« Nombre de Strahler » : différence entre les versions
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Le '''nombre de Strahler''' d'une [[arborescence]]<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Régis|nom1=Caloz|prénom2=Claude|nom2=Collet|titre=Analyse spatiale de l'information géographique|lieu=Lausanne|éditeur=Presses polytechniques et universitaires romandes|collection=Science et ingénierie de l'environnement|année=2011|pages totales=384|passage=199|isbn=978-2-88074-902-6|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=2VyA1uCBraIC&printsec=frontcover}}.</ref> est une mesure numérique de sa complexité de branchements. |
Le '''nombre de Strahler''' d'une [[arborescence]]<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Régis|nom1=Caloz|prénom2=Claude|nom2=Collet|titre=Analyse spatiale de l'information géographique|lieu=Lausanne|éditeur=Presses polytechniques et universitaires romandes|collection=Science et ingénierie de l'environnement|année=2011|pages totales=384|passage=199|isbn=978-2-88074-902-6|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=2VyA1uCBraIC&printsec=frontcover}}.</ref> est une mesure numérique de sa complexité de branchements. |
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Cette propriété est utilisée, par exemple, en [[Classification des réseaux hydrographiques#La classification de Strahler|classification des réseaux hydrographiques]] des [[cours d'eau]] pour indiquer le niveau de complexité de son réseau d'[[affluent]]s et de sous-affluents et en [[Compilateur|théorie de la compilation]] pour calculer le nombre de registres nécessaires au calcul d'une expression arithmétique<ref>{{Article|langue=en |prénom1= Xavier Gérard |nom1= Viennot |titre= A Strahler bijection between Dyck paths and planar trees |périodique= Discrete Mathematics |volume= 246 |numéro= 1-3 |jour= 6 |mois= mars |année= 2002 |passage= 317-329}}.</ref>. |
Cette propriété est utilisée, par exemple, en [[Classification des réseaux hydrographiques#La classification de Strahler|classification des réseaux hydrographiques]] des [[cours d'eau]] pour indiquer le niveau de complexité de son réseau d'[[affluent]]s et de sous-affluents et en [[Compilateur|théorie de la compilation]] pour calculer le nombre de registres nécessaires au calcul d'une expression arithmétique<ref>{{Article|langue=en |prénom1= Xavier Gérard |nom1= Viennot |titre= A Strahler bijection between Dyck paths and planar trees |périodique= Discrete Mathematics |volume= 246 |numéro= 1-3 |jour= 6 |mois= mars |année= 2002 |passage= 317-329|doi=10.1016/S0012-365X(01)00265-5}}.</ref>. |
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Les premières utilisations de ce nombre se trouvent dans les travaux de {{Lien|fr=Robert E. Horton|lang=en}} en 1945<ref>{{Article|langue=en |prénom1= R. E. |nom1= Horton |titre= Erosional development of streams and their drainage basins: hydro-physical approach to quantitative morphology |périodique= Geological Society of America Bulletin |volume= 56 |numéro= 3 |jour= |mois= |année= 1945 |passage= 275-370}}.</ref> ainsi que dans ceux d'[[Arthur Newell Strahler]] en 1952<ref>{{Article|langue=en |auteur=[[Arthur Newell Strahler]] |titre= Hypsometric (area-altitude) analysis of erosional topology |périodique= Geological Society of America Bulletin |volume= 63 |numéro= 11 |jour= |mois= |année= 1952 |passage= 1117-1142}}.</ref> et en 1957<ref>{{Article|langue=en |prénom1= Arthur Newell |nom1=Strahler|titre= Quantitative analysis of watershed geomorphology |périodique= Transactions of the American Geophysical Union |volume= 8 |numéro= 6 |jour= |mois= |année= 1957 |passage= 913-920}}.</ref>. |
Les premières utilisations de ce nombre se trouvent dans les travaux de {{Lien|fr=Robert E. Horton|lang=en}} en 1945<ref>{{Article|langue=en |prénom1= R. E. |nom1= Horton |titre= Erosional development of streams and their drainage basins: hydro-physical approach to quantitative morphology |périodique= Geological Society of America Bulletin |volume= 56 |numéro= 3 |jour= |mois= |année= 1945 |passage= 275-370}}.</ref> ainsi que dans ceux d'[[Arthur Newell Strahler]] en 1952<ref>{{Article|langue=en |auteur=[[Arthur Newell Strahler]] |titre= Hypsometric (area-altitude) analysis of erosional topology |périodique= Geological Society of America Bulletin |volume= 63 |numéro= 11 |jour= |mois= |année= 1952 |passage= 1117-1142}}.</ref> et en 1957<ref>{{Article|langue=en |prénom1= Arthur Newell |nom1=Strahler|titre= Quantitative analysis of watershed geomorphology |périodique= Transactions of the American Geophysical Union |volume= 8 |numéro= 6 |jour= |mois= |année= 1957 |passage= 913-920}}.</ref>. |
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== Définition == |
