Prise de moyenne volumique

La prise de moyenne volumique ou volume averaging en anglais est une technique mathématique de changement d'échelles largement utilisée dans l'étude des milieux poreux dont l'objectif est de créer des modèles macroscopiques à partir de problèmes à l'échelle microscopique.

Cette technique permet notamment d'obtenir la Loi de Darcy (valable à l'échelle macroscopique) en moyennant le problème de Stokes qui décrit l'écoulement à l'échelle microscopique.

Description microscopique / macroscopique

La description des phénomènes physiques dans un milieu poreux peut s'effectuer à différents niveaux:

• L'échelle microscopique de longueur caractéristique $l_{\beta }$ est la plus petite échelle à partir de laquelle un système peut-être vu comme un continuum. En dessous de ce niveau de description, les phénomènes physiques doivent être modélisés par des méthodes discrètes (automate cellulaire par exemple). À l'échelle microscopique, que l'on nommera également l'échelle du pore dans la suite de cet article, la matrice poreuse et l'espace vide où circule le fluide sont finement représentés. La notion de fluide est ici à prendre au sens large : il peut s'agir d'un écoulement monophasique (liquide ou gaz) ou diphasique (gas/liquide ou liquide/liquide). Chaque point du maillage est associé à l'une de ces phases. À cette échelle, les interactions entre phases (à la fois fluide-solide, mais aussi fluide-fluide dans le cas d'un écoulement polyphasique) sont prises en compte via les conditions à l'interface de ces 2 phases. Par exemple, un transfert de chaleur entre un fluide et la structure poreuse sera simulé par la résolution de l'équation de la chaleur dans chaque phase en prenant en compte les continuités des flux et de la température à l'interface fluide/solide. On parle dans ce cas de problème aux conditions aux limites. Il est clair que malgré la puissance grandissante des moyens de calcul, un tel niveau de détail est restreint à de très petits domaines et serait trop couteux pour des simulations sur de larges domaines.

• Une échelle plus grande que l'on nommera l'échelle macroscopique de longueur caractéristique $L$ est quant à elle de l'ordre de grandeur des dimensions du système. Les mesures expérimentales effectuées en laboratoire ou sur site industriel correspondent le plus souvent à cette échelle : c'est le cas par exemple des pertes de charge mesurées sur une colonne de distillation ou d'adsorption. À ce niveau de description, chaque point du maillage est occupé par l'ensemble des phases présentes dans le système. Le détail de la géométrie du solide et le comportement exacte de l'interface fluide-fluide ne sont plus représentés. Chaque phase devient ainsi un continuum, c'est-à-dire un milieu continu occupant le système dans son entier. On parle de continua superposés, chaque continuum correspondant à l'une des phases. Si l'on reprend l'exemple précédent du transfert de chaleur dans un milieu poreux, les températures du fluide et du solide sont définies en chaque point du maillage. Elles peuvent être calculées via la résolution d'équations différentielles faisant intervenir des fractions volumiques, des tenseurs de dispersion et un terme d'échange entre ces deux températures.

Les deux niveaux de détails présentés ci-dessus diffèrent généralement de plusieurs ordres de grandeur. Par exemple, la longueur caractéristique de l'écoulement microscopique dans une colonne d'adsorption contenant des billes est de l'ordre du millimètre alors que l'ordre de grandeur de l'échelle macroscopique est celui de la colonne, c'est-à-dire du mètre. Mathématiquement, cela se traduit par l'hypothèse de séparation des échelles :

$l_{\beta }\ll L$

Cette hypothèse de séparation des échelles, permet d'évaluer le « poids » des différents termes qui apparaissent dans les modèles mathématiques et d'effectuer des simplifications adéquates. En effet, si l’on considère une variable $f_{\beta }$ définie à l’échelle microscopique, ses variations spatiales peuvent être évaluées par:

