« Équation de Schröder-van Laar » : différence entre les versions
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En [[chimie physique]], l''''équation de Schröder-van Laar''' représente l'évolution de la [[Composition chimique|composition]] d'un mélange liquide binaire (composé de deux [[espèce chimique|espèces chimiques]]) en fonction de la température lorsque seul l'un des deux corps se [[solidification|solidifie]] (les deux corps ne sont pas [[Miscibilité|miscibles]] en phase solide). En d'autres termes, elle représente la courbe de [[congélation]] du mélange liquide ou la courbe de [[solubilité]] du solide dans le liquide. |
En [[chimie physique]], l''''équation de Schröder-van Laar''' représente l'évolution de la [[Composition chimique|composition]] d'un mélange liquide binaire (composé de deux [[espèce chimique|espèces chimiques]]) en fonction de la température lorsque seul l'un des deux corps se [[solidification|solidifie]] (les deux corps ne sont pas [[Miscibilité|miscibles]] en phase solide). En d'autres termes, elle représente la courbe de [[congélation]] du mélange liquide ou la courbe de [[solubilité]] du solide dans le liquide. |
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Cette équation est aussi appelée '''équation de Schröder-Le Chatelier'''<ref>[https://www.chempap.org/file_access.php?file=306a721.pdf M. Malinovský Chem. zvesti, 30 (6), 721—729 (1976)]</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage | |
Cette équation est aussi appelée '''équation de Schröder-Le Chatelier'''<ref>[https://www.chempap.org/file_access.php?file=306a721.pdf M. Malinovský Chem. zvesti, 30 (6), 721—729 (1976)].</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Michel Soustelle |titre=Phase Transformations |volume=5 |éditeur=[[John Wiley & Sons]] |collection=Chemical engineering series - Chemical thermodynamics set |année=2016 |mois=juin |pages totales=230 |passage=102 |isbn=978-1-84821-868-0 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=C_9RCgAAQBAJ&pg=PA102}}.</ref>, ou encore '''équation de Schröder-van Laar-Le Chatelier'''. Elle a été proposée indépendamment par [[Henry Le Chatelier|Le Chatelier]] en 1885<ref>[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3056t/f441.item.r=T100 H. Le Chatelier, ''C. R. Acad. Sc.'', 1885, 100, {{p.|441}}.].</ref>{{,}}<ref>[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f638.image H. Le Chatelier, ''C. R. Acad. Sc.'', 1894, 118, {{p.|638}}.].</ref>, Schröder en 1893<ref>I. Schröder, ''Z. Phys. Chem.'', 1893, 11, {{p.|449}}.</ref> et [[Johannes van Laar|van Laar]] en 1903<ref>[https://www.biodiversitylibrary.org/item/159010#page/312/mode/1up J. J. van Laar, ''Arch. Néerl.'', 1903, II, 8, {{p.|264}}.].</ref>{{,}}<ref>J. J. van Laar, ''Z. Phys. Chem.'', 1908, 63, {{p.|216}}.</ref>. Elle décrit le [[liquidus]] d'un [[diagramme de phase]] liquide-solide lorsque les deux solides purs sont totalement non miscibles et permet de déterminer la température et la composition de l'[[eutectique]]. Elle a pour cas limite la [[loi de la cryométrie]] lorsque la [[quantité de matière|quantité]] en phase liquide du corps qui ne se solidifie pas est négligeable devant celle du corps qui se solidifie. |
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Cette équation peut être étendue au cas des solides miscibles et au cas des solutions non [[solution idéale|idéales]]. Elle permet alors de représenter également le [[solidus (diagramme de phases)|solidus]] du diagramme de phase liquide-solide. |
Cette équation peut être étendue au cas des solides miscibles et au cas des solutions non [[solution idéale|idéales]]. Elle permet alors de représenter également le [[solidus (diagramme de phases)|solidus]] du diagramme de phase liquide-solide. |
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=== Solides non miscibles === |
=== Solides non miscibles === |
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Soit un mélange binaire, constitué des deux [[espèce chimique|espèces chimiques]] <math>\text{A}</math> et <math>\text{B}</math>, liquide sous la [[pression]] <math>P</math> constante. On suppose que les corps <math>\text{A}</math> et <math>\text{B}</math> ne sont pas miscibles en phase solide, c'est-à-dire que seul l'un des deux corps se solidifie lors d'un refroidissement du liquide, l'autre restant en phase liquide. On suppose ici que le corps <math>\text{A}</math> se solidifie progressivement lors de l'opération de refroidissement. |
Soit un mélange binaire, constitué des deux [[espèce chimique|espèces chimiques]] <math>\text{A}</math> et <math>\text{B}</math>, liquide sous la [[pression]] <math>P</math> constante. On suppose que les corps <math>\text{A}</math> et <math>\text{B}</math> ne sont pas [[Miscibilité|miscibles]] en phase solide, c'est-à-dire que seul l'un des deux corps se solidifie lors d'un refroidissement du liquide, l'autre restant en phase liquide. On suppose ici que le corps <math>\text{A}</math> se solidifie progressivement lors de l'opération de refroidissement. |
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L''''équation de Schröder-van Laar''' lie la composition du liquide à la température de l'équilibre liquide-solide <math>\text{A}</math> ; elle s'écrit : |
L''''équation de Schröder-van Laar''' lie la composition du liquide à la température de l'équilibre liquide-solide <math>\text{A}</math> ; elle s'écrit : |
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{|border="1" cellpadding="5" style="text-align:center;" align="center" |
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|'''Équation de Schröder-van Laar'''<br> |
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<math>\ln x_\text{A} = {\Delta_\text{fus} H_\text{A} \over R T_\text{fus,A}} \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} \right] |
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|<center>'''Équation de Schröder-van Laar'''</center> |
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- {\Delta_\text{fus} C_{P,\text{A}} \over R} \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} + \ln \! \left( {T_\text{fus,A} \over T} \right) \right]</math> |
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- {\Delta_\text{fus} C_{P,\text{A}} \over R} \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} + \ln \! \left( {T_\text{fus,A} \over T} \right) \right]</math></center> |
