Formule de Clausius-Clapeyron

En chimie physique, et plus particulièrement en thermodynamique, la formule de Clausius-Clapeyron (ou relation de Clausius-Clapeyron, équation de Clausius-Clapeyron) est une forme simplifiée de la formule de Clapeyron permettant son intégration dans le cas d'un équilibre liquide-vapeur d'un corps pur. Elle porte le nom d'Émile Clapeyron qui établit la formule générale et la formule simplifiée en 1834 et de Rudolf Clausius qui les retrouva en 1850.

Contrairement à la formule de Clapeyron qui est valable quelles que soient les conditions de pression et température, c'est-à-dire du point triple au point critique dans le diagramme de phase du corps pur, cette relation simplifiée n'est valable que :

1. si le volume molaire du liquide est négligeable devant celui du gaz, c'est-à-dire pour un équilibre loin du point critique,
2. si le gaz se comporte comme un gaz parfait, c'est-à-dire pour un équilibre aux basses pressions.

Par intégration, selon la forme donnée à l'entropie de vaporisation et l'enthalpie de vaporisation (qui ne dépendent que de la température), elle permet d'obtenir diverses formules de la pression de vapeur saturante d'un corps pur en fonction de la température : entre autres la formule de Duperray (entropie de vaporisation constante), les formule de Rankine et équation d'Antoine (enthalpie de vaporisation constante) ou la formule de Dupré (enthalpie de vaporisation variant linéairement avec la température).

Énoncé

La formule de Clausius-Clapeyron s'écrit :

Formule de Clausius-Clapeyron : $\left({\mathrm {d} P^{\text{sat}} \over \mathrm {d} T}\right)={P^{\text{sat}}\,\Delta _{\text{vap}}H \over RT^{2}}$

ou encore :

$\left({\mathrm {d} \ln P^{\text{sat}} \over \mathrm {d} {1 \over T}}\right)=-{\Delta _{\text{vap}}H \over R}$ $\left({\mathrm {d} \ln P^{\text{sat}} \over \mathrm {d} \ln T}\right)={\Delta _{\text{vap}}S \over R}$

avec :

• $T$ la température ;
• $P^{\text{sat}}$ la pression de vapeur saturante du corps pur à $T$ ;
• $\Delta _{\text{vap}}H$ l'enthalpie de vaporisation du corps pur à $T$ ;
• $\Delta _{\text{vap}}S$ l'entropie de vaporisation du corps pur à $T$, avec $T\,\Delta _{\text{vap}}S=\Delta _{\text{vap}}H$ ;
• $R$ la constante universelle des gaz parfaits.

Démonstration

La pression de vaporisation d'un liquide pur varie en fonction de la température selon la formule de Clapeyron :

$\left({\mathrm {d} P^{\text{sat}} \over \mathrm {d} T}\right)={\Delta _{\text{vap}}H \over T\cdot \Delta _{\text{vap}}V}$

avec :

• $T$ la température de vaporisation (en kelvins, K) ;
• $P^{\text{sat}}$ la pression de vaporisation, ou pression de vapeur saturante, à la température $T$ (en pascals, Pa) ;
• $\Delta _{\text{vap}}H$ l'enthalpie de vaporisation du corps pur à la température $T$ (en joules par mole, J/mol) ;
• $\Delta _{\text{vap}}V={\bar {V}}^{\text{g}}-{\bar {V}}^{\text{l}}$ la différence des volumes molaires du corps pur respectivement dans les phases ${\text{g}}$ gazeuse et ${\text{l}}$ liquide à la température $T$ et sous la pression $P^{\text{sat}}$ (en mètres cubes par mole, m³/mol).

Si l'on est suffisamment loin du point critique du corps pur, le volume molaire du liquide est négligeable devant celui du gaz :

${\bar {V}}^{\text{l}}\ll {\bar {V}}^{\text{g}}$

$\Delta _{\text{vap}}V={\bar {V}}^{\text{g}}-{\bar {V}}^{\text{l}}\approx {\bar {V}}^{\text{g}}$

D'autre part, à des pressions de l'ordre de la pression atmosphérique le gaz peut être considéré comme parfait, aussi son volume molaire peut-il être calculé selon la loi des gaz parfaits :

${\bar {V}}^{\text{g}}={RT \over P^{\text{sat}}}$

avec $R$ la constante universelle des gaz parfaits. On obtient la formule de Clausius-Clapeyron :

Formule de Clausius-Clapeyron : $\left({\mathrm {d} P^{\text{sat}} \over \mathrm {d} T}\right)={P^{\text{sat}}\,\Delta _{\text{vap}}H \over RT^{2}}$

En considérant que :

$\mathrm {d} \ln P^{\text{sat}}={1 \over P^{\text{sat}}}\,\mathrm {d} P^{\text{sat}}$

on a :

$\left({\mathrm {d} \ln P^{\text{sat}} \over \mathrm {d} T}\right)={\Delta _{\text{vap}}H \over RT^{2}}$

Avec :

$\mathrm {d} {1 \over T}=-{1 \over T^{2}}\,\mathrm {d} T$

on peut aussi écrire :

$\left({\mathrm {d} \ln P^{\text{sat}} \over \mathrm {d} {1 \over T}}\right)=-{\Delta _{\text{vap}}H \over R}$

ou avec :

$\mathrm {d} \ln T={1 \over T}\,\mathrm {d} T$

$T\,\Delta _{\text{vap}}S=\Delta _{\text{vap}}H$

on peut aussi écrire :

$\left({\mathrm {d} \ln P^{\text{sat}} \over \mathrm {d} \ln T}\right)={\Delta _{\text{vap}}S \over R}$

