« Quadri-moment » : différence entre les versions
m WP:TYPO : {{1er}}, {{1re}}, {{2e}}, {{3e}}… + exception lien interne |
Aucun résumé des modifications |
||
(21 versions intermédiaires par 15 utilisateurs non affichées) | |||
Ligne 1 : | Ligne 1 : | ||
⚫ | En [[relativité restreinte]], le '''quadri-moment'''<ref name="Elbaz"/> (ou '''quadrivecteur impulsion'''<ref name="Elbaz"/> ou '''quadri-impulsion'''<ref name="Landau"/> ou '''quadrivecteur impulsion-énergie'''<ref name="Grossetete"/> ou '''quadrivecteur énergie-impulsion'''<ref name="Smith"/>) est une généralisation du [[moment linéaire]] tridimensionnel de la [[physique classique]] sous la forme d'un [[quadrivecteur]] de l'[[espace de Minkowski]], espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte. |
||
{{ébauche|relativité}} |
|||
⚫ | En [[relativité restreinte]], le '''quadri-moment'''<ref name="Elbaz"/> (ou '''quadrivecteur impulsion'''<ref name="Elbaz"/> ou '''quadri-impulsion'''<ref name="Landau"/> ou '''quadrivecteur impulsion-énergie'''<ref name="Grossetete"/> ou '''quadrivecteur énergie-impulsion'''<ref name="Smith"/>) est une généralisation du [[moment linéaire]] tridimensionnel de la [[physique classique]] sous la forme d'un [[quadrivecteur]] de l'[[espace de Minkowski]], espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte. |
||
Le quadri-moment d'une [[Particule (physique)|particule]] combine le moment tridimensionnel <math>\vec p = (p_x, p_y, p_z)</math> et d'énergie <math>E</math> : |
Le quadri-moment d'une [[Particule (physique)|particule]] combine le moment tridimensionnel <math>\vec p = (p_x, p_y, p_z)</math> et d'énergie <math>E</math> : |
||
:<math> |
:<math> |
||
\begin{pmatrix} |
\begin{pmatrix} |
||
Ligne 10 : | Ligne 8 : | ||
\begin{pmatrix} |
\begin{pmatrix} |
||
E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z |
E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z |
||
\end{pmatrix}= |
|||
\begin{pmatrix} |
|||
\gamma mc \\ \gamma mv_x \\ \gamma mv_y \\ \gamma mv_z |
|||
\end{pmatrix} |
\end{pmatrix} |
||
</math> |
</math>. |
||
Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de [[référentiel inertiel]] se calculent à l'aide des [[Transformation de Lorentz|transformations de Lorentz]]. |
Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de [[référentiel inertiel]] se calculent à l'aide des [[Transformation de Lorentz|transformations de Lorentz]]. |
||
Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées <math>\ \left( p^0 ; p^1 ; p^2 ; p^3 \right)</math>, dans la [[Covariance et contravariance|base covariante]] associée, ses coordonnées sont notées <math>\ \left( p_0 ; p_1 ; p_2 ; p_3 \right)</math> et sont |
Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées <math>\ \left( p^0 ; p^1 ; p^2 ; p^3 \right)</math>, dans la [[Covariance et contravariance|base covariante]] associée, ses coordonnées sont notées <math>\ \left( p_0 ; p_1 ; p_2 ; p_3 \right)</math> et sont telles que <math>\ p_i = \eta_{ij}.p^j</math>. |
||
Le [[Carré (algèbre)|carré]] de la [[Norme (mathématiques)|pseudonorme]] du quadrivecteur conduit à la {{terme défini|relation d'Einstein}}{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.1}}, {{§|9.1.2}}|p=277}}{{,}}{{sfn|Meyer|2020|loc=leçon 7, {{sec.|1}}, {{§|1.2}}|p=91}}{{,}}{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.3}}|p=173}}{{,}}{{sfn|Vafa|2021|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.7}}|p=14}} : |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
reliant l'énergie, la masse et l'impulsion{{sfn|Vafa|2021|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.7}}|p=14}}. Lorsque la masse de la particule libre est non nulle mais que son impulsion est nulle, la relation se réduit à [[E=mc2|<math>E=mc^2</math>]]{{sfn|Vafa|2021|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.7}}|p=14}}. Lorsque la masse de la particule libre est nulle, comme c'est le cas d'un [[photon]], la relation se réduit à <math>E=pc</math>{{sfn|Pérez|2017|loc={{chap.|5}}, {{sec.|{{IV}}}}, {{§|{{IV}}.2}}|p=95}}. |
