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Le lemme de Hadamard est un résultat de calcul différentiel très utile pour trouver des modèles locaux de fonctions différentiables . Il est utilisé par exemple dans la preuve du lemme de Morse .
Soit
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
une fonction de classe
C
p
{\displaystyle C^{p}}
avec
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
. Alors pour tout
a
=
(
a
1
,
…
,
a
n
)
∈
R
n
{\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
, il existe des fonctions
g
1
,
⋯
g
n
{\displaystyle g_{1},\cdots g_{n}}
, de classe
C
p
−
1
{\displaystyle C^{p-1}}
telles que pour tout
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
,
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
a
i
)
g
i
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i})g_{i}(x).}
On a
f
(
x
)
−
f
(
a
)
=
∫
0
1
d
d
t
f
(
a
+
t
(
x
−
a
)
)
d
t
{\displaystyle f(x)-f(a)=\int _{0}^{1}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}f(a+t(x-a))~{\rm {d}}t}
(second théorème fondamental de l'analyse ).
Mais
d
d
t
f
(
a
+
t
(
x
−
a
)
)
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
a
i
)
∂
f
∂
x
i
(
a
+
t
(
x
−
a
)
)
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}f(a+t(x-a))=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i}){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))}
(théorème de dérivation des fonctions composées ).
Le résultat s'ensuit, avec
g
i
(
x
)
=
∫
0
1
∂
f
∂
x
i
(
a
+
t
(
x
−
a
)
)
d
t
{\displaystyle g_{i}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))~{\rm {d}}t}
qui est
C
p
−
1
{\displaystyle C^{p-1}}
en raison du théorème de dérivation sous le signe somme (règle de Leibniz ).
On a nécessairement
g
i
(
a
)
=
∂
f
∂
x
i
(
a
)
{\displaystyle g_{i}(a)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)}
.
Les fonctions
g
i
{\displaystyle g_{i}}
ne sont pas uniques.
Par application du lemme, on peut justifier que pour toute fonction lisse f telle que f (0) = 0 , la fonction qui à x associe f (x )/ x est lisse et bien définie. Par exemple, le sinus cardinal est bien défini.