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avec : |
avec : |
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* <math>x_\text{A}</math> la [[fraction molaire]] du corps <math>\text{A}</math> dans la phase liquide ; |
* <math>x_\text{A}</math> la [[fraction molaire]] du corps <math>\text{A}</math> dans la phase liquide ; |
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* <math>\Delta_\text{fus} C_{P,\text{A}}</math> l'écart des [[capacité thermique|capacités thermiques]] [[processus isobare|isobares]] [[grandeur molaire|molaires]] du corps <math>\text{A}</math> pur liquide et solide à <math>T_\text{fus,A}</math> : |
* <math>\Delta_\text{fus} C_{P,\text{A}}</math> l'écart des [[capacité thermique|capacités thermiques]] [[processus isobare|isobares]] [[grandeur molaire|molaires]] du corps <math>\text{A}</math> pur liquide et solide à <math>T_\text{fus,A}</math> : |
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** <math>\Delta_\text{fus} C_{P,\text{A}} = \bar C_{P,\text{A}}^\text{l,*} \! \left( T_\text{fus,A} \right) - \bar C_{P,\text{A}}^\text{s,*} \! \left( T_\text{fus,A} \right)</math> |
** <math>\Delta_\text{fus} C_{P,\text{A}} = \bar C_{P,\text{A}}^\text{l,*} \! \left( T_\text{fus,A} \right) - \bar C_{P,\text{A}}^\text{s,*} \! \left( T_\text{fus,A} \right)</math> ; |
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** <math>\bar C_{P,\text{A}}^\text{l,*}</math> la [[capacité thermique isobare]] molaire du corps <math>\text{A}</math> liquide pur ; |
** <math>\bar C_{P,\text{A}}^\text{l,*}</math> la [[capacité thermique isobare]] molaire du corps <math>\text{A}</math> liquide pur ; |
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** <math>\bar C_{P,\text{A}}^\text{s,*}</math> la capacité thermique isobare molaire du corps <math>\text{A}</math> solide pur ; |
** <math>\bar C_{P,\text{A}}^\text{s,*}</math> la capacité thermique isobare molaire du corps <math>\text{A}</math> solide pur ; |
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l'équation peut être simplifiée en : |
l'équation peut être simplifiée en : |
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|'''Équation de Schröder-van Laar simplifiée'''<br> |
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<math>\ln x_\text{A} = {\Delta_\text{fus} H_\text{A} \over R T_\text{fus,A}} \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} \right]</math> |
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|<center>'''Équation de Schröder-van Laar simplifiée'''</center> |
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<center><math>\ln x_\text{A} = {\Delta_\text{fus} H_\text{A} \over R T_\text{fus,A}} \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} \right]</math></center> |
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=== Solides miscibles === |
=== Solides miscibles === |
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<center>'''Cas général'''</center> |
<center>'''Cas général'''</center> |
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<center><math>\ln \! \left( {a_\text{A}^\text{l} \over a_\text{A}^\text{s}} \right) |
<center><math>\ln \! \left( {a_\text{A}^\text{l} \over a_\text{A}^\text{s}} \right) |
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= \ln \! \left( {x_\text{A}^\text{l} \gamma_\text{A}^\text{l} \over x_\text{A}^\text{s} \gamma_\text{A}^\text{s}} \right) |
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= {\Delta_\text{fus} H_\text{A} \over R T_\text{fus,A}} \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} \right] |
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- {\Delta_\text{fus} C_{P,\text{A}} \over R} \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} + \ln \! \left( {T_\text{fus,A} \over T} \right) \right]</math></center> |
- {\Delta_\text{fus} C_{P,\text{A}} \over R} \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} + \ln \! \left( {T_\text{fus,A} \over T} \right) \right]</math></center> |
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avec : |
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avec <math>a_\text{A}^\text{l}</math> et <math>a_\text{A}^\text{s}</math> les [[activité chimique|activités chimiques]] du corps <math>\text{A}</math> à <math>T</math> respectivement dans les phases liquide et solide. En introduisant <math>\gamma_\text{A}^\text{l}</math> et <math>\gamma_\text{A}^\text{s}</math> les [[coefficient d'activité|coefficients d'activité]] du corps <math>\text{A}</math> à <math>T</math> respectivement dans les phases liquide et solide, tels que <math>a_\text{A}^\text{l} = x_\text{A}^\text{l} \gamma_\text{A}^\text{l}</math> et <math>a_\text{A}^\text{s} = x_\text{A}^\text{s} \gamma_\text{A}^\text{s}</math>, on a : |
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* <math>a_\text{A}^\text{l}</math> et <math>a_\text{A}^\text{s}</math> les [[activité chimique|activités chimiques]] du corps <math>\text{A}</math> à <math>T</math> respectivement dans les phases liquide et solide ; |
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* <math>x_\text{A}^\text{l}</math> et <math>x_\text{A}^\text{s}</math> les [[fraction molaire|fractions molaires]] du corps <math>\text{A}</math> respectivement dans les phases liquide et solide ; |
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* <math>\gamma_\text{A}^\text{l}</math> et <math>\gamma_\text{A}^\text{s}</math> les [[coefficient d'activité|coefficients d'activité]] du corps <math>\text{A}</math> à <math>T</math> respectivement dans les phases liquide et solide, tels que <math>a_\text{A}^\text{l} = x_\text{A}^\text{l} \gamma_\text{A}^\text{l}</math> et <math>a_\text{A}^\text{s} = x_\text{A}^\text{s} \gamma_\text{A}^\text{s}</math>. |
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- {\Delta_\text{fus} C_{P,\text{A}} \over R} \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} + \ln \! \left( {T_\text{fus,A} \over T} \right) \right]</math></center> |
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== Démonstration == |
== Démonstration == |
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+ T \cdot \Delta_\text{fus} C_{P,\text{A}} \cdot \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} - \ln \! \left( {T \over T_\text{fus,A}} \right) \right]</math> |
+ T \cdot \Delta_\text{fus} C_{P,\text{A}} \cdot \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} - \ln \! \left( {T \over T_\text{fus,A}} \right) \right]</math> |