|||
La 4-impulsion est une des notions introduites par [[Hermann Minkowski]]{{sfn|Darrigol|2022|loc={{chap.|7}}, {{sec.|7.4}}|p=219}}{{,}}{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.1}}, {{§|9.1.1}}, {{n.|historique}}|p=275}}{{,}}{{sfn|Walter|2007|loc={{§|2}}|p=222}}. |
|||
⚫ | |||
== Dénominations == |
|||
⚫ | |||
La dénomination {{citation|quadrivecteur énergie-quantité de mouvement}} reste usitée{{sfn|Provost|Raffaelli|Vallée|2019|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.3}}|p=110}}. Mais, en raison notamment de sa longueur{{sfn|Le Bellac|2015|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.1}}, {{n.|2}}|p=54}}, des auteurs lui substituent celle de {{citation|quadrivecteur énergie-impulsion}}{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.3}}|p=172}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} quadrivecteur énergie-impulsion|p=609, {{col.|2}}}} ou de {{citation|quadrivecteur impulsion-énergie}}{{sfn|Barrau|Grain|2016|loc={{chap.|2}}, {{sec.|2.2}}, {{§|2.2.4}}|p=23}}. Cela est discutable car {{citation|impulsion}} devrait être réservé à {{citation|l'action d'une force pendant un court intervalle de temps}} et ainsi à {{citation|une variation de quantité de mouvement}}{{sfn|Le Bellac|2015|loc={{chap.|4}}, {{sec.|4.1}}, {{n.|2}}|p=54}}. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
Nous savions qu'en mécanique classique, la relation entre l'impulsion et la vitesse de la particule non-relativiste est la suivante : |
|||
::<math>\vec{p}=m\vec{v}</math> où <math>m</math> correspond à la masse au repos. |
|||
⚫ | Nous pouvons généraliser ce concept à quatre dimensions en introduisant la quadrivitesse. Pour une particule dotée de [[masse]] non nulle mais ayant une [[charge électrique]] nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la [[masse au repos]] <math>\ m</math> et de la [[quadrivitesse]] <math>\ u</math>. |
||
== Norme de Minkowski: p<sup>2</sup> == |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
:<math> |
:<math>p^\mu = m \, u^\mu\!</math> où <math>\mu\in\big\{0,1,2,3\big\}</math> |
||
== Norme de Minkowski : p<sup>2</sup> == |
|||
⚫ | |||
:<math>p\cdot p = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = {E^2 \over c^2} - |\vec p|^2 = m^2c^2 </math> |
|||
Puisque <math>|p|^2\!</math> est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de [[référentiel inertiel]]. |
|||
En utilisant la [[métrique de Minkowski]] : |
|||
:<math>\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} |
:<math>\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} |
||
1 & 0 & 0 & 0\\ |
1 & 0 & 0 & 0\\ |
||
Ligne 36 : | Ligne 48 : | ||
0 & 0 & -1 & 0\\ |
0 & 0 & -1 & 0\\ |
||
0 & 0 & 0 & -1 |
0 & 0 & 0 & -1 |
||
\end{pmatrix}</math> |
\end{pmatrix}</math>. |
||
Le [[tenseur métrique]] est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention <math>\eta_{\mu\nu}=(-,+,+,+)</math> au lieu de la convention <math>\eta_{\mu\nu}=(+,-,-,-)</math> adoptée dans cet article |
Le [[tenseur métrique]] est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention <math>\eta_{\mu\nu}=(-,+,+,+)</math> au lieu de la convention <math>\eta_{\mu\nu}=(+,-,-,-)</math> adoptée dans cet article{{note|groupe=N|texte=La convention de signe <math>\eta_{\mu\nu}=(+,-,-,-)</math> est présente dans {{Landau|tome 2}}, par exemple.}}. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger. |
||
== Conservation du quadri-moment == |
== Conservation du quadri-moment == |
||
La conservation du quadri-moment ''dans un référentiel donné'' |
