Conduction thermique

La conduction thermique est le mode de transfert de chaleur provoqué par une différence de température entre deux régions d'un même milieu ou entre deux milieux en contact sans déplacement appréciable de matière. C'est en fait l'agitation thermique qui se transmet de proche en proche, une molécule ou un atome cédant une partie de son énergie cinétique à son voisin (la vibration de l'atome se ralentit au profit de la vibration du voisin).

Loi de Fourier

Ce transfert de chaleur spontané d'une région de température élevée vers une région de température plus basse obéit à la loi dite de Fourier (établie mathématiquement par Jean-Baptiste Biot en 1804 puis expérimentalement par Fourier en 1822).

La densité de flux de chaleur est proportionnelle au gradient de température.

dans la direction (0,x) nous pouvons exprimer la variation de chaleur selon x :

$dQ_{x}=-\lambda _{x}\ {\frac {\delta T}{\delta x}}dS_{x}dt\,$

La variation de flux thermique est alors :

$d\Phi ={\frac {dQ_{x}}{dt}}=-\lambda _{x}{\frac {\delta T}{\delta x}}dS_{x}\,$

Nous pouvons en déduire la densité de flux :

$\varphi ={\frac {d\Phi }{dS_{x}}}\,$

$\varphi =-\lambda {\frac {\delta T}{\delta x}}\,$

La constante de proportionnalité λ est nommée conductivité thermique du matériau. Elle est toujours positive. Avec les unités du système international, la conductivité thermique λ s'exprime en J.m^-1.K^-1.s^-1 ou, ce qui revient au même, en W.m^-1.K^-1.

Nota : pour les définitions précises de flux et densité de flux voir l'article transfert de chaleur

Conductivité thermique

Voir l'article détaillé : Conductivité thermique.

Équation de la chaleur

Un bilan d'énergie, et l'expression de la loi de Fourier conduit à l'équation générale de conduction de la chaleur. Elle est ici donnée sous sa forme unidimensionnelle :

${\frac {\partial }{\partial x}}\left(-\lambda \,{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)+P=\rho \,c\,{\frac {\partial T}{\partial t}}$

où :

• P est l'énergie produite au sein même du matériau en W.m^-3. Elle est souvent nulle (cas des dépôts de chaleur en surface de murs, par exemple), mais l'on peut citer de nombreux cas où elle ne l'est pas ; citons parmi d'autres l'étude du transfert de chaleur par conduction au sein du combustible nucléaire, ou l'absorption de la lumière ou des micro-ondes au sein des matériaux semi-transparents...
• ρ est la masse volumique du matériau en kg.m^-3
• c est la chaleur massique du matériau en J.kg^-1.K^-1

(établissement de l'équation de conduction de la chaleur)

Au cas où P est nulle et où l'on fait de plus l'approximation que la conductivité thermique λ ne dépend pas de la position :

$-\lambda \,{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial T}{\partial x}}\right)=\rho \,c\,{\frac {\partial T}{\partial t}}$

Soit, en régime permanent (lorsque la température n'évolue plus avec le temps) :

$-\lambda \,{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial T}{\partial x}}\right)=0$

La solution de cette équation est alors :

$T=Ax+B$

où A et B sont des constantes à fixer selon les conditions aux limites

Étude de la conduction stationnaire

Le cas du mur

Mur simple

Définition

Dans le cas de cet article, un mur est milieu conducteur thermiquement limité par deux plans parallèles. Chaque plan à une température T homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le flux entrant est égale au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.

Conséquence sur la loi de Fourier

Compte tenu de la définition :

${\frac {dT}{dx}}={\rm {Constante}}\,$

L'équation de Fourier devient

$\Rightarrow d\Phi =-\lambda S{\frac {dT}{dx}}\,$

Par intégration, il est possible de déterminer le profil de température dans l'épaisseur du mur

$\int _{T}^{T_{1}}\,dT\ =-\int _{x}^{x_{1}}{\frac {\Phi }{\lambda S}}dS\,$

$T-T_{1}=-{\frac {\Phi }{\lambda S}}(x-x_{1})\,$

$\Rightarrow T=T_{1}--{\frac {\Phi }{\lambda S}}(x-x_{1})\,$

La variation de température dans un mur est donc linéaire.