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puis la relation {{equarefl|2}} : |
puis la relation {{equarefl|2}}, pour aboutir à la relation générale<ref>{{harvsp|Rousseau|id=Rousseau|1987|p=45-47}}.</ref> : |
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<center>'''Cas général'''</center> |
<center>'''Cas général'''</center> |
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=== Détermination d'un eutectique === |
=== Détermination d'un eutectique === |
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<span id="Figure 2">[[Fichier:Strukturalnie Eutektyka brak rozpuszczalnosc w ss.JPG|vignette|350px|'''Figure 2''' - [[Diagramme de phase]] de deux corps A et B, équilibre liquide-solide présentant un [[eutectique]]. Le domaine L est celui du liquide seul, le domaine A+L celui du liquide en équilibre avec le solide A, le domaine L+B celui du liquide en équilibre avec le solide B. Le [[liquidus]] est la courbe séparant ces trois domaines. L'eutectique E est le point de rencontre des trois domaines L, A+L et L+B.]]</span> |
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<span id="Figure 2">[[Fichier:Strukturalnie Eutektyka brak rozpuszczalnosc w ss.JPG|vignette|350px|'''Figure 2''' - [[Diagramme de phase]] de deux corps A et B, équilibre liquide-solide présentant un [[eutectique]]. Le domaine L est celui du liquide seul, le domaine A+L celui du liquide en équilibre avec le solide A, le domaine L+B celui du liquide en équilibre avec le solide B. Le [[liquidus]] est la courbe séparant ces trois domaines. L'eutectique est le point de rencontre des trois domaines L, A+L et L+B.]]</span> |
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On considère un mélange de deux corps <math>\text{A}</math> et <math>\text{B}</math> à l'équilibre liquide-solide. L'équation de Schröder-van Laar est basée sur l'hypothèse des solides <math>\text{A}</math> et <math>\text{B}</math> non [[Miscibilité|miscibles]]. Elle ne peut donc représenter totalement le liquidus du mélange binaire depuis le corps <math>\text{A}</math> pur (soit <math>x_\text{A} = 1</math> et <math>T = T_\text{fus,A}</math>) jusqu'au corps <math>\text{B}</math> pur (soit <math>x_\text{A} = 0</math> et <math>T = T_\text{fus,B}</math>). Dans le cas de deux solides non miscibles, il existe un point nommé [[eutectique]] auquel le liquide est en équilibre avec un solide de même composition (voir figure ci-contre). Pour décrire le [[liquidus]] d'un tel système, l'équation de Schröder-van Laar est appliquée : |
On considère un mélange de deux corps <math>\text{A}</math> et <math>\text{B}</math> à l'équilibre liquide-solide. L'équation de Schröder-van Laar est basée sur l'hypothèse des solides <math>\text{A}</math> et <math>\text{B}</math> non [[Miscibilité|miscibles]]. Elle ne peut donc représenter totalement le liquidus du mélange binaire depuis le corps <math>\text{A}</math> pur (soit <math>x_\text{A} = 1</math> et <math>T = T_\text{fus,A}</math>) jusqu'au corps <math>\text{B}</math> pur (soit <math>x_\text{A} = 0</math> et <math>T = T_\text{fus,B}</math>). Dans le cas de deux solides non miscibles, il existe un point nommé [[eutectique]] auquel le liquide est en équilibre avec un solide de même composition (voir figure ci-contre). Pour décrire le [[liquidus]] d'un tel système, l'équation de Schröder-van Laar est appliquée : |
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avec <math>T_\text{E}</math> la température de l'eutectique. On a ainsi un système de deux équations à deux inconnues : <math>T_\text{E}</math> et <math>x_\text{B}</math>. |
avec <math>T_\text{E}</math> la température de l'eutectique. On a ainsi un système de deux équations à deux inconnues : <math>T_\text{E}</math> et <math>x_\text{B}</math>. |
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;Exemple<ref>[https://books.google.fr/books?id=uE4UgF41cXYC&pg=PA182 |
;Exemple<ref>[https://books.google.fr/books?id=uE4UgF41cXYC&pg=PA182 Mesplède {{p.}}182].</ref> |
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:Le [[chlorure d'argent]] {{Formule chimique|AgCl}} et le [[chlorure de zinc]] {{Formule chimique|ZnCl|2}} ne sont pas miscibles à l'état solide. Les propriétés de ces deux corps sont données dans le tableau suivant. |
:Le [[chlorure d'argent]] {{Formule chimique|AgCl}} et le [[chlorure de zinc]] {{Formule chimique|ZnCl|2}} ne sont pas miscibles à l'état solide. Les propriétés de ces deux corps sont données dans le tableau suivant. |
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|+ Propriétés du {{Formule chimique|AgCl}} et du {{Formule chimique|ZnCl|2}} |
|+ Propriétés du {{Formule chimique|AgCl}} et du {{Formule chimique|ZnCl|2}} |
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! scope="col" | |
! scope="col" |Espèce |
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! scope="col" | |
! scope="col" |Température de fusion<br><math>T_\text{fus}</math> (°C) |
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! scope="col" | |
! scope="col" |Enthalpie de fusion<br><math>\Delta_\text{fus} H</math> (kJ/mol) |
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! scope="col" |Masse molaire<br><math>M</math> (g/mol) |
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|{{Formule chimique|AgCl}} |
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|style="text-align: center;" |455 |
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|style="text-align: center;" |{{nombre|13.2}} |
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|style="text-align: center;" |{{nombre|143.32}} |
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|- |
|- |
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| |
|{{Formule chimique|ZnCl|2}} |
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| |
|style="text-align: center;" |283 |
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| |
|style="text-align: center;" |{{nombre|23.2}} |
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|style="text-align: center;" |{{nombre|136.28}} |
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:On obtient pour l'eutectique : |
:On obtient pour l'eutectique : |
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:* la température <math>T_\text{E}</math> = {{unité|506.75|K}} = {{unité|233.6|°C}} ; |
:* la température <math>T_\text{E}</math> = {{unité|506.75|K}} = {{unité|233.6|°C}} ; |
