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« Glossaire de la géométrie riemannienne » : différence entre les versions

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La [[géométrie riemannienne]] est un domaine des mathématiques étudiant les propriétés des variétés riemanniennes. Cette page liste ou rappelle brièvement les définitions des termes récurrents rencontrés.
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La [[géométrie riemannienne]] est un domaine des mathématiques étudiant les propriétés des variétés riemanniennes. Cette page rappelle brièvement les définitions des termes récurrents rencontrés.


{{SommaireCompact}}
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==A==
== A ==


* [[Application conforme]] : Entre deux variétés riemanniennes, application qui préserve les angles ; de manière équivalente application qui transporte une métrique en une métrique conforme ;
* [[Application conforme]] : Entre deux variétés riemanniennes, application qui préserve les angles ; de manière équivalente application qui transporte une métrique en une métrique conforme ;
* [[Application exponentielle]] : Application différentiable <math>TM\rightarrow M</math> définie naturellement pour toute variété riemannienne complète. Si <math>v_m\in T_mM</math> est un vecteur tangent à la variété en ''m'', la géodésique d'origine ''m'' et de vitesse initiale <math>v_m</math> est donnée par <math>t\mapsto exp(tv_m)</math> .
* [[Application exponentielle]] : Application différentiable <math>TM\rightarrow M</math> définie naturellement pour toute variété riemannienne complète. Si <math>v_m\in T_mM</math> est un vecteur tangent à la variété en ''m'', la géodésique d'origine ''m'' et de vitesse initiale <math>v_m</math> est donnée par <math>t\mapsto exp(tv_m)</math> .


==B==
== C ==

==C==


* [[Centre de masse]]
* [[Centre de masse]]
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* [[Convexité en géométrie riemannienne|Convexité]]
* [[Convexité en géométrie riemannienne|Convexité]]
* [[Courbure bisectionnelle]]
* [[Courbure bisectionnelle]]
* [[Courbure de Gauss]]
* [[Courbure de Gauss]]
* [[Courbure négative]]
* [[Courbure négative]]
* [[Courbure de Ricci]]
* [[Courbure de Ricci]]
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* [[Cut-locus]] d'un point ''m'' d'une variété riemannienne : Ensemble (négligeable) de points ''n'' pour lesquels il n'y a pas unicité de la géodésique minimisante ;
* [[Cut-locus]] d'un point ''m'' d'une variété riemannienne : Ensemble (négligeable) de points ''n'' pour lesquels il n'y a pas unicité de la géodésique minimisante ;


==E==
== E ==


* [[Espace homogène]] : Variété sur laquelle agit transitivement un groupe de Lie.
* [[Espace homogène]] : Variété sur laquelle agit transitivement un [[groupe de Lie]].
* [[Espace symétrique]] : Variété riemannienne pour laquelle la symétrie géodésique par rapport à n'importe quel point
* [[Espace symétrique]] : Variété riemannienne pour laquelle la symétrie géodésique par rapport à n'importe quel point
est une isométrie globale.
est une isométrie globale.


==F==
== F ==


* [[Feuilletage riemannien]] : Feuilletage d'une variété en variétés riemanniennes ;
* [[Feuilletage riemannien]] : Feuilletage muni d'une métrique riemannienne transverse;
* [[Fibré normal]] : pour une sous-variété ''N'' d'une variété riemannienne ''M'', fibré vectoriel sur ''N'' sont la fibre en ''x'' est l'orthogonal à ''T''<sub>''x''</sub>''N'' ;
* [[Fibré normal]] : pour une sous-variété ''N'' d'une variété riemannienne ''M'', [[fibré vectoriel]] sur ''N'' dont la fibre en ''x'' est l'orthogonal à ''T''<sub>''x''</sub>''N'' ;
* [[Fibré riemannien]] : Fibé vectoriel muni d'une métrique riemannienne ;
* [[Fibré riemannien]] : Fibré vectoriel muni d'une métrique riemannienne ;
* [[Flot géodésique]] : Flot différentiable sur l'espace tangent ou cotangent d'une variété riemannienne, ou sur le fibré en sphères correspondant, défini par la dynamique des [[géodésique]]s ;
* [[Flot géodésique]] : Flot différentiable sur l'espace tangent ou cotangent d'une variété riemannienne, ou sur le fibré en sphères correspondant, défini par la dynamique des [[géodésique]]s ;
* [[Fonction de Busemann]] : Fonction continue définie sur un espace (variété riemannienne ou espace métrique) à courbure négative bornée intervenant dans la compactification ; les fonctions de Buseman forment la [[sphère à l'infini]] ;
* [[Fonction de Busemann]] : Fonction continue définie sur un espace (variété riemannienne ou [[espace métrique]]) à courbure négative bornée intervenant dans la compactification ; les fonctions de Buseman forment la [[sphère à l'infini]] ;
* [[Forme harmonique]] : Forme différentielle dont le laplacien est nul ;
* [[Forme harmonique]] : Forme différentielle dont le laplacien est nul ;
* [[Forme de Kähler]] :
* [[Forme de Kähler]] :
* [[Formule des traces de Selberg]] :
* [[Formule des traces de Selberg]] :


