Constante gravitationnelle

Constante gravitationnelle

La constante de gravitation G est une quantité majeure de la loi universelle de la gravitation de Newton.

Données clés

Unités SI	newton mètre carré par kilogramme carré (N⋅m2⋅kg-2)
Dimension	$[G]=$ M −1·L 3·T −2
Base SI	mètre cube par kilogramme par seconde carrée m3⋅kg−1⋅s−2
Nature	Grandeur scalaire
Symbole usuel	G
Valeur	6,674 30(15) × 10−11 m3 kg−1 s−2

En physique, la constante gravitationnelle, ou constante universelle de gravitation, ou constante de Newton, ou constante de Cavendish, ou grand G), notée $G$, est la constante de proportionnalité de la loi universelle de la gravitation d'Isaac Newton. Cette constante physique fondamentale apparaît dans des lois de l'astronomie classique qui en découlent (gravité à la surface d'un corps céleste, troisième loi de Kepler, etc.), ainsi que dans la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein.

Analyse dimensionnelle

D'après Newton, la gravitation est une force d'attraction entre deux corps massifs qui, d'une part, est directement proportionnelle au produit de leur masse et, d'autre part, est inversement proportionnelle au carré de la distance qui sépare leur centre de masse respectif :

$\quad |\mathbf {F} |\propto {\frac {{m_{1}}{m_{2}}}{r^{2}}}$

L'analyse dimensionnelle permet de comparer la dimension d'une force :

$[|\mathbf {F} |]=M\cdot L\cdot T^{-2}$

et la dimension de ${\frac {{m_{1}}{m_{2}}}{r^{2}}}$ :

$\left[{\frac {{m_{1}}{m_{2}}}{r^{2}}}\right]=M^{2}\cdot L^{-2}$

où $M$ est la dimension d'une masse, $L$ celle d'une longueur et $T$ celle d'un temps.

Les deux termes n'étant pas de même dimension, la relation de proportionnalité permet de définir un facteur $G$ de sorte que :

$|\mathbf {F} |=G{\frac {m_{1}\ m_{2}}{r^{2}}}$

Ce facteur est donc de dimension :

$[G]={\frac {[|\mathbf {F} |][r^{2}]}{[{m_{1}}{m_{2}}]}}=M^{-1}\cdot L^{3}\cdot T^{-2}$

Dans le système international d'unités, il s'exprime donc en m³⋅kg⁻¹⋅s⁻².

On distingue parfois les masses inertes des masses graves. Les masses reliées aux forces par l'équation fondamentale de la dynamique sont des masses inertes, les masses à l'origine du champ gravitationnel sont des masses graves. En physique classique, la loi de l'action et de la réaction implique que la force d'attraction est symétrique entre deux corps de masses respectives $m_{1}$ et $m_{2}$, et donc que masse grave et masse pesante sont identiques. En mécanique relativiste, l'identité entre masse inerte et masse grave fait l'objet du principe d'équivalence. Il est cependant possible d'imaginer une mécanique newtonienne dans laquelle ces deux masses seraient différentes pour une substance donnée (mais de même dimension).

Notation

La constante est couramment notée $G$, symbole correspondant à la lettre G majuscule de l'alphabet latin en italique.

D'après John J. Roche et John D. Barrow, ce symbole a été introduit, en 1885, par Arthur KönigArthur König et Franz Richarz.

Valeur

La constante gravitationnelle $G$ est une constante de proportionnalité de la force de gravitation (c'est-à-dire d'attraction entre les corps), cette dernière suivant la loi en carré inverse des distances et étant proportionnelle au produit des masses $m_{1}$ et $m_{2}$.

Valeur dans le Système international

$G$ correspond à la force entre deux masses d'un kilogramme chacune, distantes d'un mètre.

En 2018, le CODATA recommande la valeur suivante, en unités SI :

$G=6{,}674\,30(15)\times 10^{-11}\;{\rm {m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}}$

où le nombre entre parenthèses est l'incertitude standard sur les derniers chiffres explicités, c'est-à-dire :

$\sigma _{G}=0{,}000\,15\times 10^{-11}\;{\rm {m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}}$,

soit une incertitude relative de :

${\frac {\sigma _{G}}{G}}=2{,}2\times 10^{-5}$.

