« Utilisateur:Jojo V/Brouillon » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Aucun résumé des modifications |
Aucun résumé des modifications |
||
| (44 versions intermédiaires par le même utilisateur non affichées) | |||
| Ligne 1 : | Ligne 1 : | ||
L''''acoustique géométrique''' est le pendant de l'[[optique géométrique]] et décrit les rayons acoustiques définis pour la propagation du son dans les fluides, pour lesquels l'onde progressive est longitudinale, à l'instar du rayon lumineux. L'adaptation au domaine acoustique a été synthétisé par [[Edward Arthur Milne|Milne]] (1921)<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Edward Arthur Milne|E. A. Milne]]|titre=Sound Waves in the Atmosphere|périodique=[[Philosophical Magazine]]|volume=6|numéro=42|pages=96-114|date=1921}}</ref>. |
|||
Les '''équations de l'acoustique''' décrivent la propagation d'une onde sonore dans un fluide dans les cas les plus généraux où sont présents les phénomènes non-linéaires, d'absorption, de dispersion, de diffusion et de [[réfraction]], ou les plus simples. |
|||
Le rayon acoustique peut être absorbé, réfléchi, réfracté et est lié à un [[front d'onde]] associé. |
|||
== Histoire == |
|||
Venant après les travaux de [[Galilée (savant)|Galilée]] et de [[Marin Mersenne|Mersenne]] (1638) sur la vibration des cordes et de [[Isaac Newton|Newton]] sur la propagation du son (1686), la première mise en équation de l'acoustique est l'[[équation des ondes]] due à [[Jean Le Rond d'Alembert|d'Alembert]] en 1747<ref name="Pierce"/>{{,}}<ref>{{site web|site=[[Persée (portail)|Persée]]|auteur= Steven B. Engelsman|titre=D'Alembert et les équations aux dérivées partielles|url=https://www.persee.fr/doc/dhs_0070-6760_1984_num_16_1_1480}}</ref>. Par la suite les travaux d'[[Leonhard Euler|Euler]] (1759) et de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] (1760) sur les ondes d'amplitude finie resteront tributaires des travaux ultérieurs de [[Siméon Denis Poisson|Poisson]] (1808), [[Gabriel Stokes|Stokes]] (1848) et [[Bernhard Riemann|Riemann]] (1860) pour la compréhension des phénomènes liés à l'apparition de discontinuités<ref>{{article|langue=en|auteur1=David T. Blackstock|auteur2=John M. Cormack|auteur3=Mark F. Hamilton|titre=Early history of nonlinear acoustics|périodique=Proceedings of Meetings on Acoustics|volume=36|numéro=1|date=2019|url=https://pubs.aip.org/asa/poma/article/36/1/045007/995580/Early-history-of-nonlinear-acoustics}}</ref>. |
|||
La notion est valide dans l'hypothèse des faibles longueurs d'onde qui permet d'assimiler localement le front d'onde à une onde plane. ''A contrario'' elle est incapable de décrire des phénomènes comme la [[diffraction]] ou la création de [[caustique]]s. |
|||
Au début du {{s-|XX}} apparaît la notion de rayon acoustique et le calcul des trajectoires associées, synthétisé par [[Edward Arthur Milne|Milne]] (1921)<ref name="Pierce"/>. |
|||
== Front d'onde et rayon acoustique == |
|||
Par la suite les efforts de modélisation sont liés à la résolution de problèmes technologiques, souvent liés au domaine militaire comme la détection aérienne (réseau de surveillance du [[Traité d'interdiction complète des essais nucléaires|TICE]]<ref>{{article|auteur1=Alexis Le Pichon|auteur2= Élisabeth Blanc|titre=À l’écoute des infrasons. Les infrasons sillonnent le globe|périodique=Acoustique & Technique|volume=67|pages=13-18|date=2012|url=https://www.bruit.fr/revues/78_13174.PDF}}</ref>) ou sous-marine (utilisation du [[sonar]]) ou bien aux mesures ultrasonores dans le domaine industriel ou médical ([[échographie]], [[lithotripsie]], [[thermothérapie]]). Le problème est de simplifier les équations constitutives, [[Équations de Navier-Stokes|Navier-Stokes]] ou [[Équations d'Euler|Euler]], pour en tirer des équations plus simples pour lesquelles il existe des solutions analytiques ou tout au moins d'un coût de résolution numérique moindre. C'est ainsi que l'on voit apparaître l'[[équation de Burgers]] (1948), celle de Westervelt (1963), l'équation KZK ([[Rem Khokhlov|Khokhlov]], [[Evgenia Zabolotskaya|Zabolotskaya]], Kuznetzov, 1971). |
|||
[[File:Propagation de rayons sonores dans l'atmosphère.jpg|thumb|Propagation d'infrasons dans l'atmosphère (angle initial <math>10,20,30,40,50</math> degrés) et front d'onde à <math>t=1000~s</math>]] |
|||
