993}}.
-* {{Chapitre |langue=fr |prénom=Alain |nom=Bachelot |titre=Diffusion classique et quantique par un trou noir en formation |auteur ouvrage=[[Centre de mathématiques Laurent-Schwartz]] |titre ouvrage=Équations aux dérivées partielles |sous-titre ouvrage=séminaire {{date-|1995}}-{{date-|1996}} |lieu=Palaiseau |éditeur=[[École polytechnique (France)|École polytechnique]] |année=1996 |numéro d'édition=1 |format={{nobr|1 vol.}}, pag. mult., {{unité|30|cm}} |isbn erroné=2-7302-0366-8 |oclc=36684122 |bnf=358435382 |sudoc=029139945 |consulté le=16 janvier 2018 |passage=exposé {{numéro|XV}} du {{date-|26 mai 1996}}, {{nb p.|18}} ({{lien web |langue=fr |description=lire en ligne |url=http://www.numdam.org/article/SEDP_1995-1996____A15_0.pdf}}) |libellé=Bachelot 1996}}.
+'''Communications et exposés'''
-* {{Chapitre |langue=fr |prénom=Gérard |nom=Clément |titre=Relativité générale |sous-titre=solutions exactes stationnaires |auteurs ouvrage=Abdelhafid Bounames et Abdenacer Makhlouf (éd.) |préface=de Michel Dubois-Violette |titre ouvrage=Gravitation |sous-titre ouvrage=théorie et expérience |nature ouvrage=actes de la {{3e|École}} de physique théorique, tenue à l'[[université de Jijel]] du {{date-|26 septembre 2009-}} au {{date-|3 octobre 2009}} |lieu=Paris |éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]] |collection=Travaux en cours |série=physique-mathématiques |numéro dans collection=79 |mois=novembre |année=2013 |numéro d'édition=1 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{XI}}-448 |format={{dunité|17|24|cm}} |isbn1=2-7056-8049-7 |isbn2=978-2-7056-8049-7 |ean=9782705680497 |oclc=870526477 |sudoc=176320997 |présentation en ligne=http://www.editions-hermann.fr/4118-tvc-79-gravitation-theorie-et-experience.html |consulté le=15 janvier 2018 |numéro chapitre={{1er}} |passage={{nb p.|52}} ({{bibcode|2011arXiv1109.0902C}}, {{arxiv2|1109.0902}}, {{lien web |langue=fr |description=lire en ligne |url=https://arxiv.org/pdf/1109.0902.pdf}}) |libellé=Clément 2013}}.
-* {{Chapitre |langue=fr |prénom=Michel |nom=Le Bellac |titre=Relativité générale |auteurs ouvrage=Freddy Bouchet, Basile Audoly et Jacques-Alexandre Sepulchre (éd.) |titre ouvrage=Peyresq {{langue|en|texte=lectures on nonlinear phenomena}} |volume=3 |lieu=Singapour |éditeur=[[w:en:World Scientific|World Scientific]] |mois=novembre |année=2012 |numéro d'édition=1 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{IX}}-375 |format={{dunité|15,8|23|cm}} |isbn=978-981-4440-58-5 |ean=9789814440585 |oclc=874994970 |sudoc=177232897 |présentation en ligne=http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8673 |lire en ligne={{Google livres|id=9I66CgAAQBAJ}} |consulté le=15 janvier 2018 |numéro chapitre=5 |passage=155-239 ({{doi|10.1142/9789814440592_0005}}, {{lien web |description=résumé |url=http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789814440592_0005}}) |libellé=Le Bellac 2012}}.
+* {{Chapitre |langue=fr |prénom=Alain |nom=Bachelot |titre=La diffraction en métrique de Schwarzschild |sous-titre=complétude asymptotique et résonances |auteur ouvrage=[[Centre de mathématiques Laurent-Schwartz]] |titre ouvrage=Équations aux dérivées partielles |sous-titre ouvrage=séminaire {{date-|1992}}-{{date-|1993}} |lieu=Palaiseau |éditeur=[[École polytechnique (France)|École polytechnique]] |année=1993 |numéro d'édition=1 |format={{unité|30|cm}} |isbn erroné=2-73-02-0267-6 |isbn=2-7302-0267-6 |oclc=492579008 |bnf=35591062k |sudoc=078889499 |consulté le=15 janvier 2018 |passage=exposé {{numéro|VIII}} du {{date-|16 février 1993}}, {{nb p.|13}} ({{lien web |langue=fr |description=lire en ligne |url=http://archive.numdam.org/article/SEDP_1992-1993____A8_0.pdf |format=pdf}}) |libellé=Bachelot 1993}}.