L'unité dérivée m³ kg⁻¹ s⁻² peut aussi être écrite N m² kg⁻².

Valeur dans le système CGS

Dans le système CGS la valeur de la constante est :

$G=(6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\times 10^{-8}\;{\rm {cm^{3}\,g^{-1}\,s^{-2}}}$.

Valeur en unités naturelles

Dans les unités dites « naturelles », $G\,$ et les autres constantes physiques comme la vitesse de la lumière $c\,$ ont pour valeur 1.

Nouvelles valeurs obtenues

D'après le rapport d'Erland Myles Standish (en) à l'Union astronomique internationale, en 1994, la meilleure estimation de la valeur de G était :

$G=6{,}672\,59(30)\times 10^{-8}\;{\rm {cm^{3}\cdot g^{-1}\cdot s^{-2}}}$

En 2007, J. B. Fixler, G. T. Foster, J. M. McGuirk et M. A. Kasevich ont obtenu la valeur suivante :

$G=6{,}693(72)\times 10^{-11}\;{\rm {m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}}$

Dans une étude menée en 2010, Harold V. Parks et James E. Faller ont obtenu une valeur différente de celle déjà trouvée :

$G=6{,}672\,34(14)\times 10^{-11}\;{\rm {m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}}$

En 2014 le CODATA recommande la valeur suivante, en unités SI :

$G=6{,}674\,08(31)\times 10^{-11}\;{\rm {m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}}$

soit une incertitude relative de ${\frac {\sigma _{G}}{G}}=4{,}6\times 10^{-5}$.

Comparaison avec les autres forces fondamentales

Quand on compare les quatre forces fondamentales (force de gravitation, force électromagnétique, force faible, force forte), il apparaît que la force de gravitation est de très loin la plus faible de toutes. Par exemple, la force de gravitation entre un électron et un proton séparés par un mètre vaudrait environ 10^-67 newton, tandis que la force électromagnétique entre les deux mêmes particules à la même distance vaudrait environ 10^-28 newton, c'est-à-dire 39 ordres de grandeur (ou 10³⁹ fois) plus importante.

Mesures de la constante gravitationnelle

La constante gravitationnelle est l'une des constantes les plus difficiles à mesurer.

${G}$ a été mesurée directement la première fois par Henry Cavendish en 1798, inspiré par l'œuvre de John Michell. Il utilisa une balance de torsion avec deux boules en plomb placées le long d'une tige horizontale. La connaissance du moment d'inertie de l'ensemble tige+boules et de la constante de torsion du fil de suspension permet de calculer la fréquence des oscillations de la balance. La très faible attraction causée par deux autres boules, placées indépendamment à l'extrémité de la tige, cause une légère modification des oscillations, et permet de calculer la force de gravité entre les boules, et ainsi la valeur de la constante de gravitation. Cavendish trouve $6{,}6\times 10^{-11}\;{\rm {N\cdot m^{2}\cdot kg^{-2}}}$. Cependant, son but n'était pas de mesurer cette constante, mais de mesurer la masse de la Terre.

La précision de la valeur mesurée de ${G}\$ a peu changé depuis cette première expérience. Cela est dû, non seulement à la faiblesse de la force de gravitation, mais aussi à l'impossibilité de s'affranchir réellement de la présence d'autres objets massifs (comme les murs du laboratoire...). Une très légère vibration du sol (provoquée par exemple par le passage d'un camion dans la rue) peut aussi compromettre la précision de la mesure. Une récente étude (Gillies, 1997) a montré que les valeurs publiées de la constante varient beaucoup, et que des mesures plus récentes et plus précises s'excluent mutuellement.

Historiquement l’existence de cette constante apparaît donc avec la loi de la gravitation de Newton mais ne pouvait constituer à ce stade qu’une hypothèse.

La détermination de sa valeur a été réalisée à partir des expériences de Cavendish (1798). Les résultats de cette époque convergeaient vers une valeur unique (à des erreurs expérimentales acceptables près) démontrant par la même occasion l’existence de la constante.

Cette constante associée à l’expression de Newton forme la formule de l’attraction universelle, celle-ci verrait donc également ses bases également fragilisées.