On peut définir un front d'onde lorsque la largeur du signal est négligeable devant sa courbure spatiale. La valeur locale du signal est alors réduite à son intensité moyenne. Ce front d'onde est défini par l'instant d'arrivée  <math>\tau(\mathbf{x})</math>  au point  <math>\mathbf{x}</math> . Le signal peut être décrit de manière alternative par l'ensemble des positions  <math>\mathbf{x}_r(t)</math> , chacune de ces fonctions définissant un rayon de propagation. Dans un milieu qui se déplace à la vitesse  <math>\mathbf{V}_0(\mathbf{x})</math>  le front d'onde est simplement advecté et sa vitesse est<ref name="Landau">{{ouvrage|langue=en|auteur1=[[Lev Landau|L. D. Landau]]|auteur2=[[Evgueni Lifschitz|E. M. Lifschitz]]|sous-titre=Fluid Mechanics|titre=Volume 6 of Course of Theoretical Physics|éditeur=[[Pergamon Press]]|date=1982|isbn=0-08-033933-6}}</ref>{{,}}<ref name="Whitham">{{ouvrage|langue=en|auteur=[[Gerald Whitham|G. B. Witham]]|titre=Linear and Nonlinear Waves|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|date=1974|isbn=0-471-94090-9}}</ref>{{,}}<ref name="Pierce">{{ouvrage|langue=en|auteur=[[Allan Pierce|A. D. Pierce]]|titre=Acoustics: an Introduction to Its Principles and Applications|éditeur=[[Acoustical Society of America]] Press/[[Springer Science+Business Media|Springer]]|date=1989|isbn=}}</ref> : |
|||
:<math>\mathbf{V}_r(\mathbf{x})=\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}_r}{\mathrm{d}t}=\mathbf{V}_0(\mathbf{x})+c_0(\mathbf{x})\mathbf{n}(\mathbf{x})</math> |
|||
où  <math>\mathbf{n}</math>  est la normale au front d'onde et  <math>c_0</math>  la [[vitesse du son]] dans les conditions locales. |
|||
:<math>\boldsymbol{\sigma}=\nabla \tau</math> est le vecteur lenteur (''slowness'') ou fonction eikonale défini par : |
|||
== Description du milieu == |
|||
:<math>\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{V}_r=1\quad \Leftrightarrow \quad c_0\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}=1-\mathbf{V}_r\cdot\nabla\tau=\Omega</math> |
|||
Le milieu considéré ici est un milieu fluide, pour l'essentiel l'air ou l'eau. Dans ces milieux seules les ondes longitudinales peuvent se propager ([[Mode (onde)|mode]] acoustique)<ref name="Pierce"/>. L'onde induit un écoulement du fluide irrotationnel mais pas nécessairement continu. |
|||
Compte tenu de  <math>\boldsymbol{\sigma}=(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}</math>  il vient : |
|||
Le fait que l'onde soit longitudinale permet, dans le cas d'un signal de durée finie, d'appliquer les méthodes de l'optique. Sous réserve d'une durée brève, [[Intensité et pression acoustiques#Front d'onde et rayon acoustique|la dualité front d'onde-rayon acoustique permet de donner un moyen de calculer les trajectoires sonores]]. |
|||
:<math>\boldsymbol{\sigma}=\frac{\mathbf{n}}{c_0+\mathbf{V}_r\cdot\mathbf{n}}\,,\quad \mathbf{n}=\frac{c_0\boldsymbol{\sigma}}{\Omega}</math> |
|||
 <math>|\boldsymbol{\sigma}|^{-1}=c_0+\mathbf{V}_r\cdot\mathbf{n}</math>  est la vitesse normale au front d'onde, d'où le nom de vecteur lenteur. |
|||
=== Variables === |
|||
{{article détaillé|Absorption et dispersion du son dans l'atmosphère#Notations et relations utilisées}} |
|||
On note  <math>\mathbf{x}</math>  le vecteur position,  <math>t</math>  le temps. |
|||
La seconde équation ci-dessus implique l'[[équation eikonale]] : |
|||
Le système est caractérisé par les variables pression  <math>p(\mathbf{x},t)</math> , masse volumique  <math>\rho(\mathbf{x},t)</math> , |
|||
:<math>\boldsymbol{\sigma}^2=\frac{\Omega^2}{c_0^2}</math> |
|||
température  <math>T(\mathbf{x},t)</math> , énergie volumique totale  <math>E(\mathbf{x},t)</math>  ou entropie  <math>S(\mathbf{x},t)</math>  et vitesse  <math>\mathbf{V}(\mathbf{x},t)</math> , qui obéissent aux [[équations de Navier-Stokes]] avec champ de pesanteur  <math>\mathbf{g}</math>  mais sans prise en compte d'un éventuel rayonnement. |
|||
On peut alors écrire les équations des rayons acoustiques<ref name="Pierce"/> : |
|||
Les propriétés de transport dans le milieu non perturbé par l'onde sont les [[Viscosité dynamique|viscosités dynamique]]  <math>\mu_0</math>  et [[Seconde viscosité|volumique]]  <math>\eta_0</math> , et la [[conductivité thermique]]  <math>\lambda_0</math> . Les variables thermodynamiques sont les [[capacité thermique massique|capacités thermiques massiques]] à pression constante  <math>C_{p_0}</math>  et à volume constant <math>C_{V_0}</math> . |
|||