==G==
== G ==


* [[Géodésique]] : Courbe minimisant localement la distance sur une variété riemannienne ;
* [[Géodésique]] : Courbe minimisant localement la distance sur une variété riemannienne ;
* [[Géodésique fermée]] : Géodésique périodique ;
* [[Géodésique fermée]] : Géodésique périodique ;
*[[Géométrie euclidienne]] : géométrie d'un espace euclidien ;
* [[Géométrie euclidienne]] : géométrie d'un espace euclidien ;
*[[Géométrie riemannienne]] : Géométrie d'une variété riemannienne ;
* [[Géométrie riemannienne]] : Géométrie d'une variété riemannienne ;
*[[Groupe hyperbolique]]
* [[Groupe hyperbolique]]


==H==
== H ==


*[[Holonomie]]
* [[Holonomie]]
*[[Horosphère]]
* [[Horosphère]]


==I==
== I ==


*[[Identités de Bianchi]] : Identité remarquable portant sur la courbure de la connexion de Levi-Civita ;
* [[Identités de Bianchi]] : Identité remarquable portant sur la courbure de la connexion de Levi-Civita ;
*[[Inégalité de Bishop-Gromov]] : Estimation sur le volume des boules d'une variété riemannienne suivant des estimations sur la courbure de Ricci ;
* [[Inégalité de Bishop-Gromov]] : Estimation sur le volume des boules d'une variété riemannienne suivant des estimations sur la courbure de Ricci ;
*[[Inégalité isopérimétrique]] : Toute inégalité donnant une majoration du volume riemannien enfermé par une hypsersurface en fonction du volume de cette dernière ;
* [[Inégalité isopérimétrique]] : Toute inégalité donnant une majoration du volume riemannien enfermé par une hypsersurface en fonction du volume de cette dernière ;
*Involution : Isométrie sur une variété riemannienne fixant un point et dont la différentielle en ce point est -Id ;{{refnec}}
* Involution : Isométrie sur une variété riemannienne fixant un point et dont la différentielle en ce point est -Id ;{{refnec}}
*Isométrie : Entre deux variétés riemanniennes, application différentiable et bijective envoyant métrique riemannienne sur métrique riemannienne ; ou de manière équivalente, application bijective préservant les distances associées;
* Isométrie : Entre deux variétés riemanniennes, application différentiable et bijective envoyant métrique riemannienne sur métrique riemannienne ; ou de manière équivalente, application bijective préservant les distances associées;


==L==
== L ==


*[[Laplacien]] : Opérateur différentiel défini sur toute variété riemannienne ;
* [[Laplacien]] : Opérateur différentiel défini sur toute variété riemannienne ;


==M==
== M ==


* [[Métrique de Carnot-Carathéodory]]
* [[Métrique de Carnot-Carathéodory]]
*[[métrique riemannienne]] : Collection de formes bilinéaires symétriques définies positives définies sur les espaces tangents d'une variété, avec une certaine régularité dépendant du contexte ;
* [[métrique riemannienne]] : Collection de formes bilinéaires symétriques définies positives définies sur les espaces tangents d'une variété, avec une certaine régularité dépendant du contexte ;
*[[Mouvement brownien]] ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule ;
* [[Mouvement brownien]] ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule ;
*[[Métrique d'Einstein]] : métrique riemannienne pour laquelle la courbure de Ricci est proportionnelle à la métrique.
* [[Métrique d'Einstein]] : métrique riemannienne pour laquelle la courbure de Ricci est proportionnelle à la métrique.