La conservation du quadri-moment ''dans un référentiel donné''{{note|groupe=N|texte=La conservation du quadri-moment signifie que dans un référentiel donné, le quadri-moment total <math>p^\nu</math> d'un système isolé est conservé. Lorsqu'on change de référentiel, le quadri-moment subit une transformation de Lorentz : <math>p'~^\mu={\Lambda^\mu}_\nu p^\nu</math>. Le nouveau quadri-moment <math>p'~^\mu</math> est à son tour conservé dans ce nouveau référentiel, mais n'est pas égal à <math>p^\nu</math>.}} implique deux lois de conservations pour des quantités dites ''classiques'' : |
||
# La quantité totale d'[[énergie]] <math>\ E = c. p^0</math> est invariante. |
# La quantité totale d'[[énergie]] <math>\ E = c. p^0</math> est invariante. |
||
# Le [[moment linéaire]] classique tridimensionnel <math>\vec p</math> reste invariant. |
# Le [[moment linéaire]] classique tridimensionnel <math>\vec p</math> reste invariant. |
||
On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'[[énergie cinétique]]. Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev/''c'', 0, 0} et {5 Gev, -4 Gev/''c'', 0, 0} |
On notera au passage que la masse d'un [[système de particules]] peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'[[énergie cinétique]]. Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev/''c'', 0, 0} et {5 Gev, -4 Gev/''c'', 0, 0} : elles ont chacune une masse au repos de 3 Gev/''c''<sup>2</sup> mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/''c''<sup>2</sup>. Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/''c''<sup>2</sup>. |
||
Une |
Une application pratique en [[physique des particules]] de la conservation de la [[masse au repos]] permet, à partir des quadri-moments p<sup>A</sup> et p<sup>B</sup> de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne q<sub>μ</sub> = p<sup>A</sup><sub>μ</sub> + p<sup>B</sup><sub>μ</sub>, et la masse M de la particule initiale est donnée par |q|<sup>2</sup> = M<sup>2</sup>c<sup>2</sup>. En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expérimentales sur le [[boson Z]] dans les [[accélérateur de particules]]. |
||
Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la [[quadri-accélération]] correspondante A<sup>μ</sup> est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule: |
Si la masse d'un objet ne change pas, le [[produit scalaire]] de Minkowski de son quadri-moment et de la [[quadri-accélération]] correspondante A<sup>μ</sup> est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule: |
||
:<math>p_{\mu} A^{\mu} = p_{\mu} \frac{d}{dt} \frac{\eta^{\mu\nu} p_{\nu}}{m} = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} |p|^2 = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} (m^2c^2) = 0 |
:<math>p_{\mu} A^{\mu} = p_{\mu} \frac{d}{dt} \frac{\eta^{\mu\nu} p_{\nu}}{m} = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} |p|^2 = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} (m^2c^2) = 0</math>. |
||
== Moment canonique en présence d'un [[champ électromagnétique]] == |
== Moment canonique en présence d'un [[champ électromagnétique]] == |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
:<math> |
:<math> |
||
\begin{pmatrix} |
\begin{pmatrix} |
||
Ligne 65 : | Ligne 75 : | ||
\phi/c \\ A_x \\ A_y \\ A_z |
\phi/c \\ A_x \\ A_y \\ A_z |
||
\end{pmatrix} |
\end{pmatrix} |
||
</math> |
</math>. |
||
== Notes et références == |
|||
==Voir aussi== |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
==Notes== |
=== Notes === |
||
{{Références|groupe=N}} |
|||
=== Références === |
|||
{{Références |
{{Références |
||
|références= |
|références= |
||
<ref name="Elbaz">''Relativité générale et gravitation'' de Edgard Elbaz, (ellipse 1986), chapitre IV, §4</ref> |
<ref name="Elbaz">''Relativité générale et gravitation'' de Edgard Elbaz, (ellipse 1986), chapitre IV, §4</ref> |