Dans le cas d'un gaz le possible déséquilibre vibrationnel nécessite la prise en compte de l'énergie volumique vibrationnelle  <math>E_{ij}^{vib}(\mathbf{x},t)</math>  ou, de manière équivalente, de la [[température vibrationnelle]]  <math>T_{ij}^{vib}(\mathbf{x},t)</math> , i désignant la molécule et j le degré de liberté en rotation. En pratique on ne s'intéresse généralement qu'à des molécules diatomiques possédant un seul degré de liberté en rotation. |
|||
On définit l'entropie « figée » (où les degrés de liberté en vibration sont figés, dont correspondante aux degrés de liberté translation-rotation) donnée par : |
|||
:<math>S^{TR}=\frac{R}{\gamma-1}\log\left(E-\sum_ic_iE_i^{vib}\right)+R\log\left(\rho^{-1}\right)+C^{te}</math> |
|||
=== Équation d'état, vitesse du son === |
|||
Les équations d'état habituelles étant parfois insuffisantes pour décrire les phénomènes non-linéaires qui nous intéressent on utilise un [[développement de Taylor]]<ref name="Makarov1">{{article|langue=en|auteur1=S. Makarov|auteur2=M. Ochmann|titre=Nonlinear and Thermoviscous Phenomena in Acoustics, Part I|périodique=Acta Acoustica|volume=82|date=1996|pages=579-606|url=https://www.ingentaconnect.com/contentone/dav/aaua/1996/00000082/00000004/art00003?crawler=true&mimetype=application/pdf}}</ref>{{,}}<ref name="Makarov2">{{article|langue=en|auteur1=S. Makarov|auteur2=M. Ochmann|titre=Nonlinear and Thermoviscous Phenomena in Acoustics, Part II|périodique=Acta Acoustica|volume=83|date=1996|pages=197-222|url=https://www.ingentaconnect.com/content/dav/aaua/1997/00000083/00000002/art00003?crawler=true&mimetype=application/pdf}}</ref>{{,}}<ref name="Pierce">{{ouvrage|langue=en|auteur=A. D. Pierce|titre=Acoustics: an Introduction to Its Principles and Applications|éditeur=[[Acoustical Society of America]] Press/[[Springer Science+Business Media|Springer]]|date=1989|isbn=}}</ref> : |
|||
:<math>p_a=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{S,\rho_0}\rho_a+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 p}{\partial \rho^2}\right)_{S,\rho_0}\rho_a^2+...+\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{\rho,S_0} S_a+...</math> |
|||
:<math>\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{S,\rho_0}</math>  est la dérivée de  <math>p</math>  par rapport à  <math>\rho</math>  à  <math>S</math>  constant, prise en  <math>\rho=\rho_0</math> . |
|||
==== Fluide quelconque ==== |
|||
Dans le cas d'un fluide quelconque mais à entropie constante un développement de Taylor de la pression s'écrit : |
|||
:<math>p_a=A\left(\frac{\rho_a}{\rho_0}\right)+\frac{B}{2}\left(\frac{\rho_a}{\rho_0}\right)^2+...+\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{\rho,S_0}S_a+...</math> |
|||
En comparant les expressions ci-dessus on trouve les coefficients du développement : |
|||
:<math> |
:<math> |
||
\begin{ |
\begin{align} |
||
\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}_r}{\mathrm{d}t} & = \frac{c_0^2 \boldsymbol{\sigma}}{\Omega}+\mathbf{V}_0 \\ |
|||
A & = & \rho_0 c_0^2 & , & c_0^2=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{S,\rho_0} \\ |
|||
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}}{\mathrm{d}t} & = -\frac{\Omega}{c_0}\nabla c_0-\nabla(\mathbf{V}_0\cdot \boldsymbol{\sigma})+(\mathbf{V}_0 \cdot \nabla)\boldsymbol{\sigma} |
|||
B & = & \rho_0^2\left(\frac{\partial^2 p}{\partial \rho^2}\right)_{S,\rho_0} & = & 2\rho_0^2c_0^3\left(\frac{\partial c}{\partial p}\right)_{S,p_0} |
|||
\end{ |
\end{align} |
||
</math> |
</math> |
||
== Équations de conservation == |
|||
<math>A</math>  est le module élastique adiabatique et  <math>B/A</math>  est le paramètre de non-linéarité (ou paramètre de Beyer) : |
|||
=== Conservation de l'énergie === |
|||
:<math> |
|||
L'énergie volumique contenue dans le signal acoustique est la somme de l'énergie interne et de l'énergie cinétique : |
|||
\begin{array}{rcl} |
|||
:<math>E_a=\frac{1}{2}\frac{p_a^2}{\rho_0c_0^2}+\frac{1}{2}\rho_0 V_a^2</math> |
|||
où  <math>p_a</math>  est la [[pression acoustique]],  <math>V_a</math>  la vitesse acoustique et  <math>\rho_0</math>  la masse volumique du fluide au repos. |
|||
& = & 2\rho_0 c_0\left(\frac{\partial c}{\partial p}\right)_{T,p_0}+\frac{2 c_0 T_0\beta}{\rho_0 C_p}\left(\frac{\partial c}{\partial p}\right)_{p,T_0}\,,\quad \beta=-\frac{1}{\rho_0}\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_{p,T_0} |
|||
\end{array} |
|||
</math> |
|||
Pour un signal isentropique (pas de [[onde en N|discontinuité]], pas d'[[Absorption et dispersion du son dans l'atmosphère|absorption]]) cette expression se simplifie en utilisant la relation : |
