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Intégrabilité

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En mathématiques et plus particulièrement en théorie de l'intégration, on dit qu'une fonction à valeurs réelles ou complexes est intégrable sur lorsque existe et est finie. A ne pas confondre avec le fait que existe et est finie qui n'implique pas nécessairement l'intégrabilité.

La notion d'intégrale et d'intégrabilité dépend de la théorie de l'intégration (manière de construire l'intégrale) que l'on considère. Il existe plusieurs types d'intégrales, les plus connues et utilisées étant l'intégrale de Riemann (équivalente à l'intégrale de Darboux) et l'intégrale de Lebesgue.

Au sens de Riemann

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Au sens de Riemann, une fonction possède une intégrale finie si et seulement si elle est intégrable, c'est-à-dire, si et seulement si possède une intégrale finie aussi[1]. En réalité, dans la définition de l'intégrale au sens de Riemann, il est fréquent que la Riemann-intégrabilité soit définie comme le fait d'avoir une intégrale finie.

Pour les intégrales de Riemann généralisées à un intervalle quelconque, cette équivalence n'est plus vérifiée. Si possède une intégrale finie (au sens des intégrales impropres de Riemann) alors il n'est pas forcément vrai que possède une intégrale finie aussi. En revanche le fait que existe et est finie implique toujours que existe et est finie.

Critères d'intégrabilité

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  1. Pour tout continue, la composée est intégrable sur .
  2. Le produit est intégrable sur .
  3. Le minimum est intégrable sur .
  4. Le maximum est intégrable sur .
  • Si sont positives, localement intégrables et que de plus quand alors l'intégrabilité de sur entraîne celle de [4],[5]. On remarquera que est vérifié si par exemple ou quand .
  • Soit un intervalle d'intérieur non vide dont les extrémités gauches et droites sont notées et . Supposons que et sont finies. Si est localement intégrable et a des limites finies en et alors est intégrable sur [6].

Exemples et contre-exemples

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  • La fonction indicatrice des rationnels n'est intégrable sur aucun intervalle d'intérieur non vide.
  • La fonction définie par et pour tout n'est pas intégrable sur (au sens de Riemann), car elle n'y est même pas bornée, en revanche, elle est intégrable sur (au sens impropre de Riemann) car converge lorsque x tend vers 0[7].
  • La fonction n'est pas intégrable sur alors qu'elle y admet une intégrale impropre convergente (cette intégrale s'appelle l'intégrale de Dirichlet).
  • Critère de Riemann : la fonction est intégrable sur si et seulement si . Cette même fonction est intégrable sur si et seulement si .
  • Critère de Bertrand : la fonction est intégrable sur si et seulement si ou ( et ). Cette même fonction est intégrable sur si et seulement si ou ( et ).

Au sens de Lebesgue

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Soient (X, 𝒜, μ) un espace mesuré et f une fonction sur X, à valeurs dans ou et 𝒜-mesurable. On dit que f est Lebesgue-intégrable sur X si

Intégrabilité au sens de Kurzweil-Henstock

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  1. (en) « The absolute value of a Riemann integrable function is Riemann integrable. »
  2. Cela n'est pas forcément vrai sur un intervalle quelconque, par exemple la fonction identité est continue, donc réglée, mais non intégrable sur .
  3. Les 2 premières propriétés deviennent fausses lorsque l'intervalle n'est pas fermé. Voici des contre-exemples :
    • La fonction est intégrable sur mais si l'on prend alors ne l'est pas.
    • La fonction est intégrable sur mais le produit ne l'est pas.
    En revanche les 2 dernières propriétés restent vraies sur un intervalle non fermé.
  4. Ici désigne le "grand o" de la notation de Landau.
  5. Cette propriété devient fausse si l'on omet la condition de positivité. Par exemple si a une intégrale semi-convergente alors on a bien que quand mais n'est pas intégrable.
  6. Si les extrémités ne sont pas finies, cette propriété devient fausse. Par exemple la fonction admet 0 comme limite en mais n'est pas intégrable sur .
  7. Cela illustre l'importance de l'exclusion du cas de l'intervalle fermé, dans la définition de l'intégrale impropre de Riemann, afin de ne pas aboutir à des notions contradictoires d'intégrabilité.