Utilisateur:Jojo V/Brouillon

L'acoustique géométrique est le pendant de l'optique géométrique et décrit les rayons acoustiques définis pour la propagation du son dans les fluides, pour lesquels l'onde progressive est longitudinale, à l'instar du rayon lumineux.

Le rayon acoustique peut être absorbé, réfléchi, réfracté et est lié à un front d'onde associé.

La notion est valide dans l'hypothèse des faibles longueurs d'onde qui permet d'assimiler localement le front d'onde à une onde plane.

Front d'onde et rayon acoustique

On peut définir un front d'onde lorsque la largeur du signal est négligeable devant sa courbure spatiale. La valeur locale du signal est alors réduite à son intensité moyenne. Ce front d'onde est défini par l'instant d'arrivée $\tau (\mathbf {x} )$ au point $\mathbf {x}$ . Le signal peut être décrit de manière alternative par l'ensemble des positions $\mathbf {x} _{r}(t)$ , chacune de ces fonctions définissant un rayon de propagation. Dans un milieu qui se déplace à la vitesse $\mathbf {V} _{0}(\mathbf {x} )$ le front d'onde est simplement advecté et sa vitesse est^[1]^,^[2]^,^[3] :

\mathbf {V} _{r}(\mathbf {x} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{r}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {V} _{0}(\mathbf {x} )+c_{0}(\mathbf {x} )\mathbf {n} (\mathbf {x} )

où $\mathbf {n}$ est la normale au front d'onde et $c_{0}$ la vitesse du son dans les conditions locales.

{\boldsymbol {\sigma }}=\nabla \tau

est le vecteur lenteur (slowness) ou fonction eikonale défini par :

{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {V} _{r}=1\quad \Leftrightarrow \quad c_{0}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} =1-\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n} =\Omega

Compte tenu de ${\boldsymbol {\sigma }}=({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$ il vient :

{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\mathbf {n} }{c_{0}+\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n} }}\,,\quad \mathbf {n} ={\frac {c_{0}{\boldsymbol {\sigma }}}{\Omega }}

$|{\boldsymbol {\sigma }}|^{-1}=c_{0}+\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n}$ est la vitesse normale au front d'onde, d'où le nom de vecteur lenteur.

La seconde équation ci-dessus implique l'équation eikonale :

{\boldsymbol {\sigma }}^{2}={\frac {\Omega ^{2}}{c_{0}^{2}}}

On peut alors écrire les équations des rayons acoustiques^[3] :

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{r}}{\mathrm {d} t}}&={\frac {c_{0}^{2}{\boldsymbol {\sigma }}}{\Omega }}+\mathbf {V} _{0}\\{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\Omega }{c_{0}}}\nabla c_{0}-\nabla (\mathbf {V} _{0}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})+(\mathbf {V} _{0}\cdot \nabla ){\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}

Équations de conservation

Conservation de l'énergie

L'énergie volumique contenue dans le signal acoustique est la somme de l'énergie interne et de l'énergie cinétique :

E_{a}={\frac {1}{2}}{\frac {p_{a}^{2}}{\rho _{0}c_{0}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\rho _{0}V_{a}^{2}

où $p_{a}$ est la pression acoustique, $V_{a}$ la vitesse acoustique et $\rho _{0}$ la masse volumique du fluide au repos.

Pour un signal isentropique (pas de discontinuité, pas d'absorption) cette expression se simplifie en utilisant la relation :

v_{a}={\frac {p_{a}}{\rho _{0}c_{0}}}\quad \Rightarrow \quad E_{A}={\frac {p_{a}^{2}}{\rho _{0}c_{0}^{2}}}

Directement ou par l'intermédiaire des équations d'Euler il est possible d'écrire une équation de conservation^[3] :

{\frac {\partial E_{a}}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {I}}_{a}=0

où ${\vec {I}}_{a}=p_{a}{\vec {V}}_{a}$ est l'intensité acoustique, donc la densité surfacique de flux d'énergie. Par analogie avec l'optique on parle de vecteur de Poynting acoustique.

Conservation de l'énergie le long d'un rayon acoustique

Pour un milieu au repos $V_{0}=0$ possédant des gradients de propriétés lentement variables il est possible d'établir une équation de conservation^[3] :