|||
<math>\beta</math>  est le [[coefficient d'expansion thermique|coefficient de dilatation thermique]]. |
|||
:<math>V_a=\frac{p_a}{\rho_0c_0}\quad \Rightarrow\quad E_A=\frac{p_a^2}{\rho_0c_0^2}</math> |
|||
Directement ou par l'intermédiaire des [[équations d'Euler]] il est possible d'écrire une [[équation de conservation]]<ref name="Pierce"/> : |
|||
Pour un faible accroissement de la température  <math>T_a</math>  l'entropie vaut : |
|||
:<math> |
:<math>\frac{\partial E_a}{\partial t}+\nabla\cdot \mathbf{I}_a=0</math> |
||
où  <math>\mathbf{I}_a=p_a\mathbf{V}_a=c_0 E_a\mathbf{n}</math>  est l'[[intensité acoustique]], donc la densité surfacique de flux d'énergie. Par analogie avec l'optique on parle de '''[[vecteur de Poynting]] acoustique'''. |
|||
=== Conservation de l'énergie le long d'un rayon acoustique=== |
|||
Par ailleurs : |
|||
Pour un milieu stationnaire possédant des gradients de propriétés lentement variables (lorsque la longueur caractéristique mesurant toute variation dans le milieu est grande devant toute longueur d'onde composant le signal) il est possible d'établir une équation de conservation de l'énergie d'une onde isentropique<ref name="Pierce"/> : |
|||
:<math> |
|||
:<math>\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{E_a}{\Omega}\right)+\nabla\cdot \left(\frac{E_a\mathbf{V}_r}{\Omega}\right)=0\,,\quad E_a\mathbf{V}_r= \mathbf{I}_a+E_a\mathbf{V}_0</math> |
|||
\begin{array}{rcl} |
|||
\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{\rho,S_0} & = & -\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{S,\rho_0}\left(\frac{\partial \rho}{\partial S}\right)_{p,S_0} \\ |
|||
& = & -\frac{T_0}{C_p}\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{S,\rho_0}\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_{p,T_0} \\ |
|||
& = & \frac{A \,\beta T_0}{C_p} |
|||
\end{array} |
|||
</math> |
|||
À partir du calcul des trajectoires des rayons on peut connaître la variation de l'aire  <math>A</math>  d'un segment de tube formé par des rayons voisins. On montre alors que la quantité  <math>\frac{E_a V_r A}{\Omega}</math>  est conservée dans ce tube. Cette quantité est nommée '''invariant de Blokhintsev''' ([[Dimitri Blokhintsev]], 1946<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur=[[Dimitri Blokhintsev|D. I. Blokhintsev]]|titre=Acoustics of a Nonhomogeneous Moving Medium|éditeur=[[National Advisory Committee for Aeronautics|NACA]] Technical Memorandum 1399|date=1956|url=https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19930091111/downloads/19930091111.pdf}}</ref>). |
|||
On obtient ainsi le dernier terme du développement de la pression : |
|||
:<math>\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{\rho,S_0}S_a=A \,\beta \,T_a</math> |
|||
[[Wallace Hayes]] a généralisé ce résultat à un milieu variable en temps en 1968<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Wallace Hayes|Wallace D. Hayes]]|titre=Energy Invariant for Geometric Acoustics in a Moving Medium|périodique=[[Physics of Fluids]]|volume=11|pages=1654-1656|date=1968|doi=10.1063/1.1692175}}</ref>. |
|||
On en déduit la vitesse du son à l'ordre 1 : |
|||
:<math>c=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{S,\rho_0}^\frac{1}{2}\approx c_O\left(1+\frac{B}{2A}\frac{\rho_a}{\rho_0}\right)\approx c_O\left(1+\frac{B}{2A}\frac{p_a}{\rho_0 c_0^2}\right)</math> |
|||
== Caustique == |
|||
[[File:Création d'une caustique acoustique.jpg|thumb|<center>Création d'une caustique.</center>]] |
|||
La convergence de rayons acoustiques en un point crée une singularité : le [[Aliasing|repliement]] du front d'onde (voir figure). Une telle singularité ne peut exister. Le phénomène, entraînant localement de fortes surpressions, doit être décrit par les [[équations de l'acoustique]]. |
|||
Toutefois la géométrie du phénomène peut être trouvée simplement. Prenons l'exemple d'un front d'onde quasi-cylindrique  <math>f(x)</math>  (voir figure). Son rayon  <math>R(\alpha)</math>  a une valeur minimale  <math>R_0</math>  en  <math>\alpha=0</math> . On cherche à définir la caustique au voisinage du point  <math>x=z=0</math> . |
|||
Pour un [[gaz parfait]]  <math>\beta=\frac{1}{T}</math> et  <math>\frac{B}{A}=\gamma-1</math>, donc : |
|||
:<math>p_a= c_0^2 \rho_a+\frac{(\gamma-1)c_0^2}{2\rho_0}\rho_a^2 +...+\frac{\gamma \,p_0}{T_0}T_a+...</math> |
|||
La caustique est atteinte à l'instant  <math>t=\frac{R(\alpha)}{c_0}</math> , définissant celle-ci sous forme paramétrique<ref name="Pierce"/> : |