||
<ref name="Landau">{{Landau|tome 2}}, §9</ref> |
<ref name="Landau">{{Landau|tome 2}}, §9</ref> |
||
<ref name="Smith">''Introduction à la relativité'' de James H. Smith, InterEditions (1968), ({{2e}} |
<ref name="Smith">''Introduction à la relativité'' de James H. Smith, InterEditions (1968), ({{2e|édition}} en 1979 {{ISBN|2-7296-0088-4}} rééditée par Masson : Dunod - {{3e|édition}} - 1997 {{ISBN|2-225-82985-3}}), chapitre 12</ref> |
||
<ref name="Grossetete">{{ |
<ref name="Grossetete">{{Ouvrage|prénom1=Ch.|nom1=Grossetête|titre=Relativité restreinte et structure atomique de la matière|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=1985|pages totales=320|passage=61|isbn=2-7298-8554-4}}</ref> |
||
}} |
}} |
||
== |
== Voir aussi == |
||
⚫ | * {{Ouvrage|langue= |
||
=== Bibliographie === |
|||
⚫ | |||
==== Histoire des sciences ==== |
|||
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Olivier | nom=Darrigol | lien auteur=Olivier Darrigol | titre=Relativity principles and theories from Galileo to Einstein | lieu=Oxford et New York | éditeur=[[Oxford University Press]], hors {{coll.}} | date=3/2022 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XII}}-472 | format livre={{unité|25|cm}} | isbn10=0-19-284953-0 | isbn=978-0-19-284953-3 | ean=9780192849533 | oclc=1258675513 | sudoc=256229503 | présentation en ligne=https://global.oup.com/academic/product/relativity-principles-and-theories-from-galileo-to-einstein-9780192849533 | lire en ligne={{Google Livres|id=fvtTEAAAQBAJ}} | consulté le=19 mars 2022 | libellé=Darrigol 2022}}. |
|||
* {{Chapitre | langue=en | prénom=Scott A. | nom=Walter | titre=Breaking in the four-vectors | sous-titre=the four-dimensional movement in gravitation | auteurs ouvrage=[[Jürgen Renn]] et Matthias Schemmel (éd.) | titre ouvrage=The genesis of general relativity | tome={{III}} | titre tome=Gravitation in the twilight of classical physics : between mechanics, field theory, and astronomy | lieu=Dordrecht | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | collection=Boston studies in the philosophy of science | numéro dans collection=250 | date=2/2007 | numéro d'édition=1 | pages totales=619 | format livre={{unité|25|cm}} | isbn10=1-4020-3999-9 | isbn1=978-1-4020-3999-7 | isbn2=978-94-017-8518-1 | oclc=496603813 | bnf=409910600 | doi=10.1007/978-1-4020-4000-9 | bibcode=2007ggr..conf.....R | sudoc=113837798 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4020-4000-9 | lire en ligne={{Google Livres|id=KYpU4AWwJ3UC}} | consulté le=19 mars 2022 | passage=193-252 <small>(</small>{{OCLC|108382579|nu=}}<small>, [[Digital Object Identifier|DOI]] {{lien web | description=10.1007/978-1-4020-4000-9_18 | url=https://doi.org/10.1007/978-1-4020-4000-9_18}}, {{lien web | description=résumé | url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4020-4000-9_18}})</small> | libellé=Walter 2007}}. |
|||
==== Manuels d'enseignement supérieurs ==== |
|||
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Aurélien | nom1=Barrau | prénom2=Julien | lien auteur1=Aurélien Barrau | nom2=Grain | titre=Relativité générale | lieu=Malakoff |éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences sup | date=8/2016 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|août 2011}} | pages totales={{VIII}}-231 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-074737-1 | isbn=978-2-10-074737-5 | ean=9782100747375 | oclc=958388884 | bnf=45101424p | sudoc=195038134 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-generale-cours-et-exercices-corriges-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=3erZDAAAQBAJ}} | consulté le=13 mars 2022 | libellé=Barrau et Grain 2016}}. |
|||