Calcul du flux thermique

$\int _{T_{2}}^{T_{1}}\,dT\ =-\int _{x_{2}}^{x_{1}}{\frac {\Phi }{\lambda S}}dS\,$

$T_{2}-T_{1}=-{\frac {\Phi }{\lambda S}}(x_{2}-x_{1})\,$

$e=x_{2}-x_{1}\,$

$\Rightarrow \Phi ={\frac {\lambda S}{e}}(T_{1}-T_{2})\,$

Calcul de la densité de flux thermique

$\varphi ={\frac {\Phi }{S}}\,$

$\varphi ={\frac {\lambda }{e}}(T_{1}-T_{2})\,$

un signe - fait défaut dans l expression de T

Mur composé série

Définition

Le mur composé série est empilement de couches. Chaque matériau est homogène et limité par deux plans parallèle.

Les hypothèses sont identiques à celles du mur simple. En supplément, on considère que le contact entre chaque couche est parfait. La température en surface d'un matériau est identique sur la surface en contact du matériau suivant.

Conséquence sur la loi de Fourier

Globalement, nous avons

$T_{1}-T_{4}={\frac {e}{\lambda }}\varphi \,$

Si l'on décompose

Pour la couche A : $T_{1}-T_{2}={\frac {e_{A}}{\lambda _{A}}}\varphi \,$

pour la couche B : $T_{2}-T_{3}={\frac {e_{B}}{\lambda _{B}}}\varphi \,$

pour la couche C : $T_{3}-T_{4}={\frac {e_{A}}{\lambda _{C}}}\varphi \,$

Nota : Compte tenu des hypothèses, le flux (ou la densité de flux reste constant).

Avec :

$T_{1}-T_{4}=(T_{1}-T_{2})+(T_{2}-T_{3})+(T_{3}+T_{4})\,$

Donc

$T_{1}-T_{4}=({\frac {e_{A}}{\lambda _{A}}}+{\frac {e_{B}}{\lambda _{B}}}+{\frac {e_{C}}{\lambda _{C}}})\varphi \,$

$T_{1}-T_{4}=(R_{thA}+R_{thB}+R_{thC})\varphi \,$

les résistances thermiques s'additionnent.

Le profil des températures

Pour chaque matériau la variation de température suit une loi du type :

$T=T_{1}-{\frac {e_{X}}{\lambda _{X}}}\varphi \,$

La variation de température est donc linéaire dans l'épaisseur du matériau considéré. La pente dépend de λ (conductivité thermique) caractéristique de chaque matériau. Plus la conductivité thermique sera faible (donc plus le matériau sera isolant) plus la pente sera forte.

Analogie électrique

De la même manière que les résistances électriques en série s'additionnent, les résistances thermiques en série s'additionnent.

Mur composé parallèle

Définition

Le mur composé parallèle est empilement de couches les unes sur les autres. Chaque matériau est homogène et limité par deux plans parallèles. C'est par exemple le cas d'un mur avec une fenêtre . Les hypothèses sont identiques à celles du mur simple. En supplément, on considère que la température est uniforme en surface de chaque élément (T₁ et T₂). Soit S_A, S_B et S_C les surfaces respectives des éléments A, B et C.

Conséquence sur la loi de Fourier

Pour chaque élément, le flux s'exprime suivant la relation

$T_{1}-T_{2}={\frac {e_{X}}{\lambda _{X}S}}\Phi \,$

Avec en prenant l'analogie électrique

$R_{X}={\frac {e_{X}}{\lambda _{X}}}\,$

Nous avons donc

$\Phi _{A}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{A}}}S_{A}\,$

$\Phi _{B}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{B}}}S_{B}\,$

$\Phi _{C}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{C}}}S_{C}\,$

Le flux total est égale au flux de chaque élément

$\Phi =\Phi _{A}+\Phi _{B}+\Phi _{C}\,$

Soit S la surface totale

$S=S_{A}+S_{B}+S_{C}\,$

$\Phi =(T_{1}-T_{2})S({\frac {1}{R_{A}}}+{\frac {1}{R_{B}}}+{\frac {1}{R_{C}}})(\,$

