Utilisateur:Jojo V/Brouillon

Les équations de l'acoustique décrivent la propagation d'une onde sonore dans un fluide dans les cas les plus généraux où sont présents les phénomènes non-linéaires, d'absorption, de dispersion, de diffusion et de réfraction, ou les plus simples.

Histoire

Venant après les travaux de Galilée et de Mersenne (1638) sur la vibration des cordes et de Newton sur la propagation du son (1686), la première mise en équation de l'acoustique est l'équation des ondes due à d'Alembert en 1747. Par la suite les travaux d'Euler (1759) et de Lagrange (1760) sur les ondes d'amplitude finie resteront tributaires des travaux ultérieurs de Poisson (1808), Stokes (1848) et Riemann (1860) pour la compréhension des phénomènes liés à l'apparition de discontinuités.

Au début du XX^e siècle apparaît la notion de rayon acoustique et le calcul des trajectoires associées, synthétisé par Milne (1921).

Par la suite les efforts de modélisation sont liés à la résolution de problèmes technologiques, souvent liés au domaine militaire comme la détection aérienne (réseau de surveillance du TICE) ou sous-marine (utilisation du sonar) ou bien aux mesures ultrasonores dans le domaine industriel ou médical (échographie). Le problème est de simplifier les équations constitutives, Navier-Stokes ou Euler, pour en tirer des équations plus simples pour lesquelles il existe des solutions analytiques ou tout au moins d'un coût de résolution numérique moindre. C'est ainsi que l'on voit apparaître l'équation de Burgers (1948), celle de Westervelt (1963), l'équation KZK (Khokhlov, Zabolotskaya, Kuznetzov, 1971).

Description du milieu

Le milieu considéré ici est un milieu fluide, pour l'essentiel l'air ou l'eau. Dans ces milieux seules les ondes longitudinales peuvent se propager (mode acoustique). L'onde induit un écoulement du fluide irrotationnel mais pas nécessairement continu.

Le fait que l'onde soit longitudinale permet, dans le cas d'un signal de durée finie, d'appliquer les méthodes de l'optique. Sous réserve d'une durée brève, la dualité front d'onde-rayon acoustique permet de donner un moyen de calculer les trajectoires sonores.

Variables

On note  $\mathbf {x}$  le vecteur position,  $t$  le temps.

Le système est caractérisé par les variables pression  $p(\mathbf {x} ,t)$ , masse volumique  $\rho (\mathbf {x} ,t)$ , température  $T(\mathbf {x} ,t)$ , énergie volumique totale  $E(\mathbf {x} ,t)$  ou entropie  $S(\mathbf {x} ,t)$  et vitesse  $\mathbf {V} (\mathbf {x} ,t)$ , qui obéissent aux équations de Navier-Stokes avec champ de pesanteur  $\mathbf {g}$  mais sans prise en compte d'un éventuel rayonnement.

Les propriétés de transport dans le milieu non perturbé par l'onde sont les viscosités dynamique  $\mu _{0}$  et volumique  $\eta _{0}$ , et la conductivité thermique  $\lambda _{0}$ . Les variables thermodynamiques sont les capacités thermiques massiques à pression constante  $C_{p_{0}}$  et à volume constant $C_{V_{0}}$ .

Dans le cas d'un gaz le possible déséquilibre vibrationnel nécessite la prise en compte de l'énergie volumique vibrationnelle  $E_{ij}^{vib}(\mathbf {x} ,t)$  ou, de manière équivalente, de la température vibrationnelle  $T_{ij}^{vib}(\mathbf {x} ,t)$ , i désignant la molécule et j le degré de liberté en rotation. En pratique on ne s'intéresse généralement qu'à des molécules diatomiques possédant un seul degré de liberté en rotation.

On définit l'entropie « figée » (où les degrés de liberté en vibration sont figés, dont correspondante aux degrés de liberté translation-rotation) donnée par :

$S^{TR}={\frac {R}{\gamma -1}}\log \left(E-\sum _{i}c_{i}E_{i}^{vib}\right)+R\log \left(\rho ^{-1}\right)+C^{te}$

Équation d'état, vitesse du son

Les équations d'état habituelles étant parfois insuffisantes pour décrire les phénomènes non-linéaires qui nous intéressent on utilise un développement de Taylor :

$p_{a}=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{S,\rho _{0}}\rho _{a}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}p}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{S,\rho _{0}}\rho _{a}^{2}+...+\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{\rho ,S_{0}}S_{a}+...$

$\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{S,\rho _{0}}$  est la dérivée de  $p$  par rapport à  $\rho$  à  $S$  constant, prise en  $\rho =\rho _{0}$ .

