Modèle d'Einstein

En thermodynamique et en physique du solide, le modèle d’Einstein est un modèle permettant de décrire la contribution des vibrations du réseau à la capacité calorifique d’un solide cristallin. Il est basé sur les hypothèses suivantes :

• chaque atome de la structure est un oscillateur harmonique quantique 3D,
• les atomes vibrent à la même fréquence, contrairement au modèle de Debye.

Ce modèle est nommé d’après Albert Einstein, qui l'a proposé en 1907.

Énergie interne

Les vibrations du réseau cristallin sont quantifiées, c’est-à-dire que les énergies de chaque mode normal de vibration ne peuvent prendre que des valeurs discrètes $\hbar \omega _{E}$. Ce modèle repose donc sur la dualité onde-particule des phonons et sur le fait que les 3N oscillateurs harmoniques vibrent à la même fréquence, de manière isotrope.

L’énergie interne U du solide est donnée par la formule :

$U={\frac {3N\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}$

où $\hbar$ est la constante de Planck réduite, $\omega _{E}$ est la pulsation d’un oscillateur, N le nombre d’atomes qui constituent le système et $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ où k_B est la constante de Boltzmann et T la température absolue.

Démonstration de la formule de l’énergie interne

L’énergie d’un oscillateur harmonique à une dimension vibrant à la fréquence $\hbar \omega _{E}$ est donnée par :

$E_{n}=\hbar \omega _{E}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(n\geq 0)$

où $n$ est un nombre quantique

On calcule la fonction de partition d’un oscillateur harmonique quantique qui est donnée par la relation :

$Z=\sum _{j}e^{-\beta E_{n}}=\sum _{j}e^{-\beta (n+{\frac {1}{2}})\hbar \omega _{E}}\;\;\left({\text{avec }}\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}\right)$

où k_B est la constante de Boltzmann, T la température absolue et j est un état de l’oscillateur. Il y a un seul état par niveau d’énergie ; la somme devient donc :

$Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\beta n\hbar \omega _{E}-\beta {\frac {1}{2}}\hbar \omega _{E}}=e^{-{\frac {\beta \hbar \omega _{E}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(e^{-\beta \hbar \omega _{E}})^{n}$

En appliquant la formule de la somme d’une suite géométrique, on simplifie la fonction de partition :

$Z=e^{-{\frac {\beta \hbar \omega _{E}}{2}}}\cdot {\frac {1}{1-e^{-\beta \hbar \omega _{E}}}}$

On obtient alors l’énergie d’un oscillateur :

${\bar {\epsilon }}=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}$

avec $\ln Z=-{\frac {\beta \hbar \omega _{E}}{2}}-\ln(1-e^{-\beta \hbar \omega _{E}})$ ce qui donne

${\bar {\epsilon }}={\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}+{\frac {\hbar \omega _{E}e^{-\beta \hbar \omega _{E}}}{1-e^{-\beta \hbar \omega _{E}}}}={\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}+{\frac {\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}$

On remarque au passage que $\lim _{T\to 0}{\bar {\epsilon }}=\lim _{\beta \to +\infty }{\bar {\epsilon }}={\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}$. Cette énergie correspond à l’énergie de point zéro pour ne pas violer le principe d’incertitude d’Heisenberg. On ne tient pas compte de l’énergie de point zéro ce qui donne ${\bar {\epsilon }}={\frac {\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}$ L’énergie interne du système est alors : $U=3N{\bar {\epsilon }}={\frac {3N\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}$

 

Capacité calorifique

La capacité calorifique C_V est définie par :

$C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}$

avec $\;U=3N{\bar {\epsilon }}={\frac {3N\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}\,$, on obtient

$C_{V}={\frac {3N\hbar ^{2}\omega _{E}^{2}}{k_{B}T^{2}}}\cdot {\frac {e^{\beta \hbar \omega _{E}}}{\left(e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1\right)^{2}}}=(\beta \hbar \omega _{E})^{2}\cdot {\frac {3Nk_{B}e^{\beta \hbar \omega _{E}}}{\left(e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1\right)^{2}}}$

On peut définir la température d’Einstein comme $\Theta _{E}={\frac {\hbar \omega _{E}}{k_{B}}}$. Tout cela nous donne $C_{V}\left(T\right)=3Nk_{B}\cdot \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)^{2}\cdot {\frac {\exp \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)}{\left[\exp \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)-1\right]^{2}}}$

Résultats du modèle

La capacité calorifique obtenue à l’aide du modèle d’Einstein est une fonction de la température. La valeur expérimentale de $3Nk$ est retrouvée pour des températures élevées.

Le modèle d’Einstein retrouve la loi de Dulong et Petit, pour les hautes températures :

$\lim _{T\to +\infty }C_{V}=3Nk_{B}$

Cependant, à basse température, ce modèle concorde moins avec les mesures expérimentales que celui de Debye :
Lorsque $T\rightarrow 0{\text{ : }}C_{V}\propto 3Nk_{B}\left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)^{2}e^{-\Theta _{E}/T}\rightarrow 0$
Cette discordance avec l’expérience peut s’expliquer en abandonnant l’hypothèse selon laquelle les oscillateurs harmoniques vibrent à la même fréquence.

Voir aussi

Articles connexes

• Loi de Dulong et Petit
• Modèle de Debye
• Phonon

Bibliographie

• Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »], 1998 [détail des éditions]
• Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail de l’édition]
• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition]