Projecteur (mathématiques)
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En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :
- une projection linéaire associée à une décomposition d'un espace vectoriel E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ;
- une application linéaire idempotente : elle vérifie p2 = p.
Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.
Définition de la projection vectorielle
[modifier | modifier le code]Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : . La projection sur F parallèlement à G est alors l'application[1] :
Propriétés
[modifier | modifier le code]Définie comme telle, l'application p est un endomorphisme, idempotent (p ∘ p = p), d'image im(p) = F et de noyau ker(p) = G. Cet endomorphisme est diagonalisable.
Identification des projecteurs et des projections
[modifier | modifier le code]On définit l'ensemble des projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p2 = p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. Réciproquement :
Théorème de caractérisation des projecteurs[2] — Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur im(p) parallèlement à ker(p), ces deux sous-espaces étant alors supplémentaires.
Projecteur associé à un autre projecteur
[modifier | modifier le code]La projection sur G parallèlement à F est l'application q = id – p, appelée aussi projecteur « associé » à p.
L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q. Autrement dit : ker(p) = im(id – p) et im(p) = ker(id – p).
Projecteurs de même image
[modifier | modifier le code]Deux endomorphismes p et r d'un même espace vectoriel sont des projecteurs de même image si et seulement si p ∘ r = r et r ∘ p = p.
Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires
[modifier | modifier le code]Un espace vectoriel E est somme directe de sous-espaces vectoriels si et seulement s'il existe une famille de projecteurs (pour ) vérifiant : et si i ≠ j.
Symétries
[modifier | modifier le code]Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s2 est l'identité (ne pas confondre avec « Endomorphisme symétrique »).
- En caractéristique différente de 2, p est un projecteur si et seulement si 2p – id est une symétrie vectorielle.
La recherche des endomorphismes tels que p2 = p, ou que s2 = id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u) = 0 pour P polynôme et u endomorphisme ; voir l'article « Polynôme d'endomorphisme » pour des généralisations.
Projecteurs orthogonaux
[modifier | modifier le code]Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si . On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.
Représentation matricielle en base adaptée
[modifier | modifier le code]Tout projecteur d'un espace de dimension finie est diagonalisable, avec comme seules valeurs propres 1 et 0 (s'il n'est ni nul, ni l'identité).
En effet, si l'on note une base de E avec des vecteurs de im(p) et des vecteurs de ker(p) (ce qui est possible, car l'image et le noyau de p sont supplémentaires), alors la matrice de p dans cette base adaptée s'écrit :
On a donc les propriétés suivantes :
- sur la diagonale apparaissent uniquement des 1 et des 0, et le nombre de 1 est égal au rang du projecteur, ainsi qu'à sa trace ;
- les autres coefficients sont nuls.
Utilité des projecteurs
[modifier | modifier le code]En géométrie projective
[modifier | modifier le code]En géométrie projective, un projecteur intervient. Considérons un exemple élémentaire : Soit l'espace projectif associé. Soit et une droite projective ne passant pas par . Soit un représentant de et soit la projection sur parallèlement à .
Ce projecteur permet de définir par passage au quotient la projection centrale , projection de centre sur la droite .
Ce type de projection est un fondement important de la géométrie projective[3].
En géométrie affine
[modifier | modifier le code]Les projections affines sont associées à des projecteurs linéaires.
En théorie des séries de Fourier
[modifier | modifier le code]Les coefficients de Fourier sont des composantes de projetés dans un espace fonctionnel adéquat[4].
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Jean-Pierre Marco et Laurent Lazzarini, Mathématiques L1 : Cours complet avec 1 000 tests et exercices corrigés, Paris, Pearson, , 1073 p. (ISBN 978-2-7440-7607-7, lire en ligne), p. 451.
- La démonstration est courte : voir par exemple .
- Daniel Perrin, « Géométrie projective linéaire, ex 1.7.5 p30 et chapitre 2, p.33- », sur Université Paris-Saclay
- Serge Lang, Undergraduate analysis, Springer, (ISBN 0-387-94841-4, 978-0-387-94841-6 et 3-540-90800-5), chapitre XII, 291-