Fluide quelconque

Dans le cas d'un fluide quelconque mais à entropie constante un développement de Taylor de la pression s'écrit  :

$p_{a}=A\left({\frac {\rho _{a}}{\rho _{0}}}\right)+{\frac {B}{2}}\left({\frac {\rho _{a}}{\rho _{0}}}\right)^{2}+...+\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{\rho ,S_{0}}S_{a}+...$

En comparant les expressions ci-dessus on trouve les coefficients du développement :

${\begin{array}{rcll}A&=&\rho _{0}c_{0}^{2}&,&c_{0}^{2}=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{S,\rho _{0}}\\B&=&\rho _{0}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}p}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{S,\rho _{0}}&=&2\rho _{0}^{2}c_{0}^{3}\left({\frac {\partial c}{\partial p}}\right)_{S,p_{0}}\end{array}}$

$A$  est le module élastique adiabatique et  $B/A$  est le paramètre de non-linéarité (ou paramètre de Beyer) :

${\begin{array}{rcl}{\frac {B}{A}}&=&{\frac {\rho _{0}}{c_{0}^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}p}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{S,\rho _{0}}=2\rho _{0}c_{0}\left({\frac {\partial c}{\partial p}}\right)_{S,p_{0}}\\&=&2\rho _{0}c_{0}\left({\frac {\partial c}{\partial p}}\right)_{T,p_{0}}+{\frac {2c_{0}T_{0}\beta }{\rho _{0}C_{p}}}\left({\frac {\partial c}{\partial p}}\right)_{p,T_{0}}\,,\quad \beta =-{\frac {1}{\rho _{0}}}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p,T_{0}}\end{array}}$

$\beta$  est le coefficient de dilatation thermique.

Pour un faible accroissement de la température  $T_{a}$  l'entropie vaut :

$S_{a}={\frac {C_{p}}{T_{0}}}T_{a}$

Par ailleurs :

${\begin{array}{rcl}\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{\rho ,S_{0}}&=&-\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{S,\rho _{0}}\left({\frac {\partial \rho }{\partial S}}\right)_{p,S_{0}}\\&=&-{\frac {T_{0}}{C_{p}}}\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{S,\rho _{0}}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p,T_{0}}\\&=&{\frac {A\,\beta T_{0}}{C_{p}}}\end{array}}$

On obtient ainsi le dernier terme du développement de la pression :

$\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{\rho ,S_{0}}S_{a}=A\,\beta \,T_{a}$

On en déduit la vitesse du son à l'ordre 1 :

$c=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{S,\rho _{0}}^{\frac {1}{2}}\approx c_{O}\left(1+{\frac {B\rho _{a}}{2A\rho _{0}}}\right)$

Gaz parfait

Pour un gaz parfait  $\beta ={\frac {1}{T}}$ et  ${\frac {B}{A}}=\gamma -1$, donc :

$p_{a}=c_{0}^{2}\rho _{a}+{\frac {(\gamma -1)c_{0}^{2}}{2\rho _{0}}}\rho _{a}^{2}+...+{\frac {\gamma \,p_{0}}{T_{0}}}T_{a}+...$

De la même façon, pour la vitesse du son :

$c\approx c_{O}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2\rho _{0}}}\rho _{a}\right)$

et....................................

$C_{p}-C_{V}={\frac {T_{0}\beta ^{2}K}{\rho _{0}}}\,,\quad K=\left[{\frac {1}{\rho _{0}}}\left({\frac {\partial \rho }{\partial p}}\right)_{T,p_{0}}\right]^{-1}$

où  $K$  est module élastique isotherme.

Ordres de grandeur

Pour les liquides le cas de l'eau est le plus répandu. Pour ce liquide à température normale  $B/A=5.0$ , valeur légèrement croissante avec la température et avec la salinité et  $\beta =2.1\times 10^{-4}~K^{-1}$ , valeur croissant avec la température.

