Groupe unitaire

En mathématiques, le groupe unitaire de degré n sur un corps K relativement à un antiautomorphisme involutif σ de K (par exemple K le corps des nombres complexes et σ la conjugaison) est le groupe des matrices carrées A d'ordre n à coefficients dans K, qui sont unitaire pour σ, c'est-à-dire telles Aσ(^tA) = I_n. Plus généralement, on peut définir le groupe unitaire d'une forme hermitienne ou antihermitienne non dégénérées φ sur un espace vectoriel sur un corps comme étant le groupe des élément f de GL(E) tels que φ(f(x), f(y) = φ(x, y) quels que soient les vecteurs x et y de E.

Groupes unitaires complexes

Groupes unitaires compacts

U(n,$\mathbb {R}$) coïncide avec le groupe orthogonal O(n,$\mathbb {R}$). C'est pourquoi U(n,$\mathbb {C}$) est généralement abrégé en U(n), car la distinction n'est pas nécessaire.

Dans le cas où n=1, U(1) est isomorphe à l'ensemble des nombres complexes de module 1, muni de la multiplication.

U(n) est un groupe de Lie réel de dimension n². L'algèbre de Lie de U(n) est formée des matrices antihermitiennes complexes n×n.

Voir aussi

• Groupe spécial unitaire
• Groupe unitaire projectif (en)