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:* la fraction molaire de {{Formule chimique|ZnCl|2}} : <math>x_{\text{ZnCl}_2}</math> = 0,614, soit |
:* la fraction molaire de {{Formule chimique|ZnCl|2}} : <math>x_{\text{ZnCl}_2}</math> = 0,614, soit 60,2 % en masse. |
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:Le diagramme de phases expérimental {{Formule chimique|AgCl}}-{{Formule chimique|ZnCl|2}} fait apparaître un eutectique à {{unité|504|K}} ({{unité|231|°C}}) avec une fraction molaire <math>x_{\text{ZnCl}_2}</math> = 0,465, soit {{unité|45.2|%}} en masse<ref>{{Article |langue=en |prénom1=Alina |nom1=Wojakowska |prénom2=Agata |nom2=Górniak |prénom3=A. |nom3=Wojakowski |prénom4=Stanisława |nom4=Plińska |titre=Studies of phase equilibria in the systems {{Formule chimique|ZnCl|2}}-{{Formule chimique|AgCl}} and {{Formule chimique|ZnBr|2}}-{{Formule chimique|AgBr}} |périodique=Journal of Thermal Analysis and Calorimetry |volume=77 |numéro=1 |date=2004 |issn=1388-6150 |doi=10.1023/B:JTAN.0000033186.52150.8d |lire en ligne=http://link.springer.com/10.1023/B:JTAN.0000033186.52150.8d |consulté le=2020-02-26 |pages=41–47 }}.</ref>. |
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=== Loi de la cryométrie === |
=== Loi de la cryométrie === |
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=== Tracé d'un diagramme de phase idéal === |
=== Tracé d'un diagramme de phase idéal === |
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<span id="Figure 3">[[Fichier:Diagramme binaire solution solide unique (vectoriel).svg|vignette|350px|'''Figure 3''' - Diagramme binaire liquide-solide dans lequel les deux solides sont totalement [[miscibilité|miscibles]].]]</span> |
<span id="Figure 3">[[Fichier:Diagramme binaire solution solide unique (vectoriel).svg|vignette|350px|'''Figure 3''' - Diagramme binaire liquide-solide dans lequel les deux solides sont totalement [[miscibilité|miscibles]].]]</span> |
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* <math>T</math> la température ; |
* <math>T</math> la température ; |
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* <math>T_\text{fus,A}</math> et <math>T_\text{fus,B}</math> les températures de fusion respectives du corps <math>\text{A}</math> et du corps <math>\text{B}</math> purs ; |
* <math>T_\text{fus,A}</math> et <math>T_\text{fus,B}</math> les températures de fusion respectives du corps <math>\text{A}</math> et du corps <math>\text{B}</math> purs ; |
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* <math>x_\text{A}^\text{l}</math> et <math>x_\text{ |
* <math>x_\text{A}^\text{l}</math> et <math>x_\text{B}^\text{l}</math> les fractions molaires respectives du corps <math>\text{A}</math> et du corps <math>\text{B}</math> dans la solution liquide ; |
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* <math>x_\text{A}^\text{s}</math> et <math>x_\text{ |
* <math>x_\text{A}^\text{s}</math> et <math>x_\text{B}^\text{s}</math> les fractions molaires respectives du corps <math>\text{A}</math> et du corps <math>\text{B}</math> dans la solution solide ; |
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* <math>\Delta_\text{fus} H_\text{A}</math> et <math>\Delta_\text{fus} H_\text{B}</math> les enthalpies de fusion respectives du corps <math>\text{A}</math> et du corps <math>\text{B}</math> purs respectivement à <math>T_\text{fus,A}</math> et <math>T_\text{fus,B}</math>. |
* <math>\Delta_\text{fus} H_\text{A}</math> et <math>\Delta_\text{fus} H_\text{B}</math> les enthalpies de fusion respectives du corps <math>\text{A}</math> et du corps <math>\text{B}</math> purs respectivement à <math>T_\text{fus,A}</math> et <math>T_\text{fus,B}</math>. |
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On pose : |
On pose : |
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:<math> |
:<math>K_\text{A} \! \left( T \right) = {x_\text{A}^\text{l} \over x_\text{A}^\text{s}} |
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= \exp \! \left( {\Delta_\text{fus} H_\text{A} \over R T_\text{fus,A}} \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} \right] \right)</math> |
= \exp \! \left( {\Delta_\text{fus} H_\text{A} \over R T_\text{fus,A}} \left[ 1 - {T_\text{fus,A} \over T} \right] \right)</math> |
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:<math> |
:<math>K_\text{B} \! \left( T \right) = {x_\text{B}^\text{l} \over x_\text{B}^\text{s}} |
||
= \exp \! \left( {\Delta_\text{fus} H_\text{B} \over R T_\text{fus,B}} \left[ 1 - {T_\text{fus,B} \over T} \right] \right)</math> |
= \exp \! \left( {\Delta_\text{fus} H_\text{B} \over R T_\text{fus,B}} \left[ 1 - {T_\text{fus,B} \over T} \right] \right)</math> |
||
Pour une température <math>T</math> donnée on a : |
Pour une température <math>T</math> donnée on a : |
||
:<math>x_\text{A}^\text{l} = |
:<math>x_\text{A}^\text{l} = K_\text{A} {1 - K_\text{B} \over K_\text{A} - K_\text{B}}</math> |
||
:<math>x_\text{B}^\text{l} = |
:<math>x_\text{B}^\text{l} = K_\text{B} {1 - K_\text{A} \over K_\text{B} - K_\text{A}}</math> |
||
:<math>x_\text{A}^\text{s} = {1 - |
:<math>x_\text{A}^\text{s} = {1 - K_\text{B} \over K_\text{A} - K_\text{B}}</math> |
||
:<math>x_\text{B}^\text{s} = {1 - |
:<math>x_\text{B}^\text{s} = {1 - K_\text{A} \over K_\text{B} - K_\text{A}}</math> |
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Si l'on choisit, arbitrairement, le corps <math>\text{B}</math> comme référence, en faisant varier la température <math>T</math> entre <math>T_\text{fus,A}</math> et <math>T_\text{fus,B}</math>, la courbe <math>T = f \! \left( x_\text{B}^\text{l} \right)</math> est le [[liquidus]] du diagramme de phase, la courbe <math>T = g \! \left( x_\text{B}^\text{s} \right)</math> est le [[Solidus (diagramme de phases)|solidus]], voir la [[#Figure 3|figure 3]]. |
Si l'on choisit, arbitrairement, le corps <math>\text{B}</math> comme référence, en faisant varier la température <math>T</math> entre <math>T_\text{fus,A}</math> et <math>T_\text{fus,B}</math>, la courbe <math>T = f \! \left( x_\text{B}^\text{l} \right)</math> est le [[liquidus]] du diagramme de phase, la courbe <math>T = g \! \left( x_\text{B}^\text{s} \right)</math> est le [[Solidus (diagramme de phases)|solidus]], voir la [[#Figure 3|figure 3]]. |
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;Exemple<ref>[https://books.google.fr/books?id=uE4UgF41cXYC&pg=PA193 |
;Exemple<ref>[https://books.google.fr/books?id=uE4UgF41cXYC&pg=PA193 Mesplède {{p.}}193]-[https://books.google.fr/books?id=uE4UgF41cXYC&pg=PA202 {{p.|202}}].</ref> |
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:Le [[cuivre]] {{Formule chimique|Cu}} et le [[nickel]] {{Formule chimique|Ni}} sont miscibles en toute proportion à l'état solide. Les propriétés de ces deux corps sont données dans le tableau suivant. |
:Le [[cuivre]] {{Formule chimique|Cu}} et le [[nickel]] {{Formule chimique|Ni}} sont miscibles en toute proportion à l'état solide et leur mélange a un comportement idéal. Les propriétés de ces deux corps sont données dans le tableau suivant. |
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|+ Propriétés du {{Formule chimique|Cu}} et du {{Formule chimique|Ni}} |
|+ Propriétés du {{Formule chimique|Cu}} et du {{Formule chimique|Ni}} |
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|+ Valeurs calculées des liquidus et solidus du système Cu-Ni idéal |
|+ Valeurs calculées des liquidus et solidus du système Cu-Ni idéal |
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=== Point de fusion congruent === |
=== Point de fusion congruent === |
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<span id="Figure 5">[[Fichier:Au-cu.png|vignette|350px|'''Figure 5''' - Diagramme de phase de l'[[alliage or-cuivre]] (Au-Cu). Les courbes d'équilibre liquide-solide, entre {{unité|1100|K}} et {{unité|1400|K}}, présentent un [[point de fusion congruent]] à {{unité|1180|K}} ({{unité|910|°C}}) pour une composition d'environ 44 % molaire de cuivre. Ce comportement prouve la non idéalité de l'alliage or-cuivre.]]</span> |
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L'hypothèse de l'[[solution idéale|idéalité]] ne permet pas de représenter les cas de [[ |
L'hypothèse de l'[[solution idéale|idéalité]] ne permet pas de représenter les cas de [[point de fusion congruent]]. En un point de fusion congruent le liquide et le solide ont la même composition (contrairement au cas de l'eutectique, dans le cas d'un point de fusion congruent les deux solides sont totalement miscibles) : |
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:<math>x_\text{A}^\text{l} = x_\text{A}^\text{s}</math> |
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Les seules solutions sont : |
Les seules solutions sont : |
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* <math> |
* <math>K_\text{A} = 1</math>, soit <math>T = T_\text{fus,A}</math> et <math>x_\text{A}^\text{l} = x_\text{A}^\text{s} = 1</math>, le corps <math>\text{A}</math> est pur ; |
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* <math> |
* <math>K_\text{B} = 1</math>, soit <math>T = T_\text{fus,B}</math> et <math>x_\text{B}^\text{l} = x_\text{B}^\text{s} = 1</math>, le corps <math>\text{B}</math> est pur. |
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Un point de fusion congruent est une preuve de non idéalité des solutions liquide et solide. Pour représenter ce type de comportement, il est nécessaire d'employer la forme générale de l'équation comprenant les [[activité chimique|activités chimiques]]. |
Un point de fusion congruent est une preuve de non idéalité des solutions liquide et solide. L'[[alliage or-cuivre]] présente un point de fusion congruent et n'est donc pas idéal ; son diagramme de phase (voir [[#Figure 5|figure 5]]) ne peut donc pas être tracé à l'aide de l'équation de Schröder-van Laar. Pour représenter ce type de comportement, il est nécessaire d'employer la forme générale de l'équation comprenant les [[activité chimique|activités chimiques]]. |
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== Notes et références == |
== Notes et références == |
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=== Notes === |
=== Notes === |
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{{Références}} |
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<references /> |
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=== Bibliographie === |
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* {{Ouvrage |langue=en |auteur1=Wolfgang Beckmann |titre=Crystallization |sous-titre=Basic Concepts and Industrial Applications |éditeur=[[John Wiley & Sons]] |année=2013 |mois=janvier |pages totales=360 |passage=56 |isbn=978-3-527-65034-7 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=QXEFwMNK4jIC&pg=PT56}}. |
|||
* Jacques Schwarzentruber (EMAC), ''[http://nte.mines-albi.fr/Thermo/co/uc_EnthalpieLibre_1.html Enthalpie libre des corps purs à l'état liquide et solide]'', ''[http://nte.mines-albi.fr/Thermo/co/uc_ExpressionSolubilite.html Expression de la solubilité]'', [[École nationale supérieure des mines d'Albi-Carmaux]] |
|||
* {{Ouvrage |langue=en |auteur1=Iam-Choon Khoo |auteur2=Shin-Tson Wu |titre=Optics and Nonlinear Optics of Liquid Crystals |éditeur=[[World Scientific]] |année=1993 |pages totales=425 |passage=12 |isbn=978-981-02-0934-6 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=gzOgw3wCYyoC&pg=PA12}}. |
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* ''[http://www.uqac.ca/chimie_ens/Thermochimie/Chap_htm/CHAP_9.html#III-%20Solution%20id%C3%A9ale Solution idéale d’un solide dans un liquide]'', [[Université du Québec à Chicoutimi]] |
|||
* {{Ouvrage |langue=en |auteur1=Ronald W. Rousseau |titre=Handbook of Separation Process Technology |éditeur=[[John Wiley & Sons]] |année=1987 |pages totales=1024 |passage=45-48 |isbn=978-0-471-89558-9 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=gmnWZ1zNON0C&pg=PA45 |id=Rousseau}}. |
|||
* {{Ouvrage |langue=fr |auteur1=Bruno Fosset |auteur2=Jean-Bernard Baudin |auteur3=Frédéric Lahitète |auteur4=Valéry Prévost |titre=Chimie tout-en-un PC-PC* |sous-titre=Le cours de référence |éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] |collection=Cours tout-en-un, Concours Écoles d'ingénieurs |année=2012 |mois=juillet |pages totales=1104 |passage=304 |isbn=978-2-10-058445-1 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=4p0_ACWyNcsC&pg=PA304}}. |
|||
* {{Ouvrage |langue=fr |auteur1=J. Mesplède |titre=Chimie : Thermodynamique Matériaux PC |sous-titre=Cours, méthode, exercices résolus |éditeur=[[Éditions Bréal]] |collection=Les nouveaux précis Bréal |année=2004 |passage=chapitre 5 « Équilibres solide-liquide » |isbn=978-2-7495-2064-3 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=uE4UgF41cXYC&pg=PA173}}. |
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=== Liens externes === |
||
* {{Lien web |langue=fr |auteur= Jacques Schwartzentruber |auteur institutionnel=[[École nationale supérieure des mines d'Albi-Carmaux]] |titre=Enthalpie libre des corps purs à l'état liquide et solide |lire en ligne=https://nte.mines-albi.fr/Thermo/fr/co/uc_EnthalpieLibre_1.html |date=11 mars 2021 |consulté le=19 décembre 2021}}. |
|||
* {{Ouvrage |
|||
* {{Lien web |langue=fr |auteur= Jacques Schwartzentruber |auteur institutionnel=[[École nationale supérieure des mines d'Albi-Carmaux]] |titre=Expression de la solubilité |lire en ligne=https://nte.mines-albi.fr/Thermo/fr/co/uc_ExpressionSolubilite.html |site=nte.mines-albi.fr |date=11 mars 2021 |consulté le=19 décembre 2021}}. |
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| langue = en |
|||
* {{Lien web |langue=fr |auteur institutionnel= [[Université du Québec à Chicoutimi]] |titre=Solution idéale d’un solide dans un liquide |lire en ligne=http://www.uqac.ca/chimie_ens/Thermochimie/Chap_htm/CHAP_9.html#III-%20Solution%20id%C3%A9ale |date= |site=uqac.ca |consulté le=11 septembre 2021}}. |
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| auteur1 = Wolfgang Beckmann |
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| titre = Crystallization |
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| sous-titre = Basic Concepts and Industrial Applications |
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| éditeur = John Wiley & Sons |
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| lieu = |
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| mois = janvier |
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| année = 2013 |
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| volume = |
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| pages totales = 360 |
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| passage = 56 |
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| isbn = 9783527650347 |
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* {{Ouvrage |
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| langue = en |
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| auteur1 = Iam-Choon Khoo |
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== Articles connexes == |
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* [[Diagramme de phase]] |
* [[Diagramme de phase]] |
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{{Palette|État de la matière}} |
{{Palette|État de la matière}} |
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{{Portail|physique|chimie}} |
{{Portail|physique|chimie}} |
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[[Catégorie:Loi en thermodynamique|Schröder-van Laar]] |
[[Catégorie:Loi en thermodynamique|Schröder-van Laar]] |
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[[Catégorie:Loi en chimie|Schröder-van Laar]] |
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[[Catégorie:Loi des gaz|Schröder-van Laar]] |
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[[Catégorie:Chimie des équilibres|Schröder-van Laar]] |
[[Catégorie:Chimie des équilibres|Schröder-van Laar]] |
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[[Catégorie:Transition de phase|Schröder-van Laar]] |
[[Catégorie:Transition de phase|Schröder-van Laar]] |
Dernière version du 18 juillet 2024 à 17:34
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Diag_phase_eau_sel.png/350px-Diag_phase_eau_sel.png)
En chimie physique, l'équation de Schröder-van Laar représente l'évolution de la composition d'un mélange liquide binaire (composé de deux espèces chimiques) en fonction de la température lorsque seul l'un des deux corps se solidifie (les deux corps ne sont pas miscibles en phase solide). En d'autres termes, elle représente la courbe de congélation du mélange liquide ou la courbe de solubilité du solide dans le liquide.
Cette équation est aussi appelée équation de Schröder-Le Chatelier[1],[2], ou encore équation de Schröder-van Laar-Le Chatelier. Elle a été proposée indépendamment par Le Chatelier en 1885[3],[4], Schröder en 1893[5] et van Laar en 1903[6],[7]. Elle décrit le liquidus d'un diagramme de phase liquide-solide lorsque les deux solides purs sont totalement non miscibles et permet de déterminer la température et la composition de l'eutectique. Elle a pour cas limite la loi de la cryométrie lorsque la quantité en phase liquide du corps qui ne se solidifie pas est négligeable devant celle du corps qui se solidifie.
Cette équation peut être étendue au cas des solides miscibles et au cas des solutions non idéales. Elle permet alors de représenter également le solidus du diagramme de phase liquide-solide.
Énoncé
[modifier | modifier le code]Solides non miscibles
[modifier | modifier le code]Soit un mélange binaire, constitué des deux espèces chimiques et , liquide sous la pression constante. On suppose que les corps et ne sont pas miscibles en phase solide, c'est-à-dire que seul l'un des deux corps se solidifie lors d'un refroidissement du liquide, l'autre restant en phase liquide. On suppose ici que le corps se solidifie progressivement lors de l'opération de refroidissement.
L'équation de Schröder-van Laar lie la composition du liquide à la température de l'équilibre liquide-solide ; elle s'écrit :
Équation de Schröder-van Laar
|
avec :
- la pression de l'équilibre liquide-solide ;
- la constante universelle des gaz parfaits ;
- la température de l'équilibre liquide-solide sous la pression ;
- la température du fusion du corps pur sous la pression ;
- la fraction molaire du corps dans la phase liquide ;
- l'écart des capacités thermiques isobares molaires du corps pur liquide et solide à :
- ;
- la capacité thermique isobare molaire du corps liquide pur ;
- la capacité thermique isobare molaire du corps solide pur ;
- l'enthalpie de fusion du corps pur à .
Les capacités thermiques du liquide et du solide d'un corps pur étant généralement assez proches :
l'équation peut être simplifiée en :
Équation de Schröder-van Laar simplifiée
|
Solides miscibles
[modifier | modifier le code]Si les deux solides sont miscibles, les solutions liquide et solide étant idéales, l'équation de Schröder-van Laar peut être étendue sous la forme :
avec et les fractions molaires du corps respectivement dans les phases liquide et solide.