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Selon la [[théorie des graphes]], on peut attribuer un nombre de Strahler à tous les [[Nœud (réseau)|nœuds]] d'un [[Arbre enraciné|arbre]], depuis les extrémités vers la [[Lexique de la théorie des graphes|racine]], comme suit : |
Selon la [[théorie des graphes]], on peut attribuer un nombre de Strahler à tous les [[Nœud (réseau)|nœuds]] d'un [[Arbre enraciné|arbre]], depuis les extrémités vers la [[Lexique de la théorie des graphes|racine]], comme suit : |
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# Si le nœud n'est que l'extrémité d'une [[Arête (géométrie)|arête]] / d'un arc, sans autre connexion, (= une feuille dans la théorie des graphes, ou = sans enfant), son nombre de Strahler est 1 ; |
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# Si le nœud a un arc ramifié avec le nombre de Strahler ''i'', et que tous les autres arcs ramifiés ont des nombres de Strahler inférieurs à ''i'', alors le nombre de Strahler de ce nœud est ''i'' à nouveau ; |
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# Si le nœud a au moins deux arcs ramifiés avec le nombre de Strahler ''i'', et aucun arc ramifié ayant un plus grand nombre, le nombre de Strahler de ce nœud est alors ''i'' + 1. |
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Le nombre de Strahler de l'arborescence est le [[Entier naturel|nombre entier]] de son nœud racine. Il est donc [[Grandeur sans dimension|adimensionnel]]. |
Le nombre de Strahler de l'arborescence est le [[Entier naturel|nombre entier]] de son nœud racine. Il est donc [[Grandeur sans dimension|adimensionnel]]. |
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Le nombre de Strahler atteint : |
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! Fleuve !! Strahler<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Colbert E.|nom1=Cushing|prénom2=Kenneth W.|nom2=Cummins|prénom3=G. Wayne|nom3=Minshall|titre=River and Stream|éditeur=University of California press|collection=Ecosystems of the world|lieu=Londres|année=2006|pages totales=825|passage=390|isbn=0-520-24567-9|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=lTA7BQR1MtQC&printsec=frontcover}}</ref>!! [[Ordre_des_cours_d%27eau#Ordre_de_Shreve|Shreve]] |
! Fleuve !! Strahler<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Colbert E.|nom1=Cushing|prénom2=Kenneth W.|nom2=Cummins|prénom3=G. Wayne|nom3=Minshall|titre=River and Stream|éditeur=University of California press|collection=Ecosystems of the world|lieu=Londres|année=2006|pages totales=825|passage=390|isbn=0-520-24567-9|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=lTA7BQR1MtQC&printsec=frontcover}}</ref>!! [[Ordre_des_cours_d%27eau#Ordre_de_Shreve|Shreve]] |
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Dernière version du 14 juin 2024 à 21:20
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Le nombre de Strahler d'une arborescence[1] est une mesure numérique de sa complexité de branchements.
Cette propriété est utilisée, par exemple, en classification des réseaux hydrographiques des cours d'eau pour indiquer le niveau de complexité de son réseau d'affluents et de sous-affluents et en théorie de la compilation pour calculer le nombre de registres nécessaires au calcul d'une expression arithmétique[2].
Les premières utilisations de ce nombre se trouvent dans les travaux de Robert E. Horton (en) en 1945[3] ainsi que dans ceux d'Arthur Newell Strahler en 1952[4] et en 1957[5].
Définition
[modifier | modifier le code]Selon la théorie des graphes, on peut attribuer un nombre de Strahler à tous les nœuds d'un arbre, depuis les extrémités vers la racine, comme suit :
- Si le nœud n'est que l'extrémité d'une arête / d'un arc, sans autre connexion, (= une feuille dans la théorie des graphes, ou = sans enfant), son nombre de Strahler est 1 ;
- Si le nœud a un arc ramifié avec le nombre de Strahler i, et que tous les autres arcs ramifiés ont des nombres de Strahler inférieurs à i, alors le nombre de Strahler de ce nœud est i à nouveau ;
- Si le nœud a au moins deux arcs ramifiés avec le nombre de Strahler i, et aucun arc ramifié ayant un plus grand nombre, le nombre de Strahler de ce nœud est alors i + 1.
Le nombre de Strahler de l'arborescence est le nombre entier de son nœud racine. Il est donc adimensionnel.
Tout nœud ayant le nombre de Strahler i doit donc avoir au moins :
- deux arcs ramifiés descendants avec un nombre de Strahler i - 1 ;
- quatre descendants avec un nombre de Strahler i - 2, etc. ;
- 2i - 1 « feuilles » descendantes.
Par conséquent, dans un arbre avec n nœuds, le plus grand nombre de Strahler possible est la partie entière de log2(n). Cependant, à moins que l'arbre forme un arbre binaire complet, le nombre de Strahler sera inférieur à cette borne. Dans un arbre binaire à n nœuds, choisi uniformément au hasard parmi tous les arbres binaires possibles, l'indice prévu de la racine est, avec une forte probabilité, très proche de log4(n).