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Thierry | nom=Meyer | titre={{unité|51|leçons}} de l'agrégation externe de sciences physiques corrigées et commentées | lieu= Paris | éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]] | collection=Références sciences | date=1/2020 | numéro d'édition=1 | pages totales=656 | format livre={{dunité|19|24|cm}} | isbn10=2-340-03667-4 | isbn=978-2-340-03667-3 | ean=9782340036673 | oclc=1141404288 | bnf=46513072z | sudoc=24216935X | présentation en ligne=https://www.editions-ellipses.fr/accueil/374-51-lecons-de-lagregation-externe-de-sciences-physiques-corrigees-et-commentees-9782340036673.html | lire en ligne={{Google Livres|id=8WDvEAAAQBAJ}} | consulté le=5/8/2024 | libellé=Meyer 2020}}. |
|||
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=José-Philippe | nom=Pérez | champ libre=collab. Éric Anterrieu | titre=Relativité | sous-titre=fondements et applications | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]], hors {{coll.}} | date=5/2016 | réimpression={{date-|octobre 2017}} | numéro d'édition=3 | année première édition={{date-|septembre 1999}} | pages totales={{XXIII}}-439 | format livre={{dunité|17,7|24|cm}} | isbn10=2-10-074717-7 | isbn1=978-2-10-077295-7 | isbn2=978-2-10-074717-7 | ean=9782100772957 | oclc=949876980 | bnf=450330711 | sudoc=193153297 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-fondements-et-applications-avec-150-exercices-et-problemes-resolus-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=qeA3DAAAQBAJ}} | consulté le=13 mars 2022 | libellé=Pérez 2016}}. |
|||
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Jean-Pierre | nom1=Provost | prénom2=Bernard | nom2=Raffaelli | prénom3=Gérard | nom3=Vallée | titre=Mathématiques en physique | sous-titre=concepts et outils | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences sup | date=1/2019 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIV}}-366 | format livre={{dunité|17,5|25|cm}} | isbn10=2-10-079023-4 | isbn=978-2-10-079023-4 | ean=9782100790234 | oclc=1083672225 | bnf=456525979 | sudoc=233556478 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/mathematiques-en-physique-concepts-et-outils | lire en ligne={{Google Livres|id=m5yBDwAAQBAJ}} |consulté le=13 mars 2022 | libellé=Provost, Raffaelli et Vallée 2019}}. |
|||
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Claude | nom1=Semay | prénom2=Bernard | nom2=Silvestre-Brac | titre=Relativité restreinte | sous-titre=bases et application | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences sup | date=11/2021 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|octobre 2005}} | pages totales={{X}}-309 | format livre={{dunité|17|24|m}} | isbn10=2-10-082836-3 | isbn=978-2-10-082836-4 | ean=9782100828364 | oclc=1286364270 | bnf=46915115k | sudoc=258655097 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-restreinte-bases-et-applications-cours-et-exercices-corriges-1 | lire en ligne={{Google Livres|id=wmFMEAAAQBAJ}} | consulté le=14 mars 2022 | libellé=Semay et Silvestre-Brac 2021}}. |
|||
==== Ouvrages d'introduction ==== |
|||
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Éric | nom=Gourgoulhon | lien auteur=Éric Gourgoulhon | préface=[[Thibault Damour]] | titre=Relativité restreinte | sous-titre=des particules à l'astrophysique | lieu=Les Ulis et Paris | éditeur=[[EDP Sciences]] et [[CNRS Éditions|CNRS]] | collection=Savoirs actuels | série=physique | date=5/2010 | réimpression={{date-|mars 2011}} | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXVI}}-776 | format livre={{dunité|15,5|23|cm}} | isbn10=2-7598-0067-9 | isbn1=978-2-7598-0067-4 | isbn2=978-2-271-07018-0 | ean=9782759800674 | oclc=690639994 | bnf=414117131 | doi=10.1051/978-2-7598-0923-3 | sudoc=14466514X | présentation en ligne=https://laboutique.edpsciences.fr/produit/5/9782759809233/relativite-restreinte | lire en ligne={{Google Livres|id=aHCY6CaHtWsC}} | consulté le=14 mars 2022 | libellé=Gourgoulhon 2010}}. |