|||
De la même façon, pour la vitesse du son : |
|||
:<math>c\approx c_O\left(1+\frac{\gamma-1}{2\rho_0}\frac{\rho_a}{\rho_0}\right)\approx c_O\left(1+\frac{\gamma-1}{2\rho_0}\frac{p_a}{\rho_0 c_0^2}\right)</math> |
|||
et.................................... |
|||
:<math>C_p-C_V=\frac{T_0\beta^2 K}{\rho_0}\,,\quad K=\left[\frac{1}{\rho_0}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_{T,p_0}\right]^{-1}</math> |
|||
où  <math>K</math>  est module élastique isotherme. |
|||
==== Ordres de grandeur ==== |
|||
Pour les liquides le cas de l'eau est le plus répandu. Pour ce liquide à température normale  <math>B/A=5.0</math> , valeur légèrement croissante avec la température et avec la salinité et  <math>\beta=2.1\times 10^{-4}~K^{-1}</math> , valeur croissant avec la température. |
|||
Pour les gaz le cas le plus souvent traité est l'air, constitué pour l'essentiel de molécules diatomiques pour lesquelles  <math>\gamma=7/5</math> . [[Absorption et dispersion du son dans l'atmosphère#Composition de l'atmosphère|Cette affirmation est mise en défaut pour les hautes altitudes]], typiquement  <math>h>100~km</math> , pour lesquelles on observe une [[Réfraction du son par l'atmosphère|importante réfraction]]. |
|||
=== Approximation acoustique === |
|||
On se place dans le cas où le signal sonore constitue une petite perturbation : |
|||
:<math>p=p_0+p_a</math> |
|||
où  <math>p_0</math>  est la valeur de la pression en l'absence de perturbation et  <math>p_a</math>  la pression acoustique, de même pour la masse volumique, la température et la vitesse. Les valeurs non perturbées obéissent elles-même aux équations de Navier-Stokes. |
|||
Ces perturbations, pouvant être négatives, sont telles que : |
|||
:<math>\frac{|p_a|}{p_0}\sim \frac{|\rho_a|}{\rho_0}\sim \frac{|T_a|}{T_0}\sim \frac{|E_a|}{E_0}\sim {M\! a}_a</math> |
|||
<math>{M\! a}_a=\frac{|\mathbf{V}_a|}{c_0}\approx \frac{|p_a|}{\gamma p_0}</math>  est le [[nombre de Mach]] acoustique, typiquement  <math>{M\! a}_a<0.01</math> . |
|||
''A contrario'' les perturbations créées par des évènements fortement énergétiques comme les [[onde en N|ondes en N]] correspondent à des surpressions fortes, au moins dans la première partie de leur propagation, et donc à un nombre de Mach acoustique élevé. Leur traitement se fait en deux temps : un premier calcul détaillé local utilisant les équations de Navier-Stokes puis un passage à l'une des méthodes décrites ci-dessous en utilisant des conditions initiales issues du premier calcul. |
|||
== Équations de Navier-Stokes linéarisées == |
|||
On effectue un [[développement asymptotique]] en utilisant un « petit paramètre » du même ordre de grandeur que  <math>{M\! a}_a</math> <ref>{{ouvrage|auteur=Benjamin Cotté|titre=AE-01: Acoustic propagation in inhomogeneous moving media. Course notes 2019-2020|éditeur=[[ENSTA]]|url=https://perso.ensta-paris.fr/~cotte/files/Course_notes_propa_2019.pdf}}</ref> : |
|||
* Pour l'équation de continuité : |
|||
:<math> |
:<math> |
||
\begin{array}{rrcl} |
|||
{\rm ordre}~0 & (\mathbf{V}_0 \cdot \nabla)\rho_0 & = & 0 \\ |
|||
{\rm ordre}~1 & \frac{\partial\rho_a}{\partial t}+(\mathbf{V}_0\cdot\nabla)\rho_a +(\mathbf{V}_a\cdot\nabla)\rho_0 +\rho_0\nabla\cdot \mathbf{V}_a & = & 0 \\ |
|||
{\rm ordre}~2 & (\mathbf{V}_a\cdot \nabla)\rho_a+\rho_a\nabla\cdot \mathbf{V}_a & = & 0 |
|||
\end{array} |
|||
</math> |
|||
* Pour l'équation de quantité de mouvement : |
|||
:<math> |
|||
\begin{array}{rrcl} |
|||
{\rm ordre}~0 & \rho_0 (\mathbf{V}_0 \cdot \nabla)\mathbf{V}_0 & = & -\nabla p_0 + \rho_0 {\bf g} \\ |
|||
{\rm ordre}~1 & \rho_0\left[\frac{\partial\mathbf{V}_a}{\partial t}+(\mathbf{V}_0\cdot\nabla)\mathbf{V}_a + (\mathbf{V}_a\cdot\nabla)\mathbf{V}_0\right] & = & -\nabla p_a +\rho_a g+\left(\frac{4}{3}\mu_0+\eta_0\right)\nabla^2\mathbf{V}_a \\ |
|||
{\rm ordre}~2 & \rho_a\frac{\partial \mathbf{V}_a}{\partial t}+\rho_0(\mathbf{V}_a\cdot\nabla)\mathbf{V}_a+\rho_a\left[(\mathbf{V}_0\cdot\nabla)\mathbf{V}_a+\mathbf{V}_a\cdot\nabla)\mathbf{V}_0\right] & = & 0 \\ |
|||
{\rm ordre}~3 & \rho_a(\mathbf{V}_a\cdot\nabla)\mathbf{V}_a & = & 0 |
|||
\end{array} |
|||
</math> |
|||
Pour une vitesse horizontale (les vents dans l'atmosphère et les courants marins sont généralement supposés tels), des équations à l'ordre 0 la première est trivialement vérifiée et la seconde exprime l'[[équilibre hydrostatique]]. Ce point est important car il conditionne la qualité du profil des quantités indicées 0 qui, dans ce problème, sont données ''a priori''. |