Pour les gaz le cas le plus souvent traité est l'air, constitué pour l'essentiel de molécules diatomiques pour lesquelles  $\gamma =7/5$ . Cette affirmation est mise en défaut pour les hautes altitudes, typiquement  $h>100~km$ , pour lesquelles on observe une importante réfraction.

Approximation acoustique

On se place dans le cas où le signal sonore constitue une petite perturbation :

$p=p_{0}+p_{a}$

où  $p_{0}$  est la valeur de la pression en l'absence de perturbation et  $p_{a}$  la pression acoustique, de même pour la masse volumique, la température et la vitesse. Les valeurs non perturbées obéissent elles-même aux équations de Navier-Stokes. Ces perturbations, pouvant être négatives, sont telles que :

${\frac {|p_{a}|}{p_{0}}}\sim {\frac {|\rho _{a}|}{\rho _{0}}}\sim {\frac {|T_{a}|}{T_{0}}}\sim {\frac {|E_{a}|}{E_{0}}}\sim {M\!a}_{a}$

${M\!a}_{a}={\frac {|\mathbf {V} _{a}|}{c_{0}}}\approx {\frac {|p_{a}|}{\gamma p_{0}}}$  est le nombre de Mach acoustique, typiquement  ${M\!a}_{a}<0.01$ .

A contrario les perturbations créées par des évènements fortement énergétiques comme les ondes en N correspondent à des surpressions fortes, au moins dans la première partie de leur propagation, et donc à un nombre de Mach acoustique élevé. Leur traitement se fait en deux temps : un premier calcul détaillé local utilisant les équations de Navier-Stokes puis un passage à l'une des méthodes décrites ci-dessous en utilisant des conditions initiales issues du premier calcul.

Équations de Navier-Stokes linéarisées

On effectue un développement asymptotique en utilisant un « petit paramètre » du même ordre de grandeur que  ${M\!a}_{a}$  :

• Pour l'équation de continuité :

${\begin{array}{rrcl}{\rm {ordre}}~0&(\mathbf {V} _{0}\cdot \nabla )\rho _{0}&=&0\\{\rm {ordre}}~1&{\frac {\partial \rho _{a}}{\partial t}}+(\mathbf {V} _{0}\cdot \nabla )\rho _{a}+(\mathbf {V} _{a}\cdot \nabla )\rho _{0}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=&0\\{\rm {ordre}}~2&(\mathbf {V} _{a}\cdot \nabla )\rho _{a}+\rho _{a}\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=&0\end{array}}$

• Pour l'équation de quantité de mouvement :

${\begin{array}{rrcl}{\rm {ordre}}~0&\rho _{0}(\mathbf {V} _{0}\cdot \nabla )\mathbf {V} _{0}&=&-\nabla p_{0}+\rho _{0}{\bf {g}}\\{\rm {ordre}}~1&\rho _{0}\left[{\frac {\partial \mathbf {V} _{a}}{\partial t}}+(\mathbf {V} _{0}\cdot \nabla )\mathbf {V} _{a}+(\mathbf {V} _{a}\cdot \nabla )\mathbf {V} _{0}\right]&=&-\nabla p_{a}+\rho _{a}g+\left({\frac {4}{3}}\mu _{0}+\eta _{0}\right)\nabla ^{2}\mathbf {V} _{a}\\{\rm {ordre}}~2&\rho _{a}{\frac {\partial \mathbf {V} _{a}}{\partial t}}+\rho _{0}(\mathbf {V} _{a}\cdot \nabla )\mathbf {V} _{a}+\rho _{a}\left[(\mathbf {V} _{0}\cdot \nabla )\mathbf {V} _{a}+\mathbf {V} _{a}\cdot \nabla )\mathbf {V} _{0}\right]&=&0\\{\rm {ordre}}~3&\rho _{a}(\mathbf {V} _{a}\cdot \nabla )\mathbf {V} _{a}&=&0\end{array}}$

Pour une vitesse horizontale (les vents dans l'atmosphère et les courants marins sont généralement supposés tels), des équations à l'ordre 0 la première est trivialement vérifiée et la seconde exprime l'équilibre hydrostatique. Ce point est important car il conditionne la qualité du profil des quantités indicées 0 qui, dans ce problème, sont données a priori.