Intégration

Selon l'entropie

On intègre la formule impliquant l'entropie de vaporisation (pour mémoire, une entropie de changement d'état ne dépend que de la température) avec un point d'ébullition de référence $\left(P^{\circ },T^{\circ }\right)$ :

$\int _{P^{\circ }}^{P^{\text{sat}}}\,\mathrm {d} \ln P=\int _{T^{\circ }}^{T}{\Delta _{\text{vap}}S \over R}\,\mathrm {d} \ln T$

En considérant l'entropie de vaporisation comme constante :

$\ln \left({P^{\text{sat}} \over P^{\circ }}\right)={\Delta _{\text{vap}}S \over R}\,\ln \left({T \over T^{\circ }}\right)$

on obtient une formule similaire à la formule de Duperray :

Formule de Duperray : ${P^{\text{sat}} \over P^{\circ }}=\left({T \over T^{\circ }}\right)^{\Delta _{\text{vap}}S \over R}$

Selon l'enthalpie

Figure 1 - Enthalpies de vaporisation de l'eau, du méthanol, du benzène et de l'acétone en fonction de la température.

On intègre la formule impliquant l'enthalpie de vaporisation (pour mémoire, une enthalpie de changement d'état ne dépend que de la température) avec un point d'ébullition de référence $\left(P^{\circ },T^{\circ }\right)$ :

$\int _{P^{\circ }}^{P^{\text{sat}}}\,\mathrm {d} \ln P=\int _{T^{\circ }}^{T}{\Delta _{\text{vap}}H \over RT^{2}}\,\mathrm {d} T$

En supposant que l'enthalpie de vaporisation est de la forme :

$\Delta _{\text{vap}}H=\alpha +\beta T+\gamma T^{2}+\delta T^{\varepsilon }$

avec $\varepsilon$ un paramètre d'ajustement pouvant être un nombre non entier, voire un nombre négatif, les bases de données comme la base DIPPR de l'AIChE donnent une équation d'Antoine étendue à sept constantes :

Équation d'Antoine étendue : $\ln P^{\text{sat}}=A+{B \over T+C}+D\,\ln T+ET+FT^{G}$

avec :

$A=\ln P^{\circ }-{B \over T^{\circ }}-D\,\ln T^{\circ }-ET^{\circ }-F{T^{\circ }}^{G}$

$B=-{\alpha \over R}$

$D={\beta \over R}$

$E={\gamma \over R}$

$F={\delta \over R\cdot \left(\varepsilon -1\right)}$

$G=\varepsilon -1$

La constante $C$ est introduite à postériori pour ajuster plus précisément la corrélation à des données expérimentales. Dans la pratique, les sept constantes sont toutes déterminées sur base de données expérimentales, notamment afin d'appliquer cette équation sur toute l'étendue de la courbe d'équilibre liquide-vapeur, du point triple au point critique, malgré les hypothèses simplificatrices prises pour l'établir.

On remarque qu'en prenant $\alpha =\gamma =\delta =0$ et $\beta =\Delta _{\text{vap}}S$ on retrouve la formule de Duperray.

Si l'on considère l'enthalpie de vaporisation comme une constante, $\Delta _{\text{vap}}H=\alpha$, on obtient la formule de Rankine :

Formule de Rankine : $\ln P^{\text{sat}}=A+{B \over T}$

soit, de façon explicite :

Formule de Rankine : $\ln \!\left({P^{\text{sat}} \over P^{\circ }}\right)=-{\Delta _{\text{vap}}H \over R}\cdot \left({1 \over T}-{1 \over T^{\circ }}\right)$

En introduisant une troisième constante $C$ on obtient l'équation d'Antoine :

Équation d'Antoine : $\ln P^{\text{sat}}=A+{B \over T+C}$

Aux basses températures on peut approximativement considérer que l'enthalpie de vaporisation varie selon une droite de pente négative (voir figure 1), soit $\Delta _{\text{vap}}H=\alpha +\beta T$ avec $\alpha >0$ et $\beta <0$, on obtient la formule de Dupré :

Formule de Dupré : $\ln P^{\text{sat}}=A+{B \over T}+D\,\ln T$

L'enthalpie de vaporisation devant avoir une tangente verticale au point critique (voir figure 1), comportement qui ne peut être qu'approché par une forme polynomiale, la formule de Riedel se base sur les paramètres $\gamma =0$, $\delta <0$ et $\varepsilon =7$, soit $\Delta _{\text{vap}}H=\alpha +\beta T+\delta T^{7}$, ce qui induit :

Formule de Riedel : $\ln P^{\text{sat}}=A+{B \over T}+D\,\ln T+FT^{6}$

Riedel donne des corrélations permettant de déterminer les paramètres $A$, $B$, $D$ et $F$ à partir des coordonnées du point critique, du point d'ébullition standard ou du facteur acentrique du corps pur.

Voir aussi

Bibliographie

• Jean-Pierre Corriou, « Thermodynamique chimique - Définitions et relations fondamentales », Techniques de l'ingénieur, base documentaire : Thermodynamique et cinétique chimique, pack : Opérations unitaires. Génie de la réaction chimique, univers : Procédés chimie - bio - agro, J 1025, p. 11, 1984.
• Jean Vidal, Thermodynamique : application au génie chimique et à l'industrie pétrolière, Paris, Éditions Technip, coll. « Publications de l'Institut français du pétrole. », 1997, 500 p. (ISBN 978-2-710-80715-5, OCLC 300489419, lire en ligne), p. 38-39.

Articles connexes

• Diagramme de Cox-Othmer
• Diagramme de Dühring
• Équation d'Antoine
• Formule de Clapeyron
• Formule de Duperray
• Formule de Dupré
• Pression de vapeur saturante