|||
Le terme  <math>\frac{\rho_a}{\rho_0}\nabla p_0</math>  qui apparaît à l'ordre 1 dans l'équation de quantité de mouvement, important pour décrire les [[Onde de gravité|ondes de gravité]] de l'atmosphère, est ici négligé<ref>{{article|langue=en|auteur1=V. Ostashev|auteur2=D. Wilson|auteur3=L. Liu|auteur4=D. Aldridge|auteur5=N. Symons|auteur6=D. Marlin|titre=Equations for finite-difference, time-domain simulation of sound propagation in moving inhomogeneous media and numerical implementation|périodique=Journal of the Acoustical Society of America|volume=117|pages=503-517|date=2005}}</ref>. |
|||
* Pour l'équation de l'énergie : |
|||
:<math> |
|||
\begin{array}{rrcl} |
|||
{\rm ordre}~1 & \rho_0 \frac{\partial E_a}{\partial t} + E_0 \frac{\partial \rho_a}{\partial t}+(\rho_0 E_0+p_0) \nabla\cdot \mathbf{V}_a & = & \lambda_0 \nabla^2 \mathbf{V}_a - \rho_0 \sum_i C_{V_i}^{vib}\frac{T_a-T_{a_i}^{vib}}{\tau_i} \\ |
|||
\end{array} |
|||
</math> |
|||
* Pour l'équation de la température vibrationnelle : |
|||
:<math> |
|||
\begin{array}{rrcl} |
|||
{\rm ordre}~1 & \rho_0\frac{\partial T_{a_i}^{vib}}{\partial t}+T_0 \frac{\partial\rho_a}{\partial t}+\rho_0 T_0 \nabla\cdot \mathbf{V}_a & = & \rho_0 \frac{T_a-T_{a_i}^{vib}}{\tau_i} \\ |
|||
\end{array} |
|||
</math> |
|||
Pour cette équation on utilise pour simuler le retour à l'équilibre translation-rotation-vibration une [[loi de Landau-Teller]] avec un temps caractéristique  <math>\tau_i</math> . |
|||
* Pour l'équation de l'entropie (en lieu et place de l'équation sur l'énergie) : |
|||
:<math> |
|||
\begin{array}{rrcl} |
|||
{\rm ordre}~1 & \rho_0\frac{\partial S_a^{TR}}{\partial t} & = & \lambda_0\nabla^2\mathbf{V}_a-\frac{\rho_0}{T_0}\sum_i\frac{T_A-T_{a_i}^{vib}}{\tau_i} |
|||
\end{array} |
|||
</math> |
|||
où  <math>S_a^{fig}</math>  est l'entropie correspondante aux seuls degrés de liberté en translation et rotation. On a choisi  <math>S_0=0</math> . |
|||
== Équation pour la pression == |
|||
On suppose les phénomènes thermo-visqueux et le déséquilibre vibrationnel (dans le cas de l'air) sont négligeables. De plus le milieu est au repos et l'onde est supposée isentropique. Dans ce cas on peut établir une équation d'évolution de la pression. Par la suite on utilise la dérivée totale : |
|||
:<math>\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot\nabla</math> |
|||
Pour établir l'équation de pression on part : |
|||
* de l'équation de continuité |
|||
:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{V})=\frac{D\rho}{Dt}+\rho\nabla\cdot\mathbf{V}=0</math> |
|||
* de la variation de pression |
|||
: <math> |
|||
\begin{array}{rcl} |
\begin{array}{rcl} |
||
x & = & \alpha-R(\alpha)f'(\alpha)\left(1+f'^2\right)^{-\frac{1}{2}} \\ |
|||
z & = & f(\alpha)-R(\alpha)f'(\alpha)\left(1+f'^2\right)^{-\frac{1}{2}}-R_0 |
|||
\end{array} |
\end{array} |
||
</math> |
</math> |
||
où  <math>R(\alpha)</math>  est le [[Rayon de courbure#Rayon de courbure d'un arc plan|rayon de courbure]] : |
|||
:<math>R(\alpha)=\frac{\left(1+f'^2\right)^{-\frac{3}{2}}}{f''(\alpha)}</math> |
|||
Après développement en série et simplification on en déduit la relation explicite donnant les deux branches de la caustique : |
|||
:<math>x=\pm \left(\frac{8}{9R_0^2R_0''}\right)^\frac{1}{2}z^\frac{3}{2}</math> |
|||
où  <math>R_0''=R''(\alpha=0)</math>  |
|||
== Références == |
|||
Le milieu étant supposé isentropique cette équation se réduit à  <math>\mathrm{d}p=c^2 \mathrm{d}\rho</math> , d'où : |
|||
:<math> |
|||
\begin{array}{rcl} |
|||
\frac{Dp}{Dt} & = & \left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{S,\rho_0}\frac{D\rho}{Dt}+\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{\rho,S_0}\frac{DS}{Dt} \\ |
|||
& = & -c^2\rho\nabla\cdot\mathbf{V} |
|||
\end{array} |
|||
</math> |
|||
D'où le développement asymptotique : |
|||
:<math> |
|||
\begin{array}{rrcl} |
|||
{\rm ordre}~0 & (\mathbf{V}_0\cdot \nabla)\,p_0 & = & 0 \\ |
|||
{\rm ordre}~1 & \frac{\partial p_a}{\partial t}+(\mathbf{V}_0\cdot \nabla)\,p_a+(\mathbf{V}_a\cdot \nabla)\,p_0+\rho_0 c_0^2\,\nabla\cdot\mathbf{V}_a & = & 0 \\ |
|||
{\rm ordre}~2 & (\mathbf{V}_a\cdot \nabla)\,p_a+c_0^2\rho_a\left(1+\frac{B}{A}\right)\nabla\cdot\mathbf{V}_a & = & 0 \\ |
|||
{\rm ordre}~3 & \rho_a^2\nabla\cdot\mathbf{V}_a & = & 0 |
|||
\end{array} |
|||
</math> |
|||