Généralisation
[modifier | modifier le code]Dans le cas général, c'est-à-dire dans le cas où les solutions solide et liquide ne sont pas idéales, on a :
avec :
- et les activités chimiques du corps à respectivement dans les phases liquide et solide ;
- et les fractions molaires du corps respectivement dans les phases liquide et solide ;
- et les coefficients d'activité du corps à respectivement dans les phases liquide et solide, tels que et .
Démonstration
[modifier | modifier le code]On considère un mélange binaire, constitué des deux corps et , à l'équilibre liquide-solide sous une pression constante à la température . La démonstration est effectuée dans un premier temps dans le cas général, avec pour seule hypothèse que les propriétés physiques du corps peuvent être considérées comme constantes entre la température de fusion du corps pur et la température du mélange. Le raisonnement mené sur le corps est également valable pour le corps .
À l'équilibre liquide-solide on a pour le corps l'égalité des potentiels chimiques :
- (1)
avec :
- le potentiel chimique du corps en phase liquide à ;
- le potentiel chimique du corps en phase solide à .
Les potentiels chimiques du corps en solution s'écrivent en fonction des potentiels chimiques du corps pur :
- (1a)
- (1b)
avec :
- et les potentiels chimiques du corps pur à respectivement dans les phases liquide et solide ;
- et les activités chimiques du corps à respectivement dans les phases liquide et solide ;
- la constante universelle des gaz parfaits.
On réécrit la relation (1) :
- (2)
Étant donné l'identité de l'enthalpie libre molaire et du potentiel chimique d'un corps pur, la relation de Gibbs-Helmholtz donne pour un corps pur quelconque, quelle que soit la phase, liquide ou solide :
- (3)
avec l'enthalpie molaire du corps pur. En introduisant la capacité thermique isobare molaire du corps pur dans la phase considérée, on a :
que l'on intègre entre , la température de fusion du corps pur sous la pression , et :
En considérant que varie peu en fonction de la température on obtient :
On injecte cette relation dans (3) que l'on intègre entre et :
En introduisant l'entropie molaire du corps pur dans la phase considérée et en considérant la relation :
on obtient :
que l'on décline pour le corps pur dans chacune des deux phases :
On a ainsi la relation :
- (5)
En introduisant l'enthalpie de fusion du corps pur , avec par définition les relations :
et l'écart des capacités thermiques :
on réécrit la relation (5) :
puis la relation (2), pour aboutir à la relation générale[8] :
Si le solide et le liquide sont des solutions idéales, alors dans les relations (1a) et (1b) :
avec et les fractions molaires du corps respectivement dans les phases liquide et solide. On a ainsi la courbe idéale :
Si le solide est constitué du corps pur, alors , on obtient l'équation de Schröder-van Laar :
Applications
[modifier | modifier le code]Détermination d'un eutectique
[modifier | modifier le code]On considère un mélange de deux corps et à l'équilibre liquide-solide. L'équation de Schröder-van Laar est basée sur l'hypothèse des solides et non miscibles. Elle ne peut donc représenter totalement le liquidus du mélange binaire depuis le corps pur (soit et ) jusqu'au corps pur (soit et ). Dans le cas de deux solides non miscibles, il existe un point nommé eutectique auquel le liquide est en équilibre avec un solide de même composition (voir figure ci-contre). Pour décrire le liquidus d'un tel système, l'équation de Schröder-van Laar est appliquée :
- au corps , entre l'axe représentant ce corps pur et l'eutectique, pour tracer la branche du liquidus entre les domaines et :
- puis au corps , entre l'eutectique et l'axe représentant ce corps pur, pour tracer la branche du liquidus entre les domaines et :
avec :
- la température ;
- et les températures de fusion respectives du corps et du corps ;
- et les fractions molaires respectives du corps et du corps dans le liquide (avec la contrainte ) ;
- et les enthalpies de fusion respectives du corps et du corps respectivement à et .
À l'eutectique il y a simultanément présence de trois phases : le liquide binaire, le corps pur solide et le corps pur solide. Les deux branches du liquidus s'y rencontrent. On peut par conséquent écrire pour les équilibres entre le liquide et chacun des deux solides :
avec la température de l'eutectique. On a ainsi un système de deux équations à deux inconnues : et .
- Exemple[9]
- Le chlorure d'argent AgCl et le chlorure de zinc ZnCl2 ne sont pas miscibles à l'état solide. Les propriétés de ces deux corps sont données dans le tableau suivant.
Espèce | Température de fusion (°C) |
Enthalpie de fusion (kJ/mol) |
Masse molaire (g/mol) |
---|---|---|---|
AgCl | 455 | 13,2 | 143,32 |
ZnCl2 | 283 | 23,2 | 136,28 |
- On obtient pour l'eutectique :
- la température = 506,75 K = 233,6 °C ;
- la fraction molaire de ZnCl2 : = 0,614, soit 60,2 % en masse.
- Le diagramme de phases expérimental AgCl-ZnCl2 fait apparaître un eutectique à 504 K (231 °C) avec une fraction molaire = 0,465, soit 45,2 % en masse[10].
Loi de la cryométrie
[modifier | modifier le code]On considère toujours que les corps et ne sont pas miscibles en phase solide et que la phase liquide est une solution idéale. Si le corps est négligeable dans le liquide par rapport au corps , soit en termes de fraction molaire , alors par développement limité :
On réécrit l'équation de Schröder-van Laar simplifiée :
Puisque l'on est très proche du corps pur :
on obtient finalement la loi de la cryométrie :
Puisque seul le corps se solidifie, la température est sa température de fusion en présence du corps . Le terme de droite de l'égalité précédente étant positif, on a : le corps fait donc baisser proportionnellement à sa fraction molaire en phase liquide la température de fusion du corps .
D'autre part, la courbe étant le liquidus du diagramme binaire, on a à l'approche du corps pur . La pente du liquidus en est donc non nulle, de plus elle est négative ; autrement dit la tangente du liquidus en n'est pas horizontale, c'est une droite décroissante. En la tangente au liquidus est une droite croissante de pente . La figure 2 précédente montrant un eutectique est donc fautive, puisque les deux tangentes du liquidus aux intersections des axes et y sont horizontales. La figure 1 est plus réaliste.