|||
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Michel | nom=Le Bellac | préface=[[Thibault Damour]] |titre=Les relativités | sous-titre=espace, temps, gravitation | lieu=Les Ulis | éditeur=[[EDP Sciences]] | collection=Une introduction à | date=4/2015 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIV}}-218 | format livre={{dunité|16|24|cm}} | isbn10=2-7598-1294-4 | isbn=978-2-7598-1294-3 | ean=9782759812943 | oclc=910332402 | bnf=44362603z | sudoc=185764118 | présentation en ligne=https://laboutique.edpsciences.fr/produit/791/9782759818150/les-relativites-espace-temps-gravitation | lire en ligne={{Google Livres|id=rWx3CAAAQBAJ}} | consulté le=13 mars 2022 | libellé=Le Bellac 2015}}. |
|||
* {{Ouvrage | langue=fr | langue originale=en | prénom=Cumrun | nom=Vafa | lien auteur=Cumrun Vafa | traduction=Michel Le Bellac | préface=[[Étienne Klein]] | titre=L'Univers décrypté par les énigmes | titre original=Puzzles to unravel the Universe | lieu=Les Ulis | éditeur=[[EDP Sciences]] | collection=Une introduction à | date=10/2021 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVI}}-218 | format livre={{dunité|16|24|cm}} | isbn10=2-7598-2594-9 | isbn=978-2-7598-2594-3 | ean=9782759825943 | oclc=1282197253 | bnf=46879352c | sudoc=258258314 | présentation en ligne=https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1210/9782759825950/l-univers-decrypte-par-les-enigmes | lire en ligne={{Google Livres|id=MLxIEAAAQBAJ}} | consulté le=14 mars 2022 | libellé=Vafa 2021}}. |
|||
==== Dictionnaires et encyclopédies ==== |
|||
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Richard | nom1=Taillet | prénom2=Loïc | nom2=Villain | prénom3=Pascal | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} | date=1/2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|mai 2008}} | pages totales={{X}}-956 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf=456469019 | sudoc=224228161 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | consulté le=13 mars 2022 | partie={{s.v.}} quadrivecteur énergie-impulsion | passage=609-610 | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}. |
|||
=== Articles connexes === |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
* [[Quantité de mouvement]] |
|||
⚫ | |||
* [[E=mc2]] |
|||
{{Portail| |
{{Portail|physique}} |
||
[[Catégorie:Théorie quantique des champs]] |
[[Catégorie:Théorie quantique des champs]] |
Dernière version du 5 août 2024 à 10:18
En relativité restreinte, le quadri-moment[1] (ou quadrivecteur impulsion[1] ou quadri-impulsion[2] ou quadrivecteur impulsion-énergie[3] ou quadrivecteur énergie-impulsion[4]) est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel de la physique classique sous la forme d'un quadrivecteur de l'espace de Minkowski, espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte.
Le quadri-moment d'une particule combine le moment tridimensionnel et d'énergie :
- .
Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel se calculent à l'aide des transformations de Lorentz.
Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées , dans la base covariante associée, ses coordonnées sont notées et sont telles que .
Le carré de la pseudonorme du quadrivecteur conduit à la relation d'Einstein[5],[6],[7],[8] :
- ,
reliant l'énergie, la masse et l'impulsion[8]. Lorsque la masse de la particule libre est non nulle mais que son impulsion est nulle, la relation se réduit à [8]. Lorsque la masse de la particule libre est nulle, comme c'est le cas d'un photon, la relation se réduit à [9].
La 4-impulsion est une des notions introduites par Hermann Minkowski[10],[11],[12].
