Modèle d'Einstein
En physique statistique et en physique du solide, le modèle d’Einstein est un modèle permettant de décrire la contribution des vibrations du réseau à la capacité calorifique d’un solide cristallin. Il repose sur les hypothèses suivantes :
- chaque atome de la structure est un oscillateur harmonique quantique 3D,
- les atomes vibrent à la même fréquence, contrairement au modèle de Debye.
Ce modèle est nommé d’après Albert Einstein, qui l'a proposé en 1907[1].
Énergie interne
Les vibrations du réseau cristallin sont quantifiées[2], c’est-à-dire que les énergies de chaque mode normal de vibration ne peuvent prendre que des valeurs discrètes . Ce modèle repose donc sur la dualité onde-particule des phonons et sur le fait que les 3N oscillateurs harmoniques[3] vibrent à la même fréquence, de manière isotrope.
L’énergie interne U du solide est donnée par la formule :
où ℏ est la constante de Planck réduite, ωE est la pulsation d’un oscillateur, N le nombre d’atomes qui constituent le système et où kB est la constante de Boltzmann et T la température absolue.
L’énergie d’un oscillateur harmonique à une dimension vibrant à la fréquence est donnée par :
où est un nombre quantique
On calcule la fonction de partition d’un oscillateur harmonique quantique qui est donnée par la relation :
où kB est la constante de Boltzmann, T la température absolue et j est un état de l’oscillateur. Il y a un seul état par niveau d’énergie ; la somme devient donc :
En appliquant la formule de la somme d’une suite géométrique, on simplifie la fonction de partition :
On obtient alors l’énergie d’un oscillateur :
avec ce qui donne
On remarque au passage que . Cette énergie correspond à l’énergie de point zéro pour ne pas violer le principe d’incertitude d’Heisenberg[4]. On ne tient pas compte de l’énergie de point zéro ce qui donne L’énergie interne du système est alors : [5]
Capacité calorifique
La capacité calorifique CV est définie par :
avec , on obtient
On peut définir la température d’Einstein comme . Tout cela nous donne
Résultats du modèle
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Heat_capacity_in_Einstein_Solid.jpg/300px-Heat_capacity_in_Einstein_Solid.jpg)
Le modèle d’Einstein retrouve la loi de Dulong et Petit, pour les hautes températures :
Cependant, à basse température, ce modèle concorde moins avec les mesures expérimentales que celui de Debye :
Lorsque
Cette discordance avec l’expérience peut s’expliquer en abandonnant l’hypothèse selon laquelle les oscillateurs harmoniques vibrent à la même fréquence.
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
- Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »], [détail des éditions]
- Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique, [détail de l’édition]
- C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition]
Notes et références
- (de) Albert Einstein, « Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme », Annalen der Physik, vol. 22, , p. 180 (lire en ligne)
- Cette quantification est due aux conditions aux limites imposées au solide.
- On modélise les N atomes qui constituent le solide par 3N oscillateurs harmoniques quantiques à une dimension.
- À 0 K, tous les oscillateurs sont dans un même état (n=0). Si tous les états atomes étaient au repos, leur position et leur vitesse seraient bien déterminées ( et ) ce qui serait en contradiction avec le principe d’incertitude d’Heisenberg.
- L’énergie interne est égale au nombre d’oscillateur multipliée par l’énergie d’un seul oscillateur.