== Équation des ondes == |
|||
=== En milieu homogène === |
|||
La description la plus simple concerne une onde isentropique se déplaçant dans un milieu homogène sans pertes ni dispersion. Le système s'écrit alors : |
|||
:<math> |
|||
\begin{array}{rc} |
|||
\frac{\partial \rho_a}{\partial t}+\rho_0\nabla\cdot \mathbf{V}_a & = 0 \\ |
|||
\rho_0\frac{\partial \mathbf{V}_a}{\partial t}+\nabla p_a & = 0 \\ |
|||
\frac{\partial p_a}{\partial t}+\rho_0 c_0^2 \nabla \cdot \mathbf{V}_a & = 0 |
|||
\end{array} |
|||
</math> |
|||
De la première et la troisième équations on tire la relation pression-masse volumique : |
|||
:<math>\frac{\partial p_a}{\partial t}=c_0^2\frac{\partial \rho_a}{\partial t}\quad \Rightarrow \quad p_a=c_0^2 \rho_a</math> |
|||
Cette expression correspond à l'équation d'état établie plus haut, au premier ordre. |
|||
En prenant la divergence de la seconde équation on obtient après substitution l'équation des ondes : |
|||
:<math>\frac{\partial^2 p_a}{\partial t^2}-c_0^2\nabla^2 p_a=0</math> |
|||
=== En milieu inhomogène === |
|||
Le système avec les mêmes approximations physiques que ci-dessus mais dans un milieu inhomogène au repos (mais toujours sans gravité) s'écrit : |
|||
:<math> |
|||
\begin{array}{rcl} |
|||
\frac{\partial\rho_a}{\partial t} +(\mathbf{V}_a\cdot\nabla)\rho_0 +\rho_0\nabla\cdot \mathbf{V}_a & = & 0 \\ [0.6em] |
|||
\rho_0\frac{\partial \mathbf{V}_a}{\partial t}+\nabla p_a & = & 0 \\ |
|||
\frac{\partial p_a}{\partial t}+(\mathbf{V}_a\cdot\nabla)\, p_0+\rho_0 c_0^2\nabla \cdot \mathbf{V}_a & = & 0 |
|||
\end{array} |
|||
</math> |
|||
les mêmes manipulations mènent à : |
|||
:<math>\frac{\partial^2 p_a}{\partial t^2}-c_0^2 \rho_0\nabla\cdot\left(\frac{\nabla p_a}{\rho_0}\right)=0</math> |
|||
== Équation de Burgers == |
|||
{{Article détaillé|Équation de Burgers}} |
|||
L'équation de Burgers est une équation-modèle unidimensionnelle sans réelle justification physique obtenue directement à partir de l'[[Équations de Navier-Stokes#Lois de conservation|équation de quantité de mouvement]] (non linéarisée), en négligeant le gradient de pression et en supposant une [[viscosité cinématique]]  <math>\nu_0=\frac{1}{\rho_0}\left(\frac{4}{3}\mu_0+\eta_0\right)</math>  constante : |
|||
:<math>\frac{\partial V_x}{\partial t}+V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}=\nu_0 \frac{\partial^2 V_x}{\partial x^2}</math> |
|||
Cette équation est utilisée pour l'étude des effets non-linéaires et la création de discontinuités. |
|||
== Équations paraboliques pour le système avec absorption == |
|||
On considère le système non-dispersif avec viscosité et conduction dans un milieu homogène au repos (donc sans pesanteur). En supposant la capacité thermique isobare constante il est décrit par : |
|||
:<math> |
|||
\begin{array}{rcl} |
|||
\frac{\partial \rho_a}{\partial t}+\rho_0\nabla \cdot \mathbf{V}_a & = & 0 \\ |
|||
\rho_0\frac{\partial \mathbf{V}_a}{\partial t}+\nabla p_a & = & \left(\frac{4}{3}\mu_0+\eta_0\right)\nabla^2\mathbf{V}_a \\ |
|||
\rho_0 C_{p_0}\frac{\partial T_a}{\partial t} + C_{p_0}T_0 \frac{\partial \rho_a}{\partial t}+(\rho_0 C_{p_0} T_0+p_0) \nabla\cdot \mathbf{V}_a & = & \lambda_0 \nabla^2 \mathbf{V}_a |
|||
\end{array} |
|||
</math> |
|||
On suppose de plus un écoulement irrotationnel où la vitesse dérive d'un potentiel  <math>\mathbf{V}_a=\nabla \phi</math> |
|||
On obtient l''''équation de Kuznetsov''' : |
|||
:<math> |
|||
c_0^2\nabla^2 \phi-\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=-\frac{\partial}{\partial t}\left[\left(\nabla \phi\right)^2+\frac{\mu_T}{\rho_0}\nabla^2 \phi+\frac{\gamma-1}{c_0^2}\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)^2\right] |
|||
</math> |
|||
où  <math>\mu_T</math>  est le '''coefficient d'absorption thermo-visqueuse''' donné par : |
|||
:<math>\mu_T=\frac{4}{3}\mu_0+\eta_0+(\gamma-1)\frac{\lambda_0}{C_{p_0}}</math> |
|||
== Notes et références == |
|||
=== Notes === |
|||
{{Références|group=Note}} |
|||
=== Références === |
|||
{{Références}} |
{{Références}} |
||
{{portail|physique}} |
{{portail|physique}} |
||
[[Catégorie:Acoustique]] |
|||
Version du 3 septembre 2024 à 11:11
L'acoustique géométrique est le pendant de l'optique géométrique et décrit les rayons acoustiques définis pour la propagation du son dans les fluides, pour lesquels l'onde progressive est longitudinale, à l'instar du rayon lumineux. L'adaptation au domaine acoustique a été synthétisé par Milne (1921)[1].