$\nabla f=O\left({\frac {max(f_{\beta })}{l_{\beta }}}\right)$

Au contraire, les variations spatiales d’un champ macroscopique $F$ sont de l’ordre de grandeur de la grande échelle et sont donc évaluées par

$\nabla F=O\left({\frac {max(F)}{L}}\right)$

Définition de la moyenne volumique

La notion de moyenne d'une fonction $\phi _{\beta }$ à valeur dans une phase $\beta$ est propre au problème que l’ont souhaite étudier. Cependant, il est courant de la définir comme l’intégrale sur un volume ${\mathcal {V}}$ arbitrairement défini. Ce volume contient du solide (la structure poreuse) autour duquel s'écoule un fluide. Ce dernier peut être monophasique ou multiphasique. On définit la moyenne volumique par:

$\langle \phi _{\beta }\rangle ={\frac {1}{\mathcal {V}}}\int _{{\mathcal {V}}_{\beta }}\phi _{\beta }d{\mathcal {V}}$

On définit également la moyenne intrinsèque à la phase $\beta$ par :

$\langle \phi _{\beta }\rangle ^{\beta }={\frac {1}{{\mathcal {V}}_{\beta }}}\int _{{\mathcal {V}}_{\beta }}\phi _{\beta }d{\mathcal {V}}$

Généralement, lorsque l'on cherche à créer un modèle macroscopique à partir d'un problème à l'échelle du pore, on cherche les équations différentielles qui régissent les moyennes intrinsèques à chaque phase.

Ces deux moyennes sont reliées par la relation $\langle \phi _{\beta }\rangle =\epsilon _{\beta }\langle \phi _{\beta }\rangle ^{\beta }$ où $\epsilon _{\beta }={\frac {{\mathcal {V}}_{\beta }}{\mathcal {V}}}$. Dans le cas où la phase $\beta$ est la seule phase qui s'écoule à travers le volume ${\mathcal {V}}$, on peut identifier $\epsilon _{\beta }$ à la porosité du milieu.

Théorème de prise de moyenne volumique

La prise de moyenne volumique n'est pas une opération évidente, notamment en ce qui concerne la moyenne d'une dérivée. En effet, la moyenne d'un gradient (opérateur au sens large de la dérivée) est dans la plupart des cas différente du gradient de la moyenne. Le théorème suivant nous permet de relier ces deux opérations:

$\langle \nabla \phi _{\beta }\rangle =\nabla \langle \phi _{\beta }\rangle +{\frac {1}{\mathcal {V}}}\int _{{\mathcal {A}}_{\beta \sigma }}{\textbf {n}}_{\beta \sigma }\phi _{\beta }d{\mathcal {A}}$

où ${\mathcal {A}}_{\beta \sigma }$ est la frontière, à l'intérieur de ${\mathcal {V}}$, entre $\beta$ et les autres phases $\sigma$, et ${\textbf {n}}_{\beta \sigma }$ est le vecteur normal unitaire à cette frontière, dirigé de $\beta$ vers $\sigma$.

L'intégrale exprime à l'échelle macroscopique les effets à l'interface entre deux phases (par exemple entre un fluide et la structure poreuse). C'est à travers ces intégrales que sont calculées les propriétés macroscopiques telles que la perméabilité.

Décomposition de Gray

D'un point de vue macroscopique, tout champ de variable microscopique $\phi _{\beta }$ peut-être vu comme la contribution d'un champ moyen $\langle \phi _{\beta }\rangle ^{\beta }$ et d'une perturbation ${\tilde {\phi }}_{\beta }$ également appelée fluctuation. La décomposition de Gray (du nom du chercheur l'ayant proposée) stipule que

$\phi _{\beta }=\langle \phi _{\beta }\rangle ^{\beta }+{\tilde {\phi }}_{\beta }$

Cette définition est cohérente avec le fait que la moyenne volumique des fluctuations est nulle ($\langle {\tilde {\phi }}_{\beta }\rangle ^{\beta }=0$).