Le terme  ${\frac {\rho _{a}}{\rho _{0}}}\nabla p_{0}$  qui apparaît à l'ordre 1 dans l'équation de quantité de mouvement, important pour décrire les ondes de gravité de l'atmosphère, est ici négligé.

• Pour l'équation de l'énergie :

${\begin{array}{rrcl}{\rm {ordre}}~1&\rho _{0}{\frac {\partial E_{a}}{\partial t}}+E_{0}{\frac {\partial \rho _{a}}{\partial t}}+(\rho _{0}E_{0}+p_{0})\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=&\lambda _{0}\nabla ^{2}\mathbf {V} _{a}-\rho _{0}\sum _{i}C_{V_{i}}^{vib}{\frac {T_{a}-T_{a_{i}}^{vib}}{\tau _{i}}}\\\end{array}}$

• Pour l'équation de la température vibrationnelle :

${\begin{array}{rrcl}{\rm {ordre}}~1&\rho _{0}{\frac {\partial T_{a_{i}}^{vib}}{\partial t}}+T_{0}{\frac {\partial \rho _{a}}{\partial t}}+\rho _{0}T_{0}\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=&\rho _{0}{\frac {T_{a}-T_{a_{i}}^{vib}}{\tau _{i}}}\\\end{array}}$

Pour cette équation on utilise pour simuler le retour à l'équilibre translation-rotation-vibration une loi de Landau-Teller avec un temps caractéristique  $\tau _{i}$ .

• Pour l'équation de l'entropie (en lieu et place de l'équation sur l'énergie) :

${\begin{array}{rrcl}{\rm {ordre}}~1&\rho _{0}{\frac {\partial S_{a}^{TR}}{\partial t}}&=&\lambda _{0}\nabla ^{2}\mathbf {V} _{a}-{\frac {\rho _{0}}{T_{0}}}\sum _{i}{\frac {T_{A}-T_{a_{i}}^{vib}}{\tau _{i}}}\end{array}}$

où  $S_{a}^{fig}$  est l'entropie correspondante aux seuls degrés de liberté en translation et rotation. On a choisi  $S_{0}=0$ .

Équation pour la pression

On suppose les phénomènes thermo-visqueux et le déséquilibre vibrationnel (dans le cas de l'air) sont négligeables. De plus le milieu est au repos et l'onde est supposée isentropique. Dans ce cas on peut établir une équation d'évolution de la pression. Par la suite on utilise la dérivée totale :

${\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \nabla$

Pour établir l'équation de pression on part :

• de l'équation de continuité

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {V} )={\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {V} =0$

• de la variation de pression

${\begin{array}{rcl}\mathrm {d} p&=&\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{S,\rho _{0}}\mathrm {d} \rho +\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{\rho ,S_{0}}\mathrm {d} S\\&=&c^{2}\mathrm {d} \rho +{\frac {p}{C_{V}}}\mathrm {d} S\end{array}}$

Le milieu étant supposé isentropique cette équation se réduit à  $\mathrm {d} p=c^{2}\mathrm {d} \rho$ , d'où :

${\begin{array}{rcl}{\frac {Dp}{Dt}}&=&\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{S,\rho _{0}}{\frac {D\rho }{Dt}}+\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{\rho ,S_{0}}{\frac {DS}{Dt}}\\&=&-c^{2}\rho \nabla \cdot \mathbf {V} \end{array}}$

D'où le développement asymptotique :

${\begin{array}{rrcl}{\rm {ordre}}~0&(\mathbf {V} _{0}\cdot \nabla )\,p_{0}&=&0\\{\rm {ordre}}~1&{\frac {\partial p_{a}}{\partial t}}+(\mathbf {V} _{0}\cdot \nabla )\,p_{a}+(\mathbf {V} _{a}\cdot \nabla )\,p_{0}+\rho _{0}c_{0}^{2}\,\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=&0\\{\rm {ordre}}~2&(\mathbf {V} _{a}\cdot \nabla )\,p_{a}+c_{0}^{2}\rho _{a}\left(1+{\frac {B}{A}}\right)\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=&0\\{\rm {ordre}}~3&\rho _{a}^{2}\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=&0\end{array}}$