==N==
== N ==


*[[Nombre de Betti]] : Dimensions des espaces de cohomologie de De Rham ;
* [[Nombre de Betti]] : Dimensions des espaces de cohomologie de De Rham ;


==P==
== P ==


* [[Plongement riemannien]] : Plongement préservant la métrique riemannienne.
* [[Plongement riemannien]] : Plongement préservant la métrique riemannienne.
*[[Problème de Dirichlet]]
* [[Problème de Dirichlet]]


==Q==
== Q ==


*[[Quasi-isométrie]] : Applications (pas nécessairement continue) entre variétés riemanniennes ou entre espaces métriques qui ne dilatent pas excessivement les distances.
* [[Quasi-isométrie]] : Applications (pas nécessairement continue) entre variétés riemanniennes ou entre espaces métriques qui ne dilatent pas excessivement les distances.


==R==
== R ==


* [[Rayon de convexité]]
* [[Rayon de convexité]]
* [[Rayon d'injectivité]] : plus grand rayon tel que l'application exponentielle soit injective sur les boules tangentes correspondantes ;
* [[Rayon d'injectivité]] : plus grand rayon tel que l'application exponentielle restreinte aux boules tangentes correspondantes
soit un difféomorphisme sur son image ;
* [[Revêtement riemannien]] : Revêtement universel d'une variété riemannienne muni de la métrique tirée en arrière ;
* [[Revêtement riemannien]] : Revêtement d'une variété riemannienne muni de la métrique tirée en arrière ;
* [[Rigidité de Mostow]]
* [[Rigidité de Mostow]] : sous sa version la plus simple, le théorème de rigidité de Mostow assure qu'à partir de la dimension
3, deux variétés riemanniennes compactes à courbure constante négative qui sont difféomorphes sont aussi isométrique.


==S==
== S ==


*[[Spectre du laplacien]]
* [[Spectre du laplacien]]
*[[Spineur]]
* [[Spineur]]
*[[Symbole de Christoffel]] : Symboles permettant d'exprimer dans des cartes locales la connexion de Levi-Civita ;
* [[Symbole de Christoffel]] : Symboles permettant d'exprimer dans des cartes locales la connexion de Levi-Civita ;
* [[Systole (mathématiques)]]
* [[Systole (mathématiques)]]


==T==
== T ==


* [[Théorème d'Abresch-Meyer]]
* [[Théorème d'Abresch-Meyer]]
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* [[Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers]]
* [[Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers]]
* [[Théorème de Brunn-Minkowski]]
* [[Théorème de Brunn-Minkowski]]
*{{Lien|trad=Cartan–Hadamard theorem|Théorème de Cartan-Hadamard}} : théorème affirmant que le revêtement universel d'une variété riemannienne complète de courbure négative est difféomorphe à une boule
* [[Théorème de Cartan-Hadamard]] : théorème affirmant que le revêtement universel d'une variété riemannienne complète de courbure non positive est difféomorphe à une boule
* [[Théorème de comparaison]]
* [[Théorème de comparaison de Toponogov]]
* [[Théorème de Gauss-Bonnet]]
* [[Théorème de Gauss-Bonnet]]
*[[Théorème de Hopf-Rinow]]
* [[Théorème de Hopf-Rinow]]
*[[Théorème KAM]]
* [[Théorème KAM]]
*[[Théorème de Myer]] : estimation sur le diamètre d'une variété riemannienne complète en courbure positive
* [[Théorème de Myers]] : estimation sur le diamètre d'une variété riemannienne complète en courbure de Ricci strictement positive
* Totalement géodésique : se dit d'une [[Variété (géométrie)|sous-variété]] ''N'' d'une variété riemannienne qui contient toute [[géodésique]] issue d'un des points de ''N'' et dirigée par un vecteur tangent à ''N''
* [[Transport parallèle]]
* [[Transport parallèle]]