Le rayon acoustique peut être absorbé, réfléchi, réfracté et est lié à un front d'onde associé.
La notion est valide dans l'hypothèse des faibles longueurs d'onde qui permet d'assimiler localement le front d'onde à une onde plane. A contrario elle est incapable de décrire des phénomènes comme la diffraction ou la création de caustiques.
Front d'onde et rayon acoustique
On peut définir un front d'onde lorsque la largeur du signal est négligeable devant sa courbure spatiale. La valeur locale du signal est alors réduite à son intensité moyenne. Ce front d'onde est défini par l'instant d'arrivée au point . Le signal peut être décrit de manière alternative par l'ensemble des positions , chacune de ces fonctions définissant un rayon de propagation. Dans un milieu qui se déplace à la vitesse le front d'onde est simplement advecté et sa vitesse est[2],[3],[4] :
où est la normale au front d'onde et la vitesse du son dans les conditions locales.
- est le vecteur lenteur (slowness) ou fonction eikonale défini par :
Compte tenu de il vient :
est la vitesse normale au front d'onde, d'où le nom de vecteur lenteur.
La seconde équation ci-dessus implique l'équation eikonale :
On peut alors écrire les équations des rayons acoustiques[4] :
Équations de conservation
Conservation de l'énergie
L'énergie volumique contenue dans le signal acoustique est la somme de l'énergie interne et de l'énergie cinétique :
où est la pression acoustique, la vitesse acoustique et la masse volumique du fluide au repos.
Pour un signal isentropique (pas de discontinuité, pas d'absorption) cette expression se simplifie en utilisant la relation :
Directement ou par l'intermédiaire des équations d'Euler il est possible d'écrire une équation de conservation[4] :
où est l'intensité acoustique, donc la densité surfacique de flux d'énergie. Par analogie avec l'optique on parle de vecteur de Poynting acoustique.
Conservation de l'énergie le long d'un rayon acoustique
Pour un milieu stationnaire possédant des gradients de propriétés lentement variables (lorsque la longueur caractéristique mesurant toute variation dans le milieu est grande devant toute longueur d'onde composant le signal) il est possible d'établir une équation de conservation de l'énergie d'une onde isentropique[4] :
À partir du calcul des trajectoires des rayons on peut connaître la variation de l'aire d'un segment de tube formé par des rayons voisins. On montre alors que la quantité est conservée dans ce tube. Cette quantité est nommée invariant de Blokhintsev (Dimitri Blokhintsev, 1946[5]).
Wallace Hayes a généralisé ce résultat à un milieu variable en temps en 1968[6].
Caustique
La convergence de rayons acoustiques en un point crée une singularité : le repliement du front d'onde (voir figure). Une telle singularité ne peut exister. Le phénomène, entraînant localement de fortes surpressions, doit être décrit par les équations de l'acoustique.
Toutefois la géométrie du phénomène peut être trouvée simplement. Prenons l'exemple d'un front d'onde quasi-cylindrique (voir figure). Son rayon a une valeur minimale en . On cherche à définir la caustique au voisinage du point .
La caustique est atteinte à l'instant , définissant celle-ci sous forme paramétrique[4] :
où est le rayon de courbure :
Après développement en série et simplification on en déduit la relation explicite donnant les deux branches de la caustique :
où
Références
- (en) E. A. Milne, « Sound Waves in the Atmosphere », Philosophical Magazine, vol. 6, no 42, , p. 96-114
- (en) L. D. Landau et E. M. Lifschitz, Volume 6 of Course of Theoretical Physics : Fluid Mechanics, Pergamon Press, (ISBN 0-08-033933-6)
- (en) G. B. Witham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley & Sons, (ISBN 0-471-94090-9)
- (en) A. D. Pierce, Acoustics: an Introduction to Its Principles and Applications, Acoustical Society of America Press/Springer,
- (en) D. I. Blokhintsev, Acoustics of a Nonhomogeneous Moving Medium, NACA Technical Memorandum 1399, (lire en ligne)
- (en) Wallace D. Hayes, « Energy Invariant for Geometric Acoustics in a Moving Medium », Physics of Fluids, vol. 11, , p. 1654-1656 (DOI 10.1063/1.1692175)