Exemples
[modifier | modifier le code]En hydrographie
[modifier | modifier le code]Le nombre de Strahler est de 1 pour tout cours d'eau entre sa source et sa première confluence[6].
La racine du cours d'eau est soit la confluence où ce cours d'eau perd son nom, soit pour un fleuve, son embouchure. L'ordre d'un bassin versant est celui de son cours d'eau principal[6]. La classification peut dépendre de l'échelle de la carte utilisée[7],[8].
La classification des cours d'eau par le nombre de Strahler est ainsi très significative pour prendre en compte la structure et la densité du réseau hydrographique[9]. Elle reflète la variabilité des situations géographiques (exemple : selon la perméabilité du substrat rocheux du bassin versant) et pluviométriques par son lien étroit avec la quantité d’eau transportée en surface pendant les périodes de forts débits[9].
Le nombre de Strahler atteint :
Nom | Nombre | |
---|---|---|
Fleuve | Strahler[10] | Shreve |
Amazone | 12 | Au moins 29 |
Mississippi | 10 | Au moins 23 |
Nil | 10 | Au moins 22 |
Rhône | 9 | Au moins 20 |
Garonne | 9 | Au moins 16 |
Ienissei | 8 | Au moins 18 |
Danube | 8 | Au moins 15 |
Loire | 8 | Au moins 16 |
Congo | 7 | Au moins 18 |
Indus | 7 | Au moins 19 |
Mékong | 7 | Au moins 19 |
Rhin | 7 | Au moins 18 |
Seine | 7 | Au moins 16 |
Adour | 7 | Au moins 14 |
Dordogne | 7 | Au moins 14 |
Meuse | 7 | Au moins 14 |
Aar | 6 | Au moins 17 |
Oise | 6 | Au moins 16 |
Tamise | 5 | Au moins 11 |
Tibre | 5 | Au moins 9 |
Marne | 5 | Au moins 14 |
Lot | 5 | Au moins 13 |
En informatique
[modifier | modifier le code]Lors de la compilation d'un programme d'un langage de haut niveau en assembleur, le nombre minimum de registres nécessaires pour évaluer l'arbre d'une expression est exactement le nombre de Strahler de cet arbre[11],[12].
Lien externe
[modifier | modifier le code]- Javier Esparza, Michael Luttenberger et Maximilian Schlund, « A Brief History of Strahler Numbers », sur Université technique de Munich,
Voir aussi
[modifier | modifier le code]- Classification des réseaux hydrographiques
- Glossaire de la théorie des graphes
- Ordre des cours d'eau
Notes et références
[modifier | modifier le code]Notes
[modifier | modifier le code]Références
[modifier | modifier le code]- Régis Caloz et Claude Collet, Analyse spatiale de l'information géographique, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, coll. « Science et ingénierie de l'environnement », , 384 p. (ISBN 978-2-88074-902-6, lire en ligne), p. 199.
- (en) Xavier Gérard Viennot, « A Strahler bijection between Dyck paths and planar trees », Discrete Mathematics, vol. 246, nos 1-3, , p. 317-329 (DOI 10.1016/S0012-365X(01)00265-5).
- (en) R. E. Horton, « Erosional development of streams and their drainage basins: hydro-physical approach to quantitative morphology », Geological Society of America Bulletin, vol. 56, no 3, , p. 275-370.
- (en) Arthur Newell Strahler, « Hypsometric (area-altitude) analysis of erosional topology », Geological Society of America Bulletin, vol. 63, no 11, , p. 1117-1142.
- (en) Arthur Newell Strahler, « Quantitative analysis of watershed geomorphology », Transactions of the American Geophysical Union, vol. 8, no 6, , p. 913-920.
- André Musy et Christophe Higy, Hydrologie : Une science de la nature, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, coll. « Gérer l'environnement », , 314 p. (ISBN 2-88074-546-2, lire en ligne), p. 88 et 89.
- Denis Mercier, Géomorphologie de la France, Paris, Dunod, , 272 p. (ISBN 978-2-10-059706-2 et 2-10-059706-X, lire en ligne), p. 248.
- « Réseau hydrographique : ordre des cours d’eau pour le réseau hydrographique numérique au 1:25 000 de la Suisse », sur www.bafu.admin.ch.
- Typologie des cours d’eau de France métropolitaine[PDF], p. 12, Cemagref.
- (en) Colbert E. Cushing, Kenneth W. Cummins et G. Wayne Minshall, River and Stream, Londres, University of California press, coll. « Ecosystems of the world », , 825 p. (ISBN 0-520-24567-9, lire en ligne), p. 390
- Andreï Ershov, « On programming of arithmetic operations », Communications of the ACM, vol. 1, no 8, , p. 36 (DOI 10.1145/368892.368907).
- Philippe Flajolet, Jean-Claude Raoult et Jean Vuillemin, « The number of registers required for evaluating arithmetic expressions », Theoretical Computer Science, vol. 9, no 1, , p. 99-125 (DOI 10.1016/0304-3975(79)90009-4).