==V==
== V ==
* [[Variété de Hadamard]] : Variété riemannienne complète simplement connexe de courbure strictement négative.
* [[Variété de Hadamard]] : Variété riemannienne complète simplement connexe de courbure strictement négative.
* [[Variété hyperbolique]]
* [[Variété hyperbolique]]
*[[Variété kählérienne]]
* [[Variété kählérienne]]
*[[Variété lorentzienne]]
* [[Variété lorentzienne]]
* [[Variété pseudo-riemannienne]]
* [[Variété riemannienne]]
* [[Variété riemannienne]]
* Volume riemannien : forme volume définie sur toute variété riemannannienne orientée valant 1 sur toute base tangente orthonormée orientée ; ou mesure positive associée ;
* Volume riemannien : forme volume définie sur toute variété riemannannienne orientée valant 1 sur toute base tangente orthonormée orientée ; ou mesure positive associée ;


== Autres lexiques mathématiques ==
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{{portail géométrie}}
* [[Glossaire de topologie]]
* [[Lexique de la géométrie symplectique]]
* [[Lexique des surfaces]]

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{{Portail|géométrie}}


[[Catégorie:Géométrie riemannienne]]
[[Catégorie:Géométrie riemannienne]]

Dernière version du 27 mai 2024 à 02:53

La géométrie riemannienne est un domaine des mathématiques étudiant les propriétés des variétés riemanniennes. Cette page liste ou rappelle brièvement les définitions des termes récurrents rencontrés.

Sommaire :

A

[modifier | modifier le code]
  • Application conforme : Entre deux variétés riemanniennes, application qui préserve les angles ; de manière équivalente application qui transporte une métrique en une métrique conforme ;
  • Application exponentielle : Application différentiable définie naturellement pour toute variété riemannienne complète. Si est un vecteur tangent à la variété en m, la géodésique d'origine m et de vitesse initiale est donnée par .

C

[modifier | modifier le code]

E

[modifier | modifier le code]

est une isométrie globale.

F

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G

[modifier | modifier le code]

H

[modifier | modifier le code]

I

[modifier | modifier le code]
  • Identités de Bianchi : Identité remarquable portant sur la courbure de la connexion de Levi-Civita ;
  • Inégalité de Bishop-Gromov : Estimation sur le volume des boules d'une variété riemannienne suivant des estimations sur la courbure de Ricci ;
  • Inégalité isopérimétrique : Toute inégalité donnant une majoration du volume riemannien enfermé par une hypsersurface en fonction du volume de cette dernière ;
  • Involution : Isométrie sur une variété riemannienne fixant un point et dont la différentielle en ce point est -Id ;[réf. nécessaire]
  • Isométrie : Entre deux variétés riemanniennes, application différentiable et bijective envoyant métrique riemannienne sur métrique riemannienne ; ou de manière équivalente, application bijective préservant les distances associées;

L

[modifier | modifier le code]
  • Laplacien : Opérateur différentiel défini sur toute variété riemannienne ;

M

[modifier | modifier le code]
  • Métrique de Carnot-Carathéodory
  • métrique riemannienne : Collection de formes bilinéaires symétriques définies positives définies sur les espaces tangents d'une variété, avec une certaine régularité dépendant du contexte ;
  • Mouvement brownien ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule ;
  • Métrique d'Einstein : métrique riemannienne pour laquelle la courbure de Ricci est proportionnelle à la métrique.

N

[modifier | modifier le code]

P

[modifier | modifier le code]

Q

[modifier | modifier le code]
  • Quasi-isométrie : Applications (pas nécessairement continue) entre variétés riemanniennes ou entre espaces métriques qui ne dilatent pas excessivement les distances.

R

[modifier | modifier le code]

soit un difféomorphisme sur son image ;

  • Revêtement riemannien : Revêtement d'une variété riemannienne muni de la métrique tirée en arrière ;
  • Rigidité de Mostow : sous sa version la plus simple, le théorème de rigidité de Mostow assure qu'à partir de la dimension

3, deux variétés riemanniennes compactes à courbure constante négative qui sont difféomorphes sont aussi isométrique.

S

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T

[modifier | modifier le code]

V

[modifier | modifier le code]

Autres lexiques mathématiques

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