Équation des ondes

En milieu homogène

La description la plus simple concerne une onde isentropique se déplaçant dans un milieu homogène sans pertes ni dispersion. Le système s'écrit alors :

${\begin{array}{rc}{\frac {\partial \rho _{a}}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=0\\\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {V} _{a}}{\partial t}}+\nabla p_{a}&=0\\{\frac {\partial p_{a}}{\partial t}}+\rho _{0}c_{0}^{2}\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=0\end{array}}$

De la première et la troisième équations on tire la relation pression-masse volumique :

${\frac {\partial p_{a}}{\partial t}}=c_{0}^{2}{\frac {\partial \rho _{a}}{\partial t}}\quad \Rightarrow \quad p_{a}=c_{0}^{2}\rho _{a}$

Cette expression correspond à l'équation d'état établie plus haut, au premier ordre.

En prenant la divergence de la seconde équation on obtient après substitution l'équation des ondes :

${\frac {\partial ^{2}p_{a}}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}p_{a}=0$

En milieu inhomogène

Le système avec les mêmes approximations physiques que ci-dessus mais dans un milieu inhomogène au repos (mais toujours sans gravité) s'écrit :

${\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \rho _{a}}{\partial t}}+(\mathbf {V} _{a}\cdot \nabla )\rho _{0}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=&0\\[0.6em]\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {V} _{a}}{\partial t}}+\nabla p_{a}&=&0\\{\frac {\partial p_{a}}{\partial t}}+(\mathbf {V} _{a}\cdot \nabla )\,p_{0}+\rho _{0}c_{0}^{2}\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=&0\end{array}}$

les mêmes manipulations mènent à :

${\frac {\partial ^{2}p_{a}}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\rho _{0}\nabla \cdot \left({\frac {\nabla p_{a}}{\rho _{0}}}\right)=0$

Équation de Burgers

L'équation de Burgers est une équation-modèle unidimensionnelle sans réelle justification physique obtenue directement à partir de l'équation de quantité de mouvement (non linéarisée), en négligeant le gradient de pression et en supposant une viscosité cinématique  $\nu _{0}={\frac {1}{\rho _{0}}}\left({\frac {4}{3}}\mu _{0}+\eta _{0}\right)$  constante :

${\frac {\partial V_{x}}{\partial t}}+V_{x}{\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}=\nu _{0}{\frac {\partial ^{2}V_{x}}{\partial x^{2}}}$

Cette équation est utilisée pour l'étude des effets non-linéaires.

Équations paraboliques pour le système avec absorption

On considère le système non-dispersif avec viscosité dans un milieu homogène au repos (donc sans pesanteur). En supposant la capacité thermique isobare constante il est décrit par :

${\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \rho _{a}}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=&0\\\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {V} _{a}}{\partial t}}+\nabla p_{a}&=&\left({\frac {4}{3}}\mu _{0}+\eta _{0}\right)\nabla ^{2}\mathbf {V} _{a}\\\rho _{0}C_{p_{0}}{\frac {\partial T_{a}}{\partial t}}+C_{p_{0}}T_{0}{\frac {\partial \rho _{a}}{\partial t}}+(\rho _{0}C_{p_{0}}T_{0}+p_{0})\nabla \cdot \mathbf {V} _{a}&=&\lambda _{0}\nabla ^{2}\mathbf {V} _{a}\end{array}}$

On suppose de plus un écoulement irrotationnel où la vitesse dérive d'un potentiel  $\mathbf {V} _{a}=\nabla \phi$

On obtient l'équation de Kuznetsov :

$c_{0}^{2}\nabla ^{2}\phi -{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\left(\nabla \phi \right)^{2}+{\frac {\mu _{T}}{\rho _{0}}}\nabla ^{2}\phi +{\frac {\gamma -1}{c_{0}^{2}}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}\right]$

où  $\mu _{T}$  est le coefficient d'absorption thermo-visqueuse donné par :

$\mu _{T}={\frac {4}{3}}\mu _{0}+\eta _{0}+(\gamma -1){\frac {\lambda _{0}}{C_{p_{0}}}}$