Dénominations
[modifier | modifier le code]La dénomination « quadrivecteur énergie-quantité de mouvement » reste usitée[13]. Mais, en raison notamment de sa longueur[14], des auteurs lui substituent celle de « quadrivecteur énergie-impulsion »[15],[16] ou de « quadrivecteur impulsion-énergie »[17]. Cela est discutable car « impulsion » devrait être réservé à « l'action d'une force pendant un court intervalle de temps » et ainsi à « une variation de quantité de mouvement »[14].
Relation avec la quadrivitesse
[modifier | modifier le code]Nous savions qu'en mécanique classique, la relation entre l'impulsion et la vitesse de la particule non-relativiste est la suivante :
- où correspond à la masse au repos.
Nous pouvons généraliser ce concept à quatre dimensions en introduisant la quadrivitesse. Pour une particule dotée de masse non nulle mais ayant une charge électrique nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la masse au repos et de la quadrivitesse .
En coordonnées contravariantes, on a , où est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière :
- où
Norme de Minkowski : p2
[modifier | modifier le code]En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule :
Puisque est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel inertiel.
En utilisant la métrique de Minkowski :
- .
Le tenseur métrique est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention au lieu de la convention adoptée dans cet article[N 1]. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger.
Conservation du quadri-moment
[modifier | modifier le code]La conservation du quadri-moment dans un référentiel donné[N 2] implique deux lois de conservations pour des quantités dites classiques :
- La quantité totale d'énergie est invariante.
- Le moment linéaire classique tridimensionnel reste invariant.
On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique. Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} : elles ont chacune une masse au repos de 3 Gev/c2 mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/c2. Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/c2.
Une application pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments pA et pB de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne qμ = pAμ + pBμ, et la masse M de la particule initiale est donnée par |q|2 = M2c2. En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expérimentales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.
Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante Aμ est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:
- .
Moment canonique en présence d'un champ électromagnétique
[modifier | modifier le code]Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste: , qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions) :
- ,
où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique :
- .
Notes et références
[modifier | modifier le code]Notes
[modifier | modifier le code]- La convention de signe est présente dans Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], par exemple.
- La conservation du quadri-moment signifie que dans un référentiel donné, le quadri-moment total d'un système isolé est conservé. Lorsqu'on change de référentiel, le quadri-moment subit une transformation de Lorentz : . Le nouveau quadri-moment est à son tour conservé dans ce nouveau référentiel, mais n'est pas égal à .
Références
[modifier | modifier le code]- Relativité générale et gravitation de Edgard Elbaz, (ellipse 1986), chapitre IV, §4
- Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], §9
- Ch. Grossetête, Relativité restreinte et structure atomique de la matière, Paris, Ellipses, , 320 p. (ISBN 2-7298-8554-4), p. 61
- Introduction à la relativité de James H. Smith, InterEditions (1968), (2e édition en 1979 (ISBN 2-7296-0088-4) rééditée par Masson : Dunod - 3e édition - 1997 (ISBN 2-225-82985-3)), chapitre 12
- Gourgoulhon 2010, chap. 9, sec. 9.1, § 9.1.2, p. 277.
- Meyer 2020, leçon 7, sec. 1, § 1.2, p. 91.
- Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 9, sec. 9.3, p. 173.
- Vafa 2021, chap. 1er, sec. 1.7, p. 14.
- Pérez 2017, chap. 5, sec. IV, § IV.2, p. 95.
- Darrigol 2022, chap. 7, sec. 7.4, p. 219.
- Gourgoulhon 2010, chap. 9, sec. 9.1, § 9.1.1, n. historique, p. 275.
- Walter 2007, § 2, p. 222.
- Provost, Raffaelli et Vallée 2019, chap. 4, sec. 4.3, p. 110.
- Le Bellac 2015, chap. 4, sec. 4.1, n. 2, p. 54.
- Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 9, sec. 9.3, p. 172.
- Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. quadrivecteur énergie-impulsion, p. 609, col. 2.