$R={\frac {1}{R_{A}}}+{\frac {1}{R_{B}}}+{\frac {1}{R_{C}}}\,$

$\Phi =(T_{1}-T_{2})S({\frac {1}{R}})\,$

$\varphi =(T_{1}-T_{2})({\frac {1}{R}})\,$

Toujours par analogie avec les lois électriques, l'inverse de la résistance thermique est parfois appelé conductance thermique.

$C_{th}={\frac {1}{R_{th}}}={\frac {\lambda _{A}}{e_{A}}}+{\frac {\lambda _{B}}{e_{B}}}+{\frac {\lambda _{C}}{e_{C}}}\,$

Analogie électrique

Il est donc également possible de faire une analogie entre un montage électrique de résistance en série.

$I=({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}})\Delta U\,$

$\varphi =({\frac {1}{R_{th1}}}+{\frac {1}{R_{th2}}}+{\frac {1}{R_{th3}}})\Delta T\,$

Tube cylindrique

Tube simple

Définition

Dans le cas de cet article, un mur est milieu conducteur thermiquement limité par deux plans parallèles. Chaque plan à une température T homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le flux entrant est égale au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.

Le tube simple est constitué d'un seul matériau homogène. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

Si l'on considère une variation dR à l'intérieur du matériau constituant le tube, la loi de Fourier s'exprime alors :

$\Rightarrow \Phi =-\lambda S{\frac {dT}{dR}}\,$

Variation de la température dans l'épaisseur du tube

Évolution de la température dans l'épaisseur d'un tube simple avec T_intérieure<T_extérieure

Soit S la surface d'un cylindre :

$S=2\pi RL\,$

Nous pouvons écrire la loi de Fourier sous la forme :

$\Phi =-\lambda 2\pi RL{\frac {dT}{dR}}\,$

${\frac {dR}{R}}=-{\frac {2\pi \lambda LdT}{\Phi }}\,$

$\int _{R_{1}}^{R}{\frac {dR}{R}}=-{\frac {2\pi \lambda L}{\Phi }}\int _{T_{1}}^{T}dT\,$

$\ln {\frac {R}{R_{1}}}={\frac {2\pi \lambda L}{\Phi }}(T_{1}-T)\,$

La variation de température dans le matériau est donc

$\ T=T_{1}-{\frac {\Phi }{2\pi \lambda L}}\ln {\frac {R}{R_{1}}}\,$

Sur la totalité de l'épaisseur du tube, la variation est

$\ T_{1}-T_{2}={\frac {\Phi }{2\pi \lambda L}}\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}\,$

Tube concentrique

Schéma d'un tube concentrique

Le tube concentrique est constitué de tubes disposés en couches concentriques. On considère que le contact est parfait entre les tubes. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur L infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

Évolution de la température dans la première couche :

$\ T_{1}-T_{2}={\frac {\Phi }{2\pi \lambda _{A}L}}\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}\,$

Évolution de la température dans la deuxième couche :

$\ T_{2}-T_{3}={\frac {\Phi }{2\pi \lambda _{B}L}}\ln {\frac {R_{3}}{R_{2}}}\,$

Sur la totalité de l'épaisseur du tube :

$\ T_{1}-T_{3}={\frac {\Phi }{2\pi L}}\left({\frac {\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}{\lambda _{A}}}+{\frac {\ln {\frac {R_{3}}{R_{2}}}}{\lambda _{B}}}\right)\,$

La résistance thermique de la couche A

$\ R_{thA}={\frac {\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}{\lambda _{A}}}\,$

La résistance thermique de la couche B

$\ R_{thB}={\frac {\ln {\frac {R_{3}}{R_{2}}}}{\lambda _{A}}}\,$

La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme que le mur composé série :

$\ R_{thT}=R_{thA}+R_{thB}\,$