Cette formule, féconde, d’une grande simplicité de mise en œuvre, demeure utilisée sur des sujets actuels malgré l’avènement de la relativité générale. (Exemple : hypothèse de la matière noire.)

Constantes associées

Le paramètre gravitationnel standard

Le produit $GM$ s'appelle le paramètre gravitationnel standard, noté $\mu$ (mu).

Ce paramètre fournit une simplification pratique des différentes formules liées à la gravitation.

Selon que $M$ désigne la masse de la Terre ou du Soleil, $\mu$ s'appelle la constante gravitationnelle géocentrique ou héliocentrique.

En fait, pour la Terre et le Soleil, ce produit est connu avec une plus grande précision que celle associée à chacun des deux facteurs $G$ et $M$. Il est ainsi possible d'utiliser la valeur du produit connue avec une plus grande précision, plutôt que de substituer les valeurs des deux paramètres.

Pour la Terre : $\mu =GM=398\,600{,}441\,8\pm 0{,}000\,8\ {\rm {km^{3}\cdot s^{-2}}}$.

La constante gravitationnelle de Gauss

De même, les calculs de la mécanique céleste peuvent être faits dans les unités de masse solaire plutôt que celles du Système international d'unités, comme le kilogramme.

Dans ce cas, on utilise la constante gravitationnelle de Gauss, qui se note $k$ :

$k=0{,}017\,202\,098\,95\ A^{\frac {3}{2}}\ D^{-1}\ S^{-{\frac {1}{2}}}$

avec :

• $A$ est une unité astronomique ;
• $D$ est le jour solaire moyen ;
• $S$ est la masse solaire.

Si à la place du jour solaire moyen, on utilise l'année sidérale comme unité de temps, la valeur de ${k}\$ est alors très proche de $2\pi$.

Voir aussi

Bibliographie

• George T. Gillies. « The Newtonian gravitational constant: recent measurements and related studies ». Reports on Progress in Physics ; 60 : 151-225, 1997. (A lengthy, detailed review. See figure 1 and table 2 in particular. Disponible en ligne : PDF.)
• (en) Erland Myles Standish, « Report of the IAU WGAS Sub-group on Numerical Standards », dans Immo Appenzeller (éd.), Highlights of Astronomy, vol. 10, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1994. (Rapport complet disponible en ligne : PostScript. Tableaux du rapport aussi disponibles : Astrodynamic Constants and Parameters.)
• Jens H. Gundlach et Stephen M. Merkowitz. « Measurement of Newton's Constant Using a Torsion Balance with Angular Acceleration Feedback ». Physical Review Letters, 85(14):2869-2872, 2000. (Aussi disponible en ligne : PDF.)
• Peter J. Mohr et Barry N. Taylor, CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2002 (Reviews of Modern Physics, 2005, vol. 77, p. 1–107). PDF, section Q (p. 42–47) décrit les expériences de mesures mutuellement exclusives à partir desquelles la valeur CODATA de G est dérivée.
• Jean-Philippe Uzan & Roland Lehoucq, Les constantes fondamentales, Belin (2005) (ISBN 2-7011-3626-1). La section sur la constante de gravitation contient, entre autres, une traduction française des articles originaux de Maskeline, Cavendish sur la mesure de la constante de gravitation et une traduction des textes de Dirac, Gamow et Teller sur l'hypothèse d'une constante de gravitation variable.

Articles connexes

• Constante d'Einstein
• Henry Cavendish
• Hypothèse des grands nombres de Dirac
• Seconde (temps)
• Table des constantes astrophysiques
• Unités de Planck

Liens externes

• (en) The International System of Units (SI) (site du Bureau International des Poids et Mesures).
• (en) Valeurs CODATA (Committee on Data for Science and Technology) internationalement recommandées des constantes fondamentales de la physique.
• (en) Débat à propos des méthodes de mesure de la constante gravitationnelle.
• (fr) Illustration du pendule de Cavendish ou : comment mesurer les masses de l'Univers.
• (fr) Description d'un rapport de travail pratique Université de Neuchâtel.
• (en) G-whizzes disagree over gravity (dispersion des résultats de mesure), Nature, 23 août 2010.
• (en) Simple pendulum determination of the gravitational constant.