+* {{Chapitre |langue=fr |prénom=Alain |nom=Bachelot |titre=Diffusion classique et quantique par un trou noir en formation |auteur ouvrage=[[Centre de mathématiques Laurent-Schwartz]] |titre ouvrage=Équations aux dérivées partielles |sous-titre ouvrage=séminaire 1995-1996 |lieu=Palaiseau |éditeur=[[École polytechnique (France)|École polytechnique]] |année=1996 |numéro d'édition=1 |format={{unité|30|cm}} |isbn erroné=2-7302-0366-8 |oclc=36684122 |bnf=358435382 |sudoc=029139945 |consulté le=16 janvier 2018 |passage=exposé {{numéro|XV}} du {{date-|26 mai 1996}}, {{nb p.|18}} ({{lien web |langue=fr |description=lire en ligne |url=http://www.numdam.org/article/SEDP_1995-1996____A15_0.pdf |format=pdf}}) |libellé=Bachelot 1996}}.
-; Cours
-* {{Ouvrage |langue=fr |prénom=Éric |nom=Gourgoulhon |lien auteur=Éric Gourgoulhon |titre=Relativité générale |nature ouvrage=notes de cours, {{2e|année}} du master recherche ''Astronomie et Astrophysique'' de l'[[Observatoire de Paris]], des universités [[Université Pierre-et-Marie-Curie|Paris-{{VI}} – Pierre-et-Marie-Curie]], [[Université Paris Diderot|Paris-{{VII}} – Paris Diderot]] et [[Université Paris-Sud|Paris-{{XI}} – Paris-Sud]], et de l'[[École normale supérieure (Paris)|École normale supérieure]], année universitaire {{date-|2013}}-{{date-|2014}} |lieu=Paris |éditeur=Observatoire de Paris |mois=mars |année=2014 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, 341 |format={{unité|30|cm}} |lire en ligne=https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf |consulté le=17 janvier 2018 |passage={{§|3.2.4}} (« Théorème de Birkhoff ») |libellé=Gourgoulhon 2014}}.
+* {{Chapitre |langue=fr |prénom=Gérard |nom=Clément |titre=Relativité générale |sous-titre=solutions exactes stationnaires |auteurs ouvrage=Abdelhafid Bounames et Abdenacer Makhlouf (éd.) |préface=de Michel Dubois-Violette |titre ouvrage=Gravitation |sous-titre ouvrage=théorie et expérience |nature ouvrage=actes de la {{3e|École}} de physique théorique, tenue à l'[[université de Jijel]] du {{date-|26 septembre 2009-}} au {{date-|3 octobre 2009}} |lieu=Paris |éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]] |collection=Travaux en cours |série=physique-mathématiques |numéro dans collection=79 |mois=novembre |année=2013 |numéro d'édition=1 |pages totales={{XI}}-448 |format={{dunité|17|24|cm}} |isbn1=2-7056-8049-7 |isbn2=978-2-7056-8049-7 |ean=9782705680497 |oclc=870526477 |sudoc=176320997 |présentation en ligne=http://www.editions-hermann.fr/4118-tvc-79-gravitation-theorie-et-experience.html |consulté le=15 janvier 2018 |numéro chapitre={{1er}} |passage={{nb p.|52}} ({{bibcode|2011arXiv1109.0902C}}, {{arxiv2|1109.0902}}, {{lien web |langue=fr |description=lire en ligne |url=https://arxiv.org/pdf/1109.0902.pdf}}) |libellé=Clément 2013}}.
-* {{Ouvrage |langue=en |prénom=Harvey S. |nom=Reall |titre=Black holes |nature ouvrage=notes de cours |lieu=Cambridge |éditeur=[[Université de Cambridge]] |mois=janvier |année=2017 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{VIII}}-148 |format={{unité|30|cm}} |lire en ligne=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/hsr1000/black_holes_lectures_2016.pdf |consulté le=17 janvier 2018 |passage={{§|2.1}} (« {{langue|en|texte=Birkhoff's theorem}} »), {{p.|11-12}} |libellé=Reall 2017}}.
+* {{Chapitre |langue=fr |prénom=Michel |nom=Le Bellac |titre=Relativité générale |auteurs ouvrage=Freddy Bouchet, Basile Audoly et Jacques-Alexandre Sepulchre (éd.) |titre ouvrage=Peyresq {{langue|en|texte=lectures on nonlinear phenomena}} |volume=3 |lieu=Singapour |éditeur=[[w:en:World Scientific|World Scientific]] |mois=novembre |année=2012 |numéro d'édition=1 |pages totales={{IX}}-375 |format={{dunité|15,8|23|cm}} |isbn=978-981-4440-58-5 |ean=9789814440585 |oclc=874994970 |sudoc=177232897 |présentation en ligne=http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8673 |lire en ligne={{Google livres|id=9I66CgAAQBAJ}} |consulté le=15 janvier 2018 |numéro chapitre=5 |passage=155-239 ({{doi|10.1142/9789814440592_0005}}, {{lien web |description=résumé |url=http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789814440592_0005}}) |libellé=Le Bellac 2012}}.