Tracé d'un diagramme de phase idéal
[modifier | modifier le code]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Diagramme_binaire_solution_solide_unique_%28vectoriel%29.svg/350px-Diagramme_binaire_solution_solide_unique_%28vectoriel%29.svg.png)
On considère un mélange de deux corps et à l'équilibre liquide-solide. Les deux solides sont totalement miscibles et les deux solutions liquide et solide sont idéales. Le système, à pression constante, est décrit par les quatre équations :
avec :
- la température ;
- et les températures de fusion respectives du corps et du corps purs ;
- et les fractions molaires respectives du corps et du corps dans la solution liquide ;
- et les fractions molaires respectives du corps et du corps dans la solution solide ;
- et les enthalpies de fusion respectives du corps et du corps purs respectivement à et .
On pose :
Pour une température donnée on a :
Si l'on choisit, arbitrairement, le corps comme référence, en faisant varier la température entre et , la courbe est le liquidus du diagramme de phase, la courbe est le solidus, voir la figure 3.
- Exemple[11]
- Le cuivre Cu et le nickel Ni sont miscibles en toute proportion à l'état solide et leur mélange a un comportement idéal. Les propriétés de ces deux corps sont données dans le tableau suivant.
Espèce | Température de fusion (K) |
Enthalpie de fusion (kJ/mol) |
---|---|---|
Cu | 1 357,8 | 13,26 |
Ni | 1 728,3 | 17,48 |
- On obtient pour diverses températures les valeurs présentées dans le tableau suivant.
Température (K) | 1 357,8 | 1 400 | 1 450 | 1 500 | 1 550 | 1 600 | 1 650 | 1 700 | 1 728,3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Fraction molaire du Ni liquide | 0 | 0,095 2 | 0,214 9 | 0,341 5 | 0,474 8 | 0,614 5 | 0,760 5 | 0,912 6 | 1 |
Fraction molaire du Ni solide | 0 | 0,126 6 | 0,271 4 | 0,410 9 | 0,545 9 | 0,677 3 | 0,805 5 | 0,930 9 | 1 |
- On peut tracer la figure 4.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Diagramme_Cu-Ni.jpg/350px-Diagramme_Cu-Ni.jpg)
Point de fusion congruent
[modifier | modifier le code]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/Au-cu.png/350px-Au-cu.png)
L'hypothèse de l'idéalité ne permet pas de représenter les cas de point de fusion congruent. En un point de fusion congruent le liquide et le solide ont la même composition (contrairement au cas de l'eutectique, dans le cas d'un point de fusion congruent les deux solides sont totalement miscibles) :
soit :
Les seules solutions sont :
- , soit et , le corps est pur ;
- , soit et , le corps est pur.
Un point de fusion congruent est une preuve de non idéalité des solutions liquide et solide. L'alliage or-cuivre présente un point de fusion congruent et n'est donc pas idéal ; son diagramme de phase (voir figure 5) ne peut donc pas être tracé à l'aide de l'équation de Schröder-van Laar. Pour représenter ce type de comportement, il est nécessaire d'employer la forme générale de l'équation comprenant les activités chimiques.
Notes et références
[modifier | modifier le code]Notes
[modifier | modifier le code]- M. Malinovský Chem. zvesti, 30 (6), 721—729 (1976).
- (en) Michel Soustelle, Phase Transformations, vol. 5, John Wiley & Sons, coll. « Chemical engineering series - Chemical thermodynamics set », , 230 p. (ISBN 978-1-84821-868-0, lire en ligne), p. 102.
- H. Le Chatelier, C. R. Acad. Sc., 1885, 100, p. 441..
- H. Le Chatelier, C. R. Acad. Sc., 1894, 118, p. 638..
- I. Schröder, Z. Phys. Chem., 1893, 11, p. 449.
- J. J. van Laar, Arch. Néerl., 1903, II, 8, p. 264..
- J. J. van Laar, Z. Phys. Chem., 1908, 63, p. 216.
- Rousseau 1987, p. 45-47.
- Mesplède p. 182.
- (en) Alina Wojakowska, Agata Górniak, A. Wojakowski et Stanisława Plińska, « Studies of phase equilibria in the systems ZnCl2-AgCl and ZnBr2-AgBr », Journal of Thermal Analysis and Calorimetry, vol. 77, no 1, , p. 41–47 (ISSN 1388-6150, DOI 10.1023/B:JTAN.0000033186.52150.8d, lire en ligne, consulté le ).
- Mesplède p. 193-p. 202.
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Wolfgang Beckmann, Crystallization : Basic Concepts and Industrial Applications, John Wiley & Sons, , 360 p. (ISBN 978-3-527-65034-7, lire en ligne), p. 56.
- (en) Iam-Choon Khoo et Shin-Tson Wu, Optics and Nonlinear Optics of Liquid Crystals, World Scientific, , 425 p. (ISBN 978-981-02-0934-6, lire en ligne), p. 12.
- (en) Ronald W. Rousseau, Handbook of Separation Process Technology, John Wiley & Sons, , 1024 p. (ISBN 978-0-471-89558-9, lire en ligne), p. 45-48.
- Bruno Fosset, Jean-Bernard Baudin, Frédéric Lahitète et Valéry Prévost, Chimie tout-en-un PC-PC* : Le cours de référence, Dunod, coll. « Cours tout-en-un, Concours Écoles d'ingénieurs », , 1104 p. (ISBN 978-2-10-058445-1, lire en ligne), p. 304.
- J. Mesplède, Chimie : Thermodynamique Matériaux PC : Cours, méthode, exercices résolus, Éditions Bréal, coll. « Les nouveaux précis Bréal », (ISBN 978-2-7495-2064-3, lire en ligne), chapitre 5 « Équilibres solide-liquide ».
Liens externes
[modifier | modifier le code]- Jacques Schwartzentruber, École nationale supérieure des mines d'Albi-Carmaux, « Enthalpie libre des corps purs à l'état liquide et solide », (consulté le ).
- Jacques Schwartzentruber, École nationale supérieure des mines d'Albi-Carmaux, « Expression de la solubilité », sur nte.mines-albi.fr, (consulté le ).
- Université du Québec à Chicoutimi, « Solution idéale d’un solide dans un liquide », sur uqac.ca (consulté le ).