- Barrau et Grain 2016, chap. 2, sec. 2.2, § 2.2.4, p. 23.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford, Oxford University Press, , 2e éd., poche (ISBN 978-0-19-853952-0, LCCN 90048748)
Histoire des sciences
[modifier | modifier le code]- [Darrigol 2022] (en) Olivier Darrigol, Relativity principles and theories from Galileo to Einstein, Oxford et New York, Oxford University Press, hors coll., , 1re éd., XII-472 p., 25 cm (ISBN 978-0-19-284953-3, EAN 9780192849533, OCLC 1258675513, SUDOC 256229503, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Walter 2007] (en) Scott A. Walter, « Breaking in the four-vectors : the four-dimensional movement in gravitation », dans Jürgen Renn et Matthias Schemmel (éd.), The genesis of general relativity, t. III : Gravitation in the twilight of classical physics : between mechanics, field theory, and astronomy, Dordrecht, Springer, coll. « Boston studies in the philosophy of science » (no 250), , 1re éd., 619 p., 25 cm (ISBN 978-1-4020-3999-7 et 978-94-017-8518-1, OCLC 496603813, BNF 40991060, DOI 10.1007/978-1-4020-4000-9, Bibcode 2007ggr..conf.....R, SUDOC 113837798, présentation en ligne, lire en ligne), p. 193-252 (OCLC 108382579, DOI 10.1007/978-1-4020-4000-9_18, résumé).
Manuels d'enseignement supérieurs
[modifier | modifier le code]- [Barrau et Grain 2016] Aurélien Barrau et Julien Grain, Relativité générale, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », , 2e éd. (1re éd. ), VIII-231 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Meyer 2020] Thierry Meyer, 51 leçons de l'agrégation externe de sciences physiques corrigées et commentées, Paris, Ellipses, coll. « Références sciences », , 1re éd., 656 p., 19 × 24 cm (ISBN 978-2-340-03667-3, EAN 9782340036673, OCLC 1141404288, BNF 46513072, SUDOC 24216935X, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Pérez 2016] José-Philippe Pérez (collab. Éric Anterrieu), Relativité : fondements et applications, Paris, Dunod, hors coll., (réimpr. ), 3e éd. (1re éd. ), XXIII-439 p., 17,7 × 24 cm (ISBN 978-2-10-077295-7 et 978-2-10-074717-7, EAN 9782100772957, OCLC 949876980, BNF 45033071, SUDOC 193153297, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Provost, Raffaelli et Vallée 2019] Jean-Pierre Provost, Bernard Raffaelli et Gérard Vallée, Mathématiques en physique : concepts et outils, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », , 1re éd., XIV-366 p., 17,5 × 25 cm (ISBN 978-2-10-079023-4, EAN 9782100790234, OCLC 1083672225, BNF 45652597, SUDOC 233556478, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Semay et Silvestre-Brac 2021] Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et application, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », , 4e éd. (1re éd. ), X-309 p., 17 × 24 m (ISBN 978-2-10-082836-4, EAN 9782100828364, OCLC 1286364270, BNF 46915115, SUDOC 258655097, présentation en ligne, lire en ligne).
Ouvrages d'introduction
[modifier | modifier le code]- [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon (préf. Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », (réimpr. ), 1re éd., XXVI-776 p., 15,5 × 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4 et 978-2-271-07018-0, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, BNF 41411713, DOI 10.1051/978-2-7598-0923-3, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Le Bellac 2015] Michel Le Bellac (préf. Thibault Damour), Les relativités : espace, temps, gravitation, Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », , 1re éd., XIV-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-1294-3, EAN 9782759812943, OCLC 910332402, BNF 44362603, SUDOC 185764118, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Vafa 2021] Cumrun Vafa (trad. de l'anglais par Michel Le Bellac, préf. Étienne Klein), L'Univers décrypté par les énigmes [« Puzzles to unravel the Universe »], Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », , 1re éd., XVI-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2594-3, EAN 9782759825943, OCLC 1282197253, BNF 46879352, SUDOC 258258314, présentation en ligne, lire en ligne).
Dictionnaires et encyclopédies
[modifier | modifier le code]- [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., , 4e éd. (1re éd. ), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. quadrivecteur énergie-impulsion, p. 609-610.