-; Thèses
+'''Cours'''
-* {{Article |langue=en |prénom=Filip |nom=Dul |titre=The geometry of spacetime and its singular nature |périodique=Honors Scholar Theses |année=2016 |numéro=497 |pages={{nb p.|32}}, {{§|2.2}} (« {{langue|en|texte=Birkhoff's theorem}} »), {{p.|7-10}} |résumé=http://opencommons.uconn.edu/srhonors_theses/497/?utm_source=digitalcommons.uconn.edu%2Fsrhonors_theses%2F497&utm_medium=PDF&utm_campaign=PDFCoverPages |lire en ligne=http://opencommons.uconn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1473&context=srhonors_theses |consulté le=17 janvier 2018 |libellé=Dul 2016}}.
-* {{Ouvrage |langue=fr |prénom=Nicolas |nom=Vasset |titre=Quelques aspects des horizons de trous noirs en relativité numérique |nature ouvrage=thèse de doctorat en astronomie et astrophysique préparée, sous la direction de Jérôme Novak, au Laboratoire Univers et Théories, et soutenue le {{date-|30 juin 2009}} |lieu=Paris |éditeur=[[Université Paris-Diderot|Université Paris-{{VII}} – Paris-Diderot]] |année=2009 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, 171 |format={{unité|30|cm}} |oclc=690346916 |sudoc=137115849 |présentation en ligne=https://www.theses.fr/2009PA077064 |lire en ligne=http://phys-merger.physik.unibas.ch/~nicolas/PhD.pdf |libellé=Vasset 2009}}.
+* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Éric |nom1=Gourgoulhon |lien auteur1=Éric Gourgoulhon |titre=Relativité générale |lieu=Paris |éditeur=Observatoire de Paris |nature ouvrage=notes de cours, {{2e|année}} du master recherche ''Astronomie et Astrophysique'' de l'[[Observatoire de Paris]], des universités [[Université Pierre-et-Marie-Curie|Paris-{{VI}} – Pierre-et-Marie-Curie]], [[Université Paris Diderot|Paris-{{VII}} – Paris Diderot]] et [[Université Paris-Sud|Paris-{{XI}} – Paris-Sud]], et de l'[[École normale supérieure (Paris)|École normale supérieure]], année universitaire 2013-2014 |année=2014 |mois=mars |pages totales=341 |format livre={{unité|30|cm}} |passage={{§|3.2.4}} « Théorème de Birkhoff » |isbn= |lire en ligne=https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf |consulté le=17 janvier 2018 |libellé=Gourgoulhon 2014}}.
+* {{Ouvrage |langue=en |prénom1=Harvey S. |nom1=Reall |titre=Black holes |lieu=Cambridge |éditeur=[[Université de Cambridge]] |nature ouvrage=notes de cours |année=2017 |mois=janvier |pages totales={{VIII}}-148 |format livre={{unité|30|cm}} |passage={{§|2.1}} « ''{{langue|en|texte=Birkhoff's theorem}}'' », {{p.|11-12}} |isbn= |lire en ligne=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/hsr1000/black_holes_lectures_2016.pdf |format=pdf |consulté le=17 janvier 2018 |libellé=Reall 2017}}.
+'''Thèses'''
+* {{Article |langue=en |prénom=Filip |nom=Dul |titre=The geometry of spacetime and its singular nature |périodique=Honors Scholar Theses |année=2016 |numéro=497 |pages={{nb p.|32}}, {{§|2.2}} « ''{{langue|en|texte=Birkhoff's theorem}}'' », {{p.|7-10}} |résumé=http://opencommons.uconn.edu/srhonors_theses/497/ |lire en ligne=http://opencommons.uconn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1473&context=srhonors_theses |consulté le=17 janvier 2018 |libellé=Dul 2016}}.
+* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Nicolas |nom1=Vasset |auteur2=Jérôme Novak |directeur2=oui |titre=Quelques aspects des horizons de trous noirs en relativité numérique |lieu=Paris |éditeur=[[Université Paris-Diderot|Université Paris-{{VII}} – Paris-Diderot]], Laboratoire Univers et Théories |nature ouvrage=thèse de doctorat en astronomie |date=30 juin 2009 |pages totales=171 |format livre={{unité|30|cm}} |isbn= |oclc=690346916 |sudoc=137115849 |présentation en ligne=https://www.theses.fr/2009PA077064 |lire en ligne=http://phys-merger.physik.unibas.ch/~nicolas/PhD.pdf |format=pdf |libellé=Vasset 2009}}.
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