Racine carrée de cinq
En mathématiques, la racine carrée de cinq, notée √5 ou 51/2, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236.
C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).
Éléments introductifs
[modifier | modifier le code]Définition, notation et prononciation
[modifier | modifier le code]- Le nombre 5 ayant exactement deux racines carrées réelles, √5 et -√5, √5 devrait se prononcer « racine carrée positive de cinq », ou « racine carrée principale de cinq », mais il se prononce habituellement « racine carrée de cinq », voire « racine de cinq » pour simplifier. Une autre expression correcte, faisant référence au symbole √, est « radical de cinq», mais elle est peu courante.
- √5 se note également 51/2 (notation Unicode : 5½).
- √5 s'écrit en général sqrt(5) dans les langages informatiques, pour le terme anglais "square root".
Valeur approchée
[modifier | modifier le code]√5 vaut approximativement
- 2,236 067 977 4 dans le système décimal (suite A002163 de l'OEIS),
- 10,00111100 dans le système binaire (suite A004555 de l'OEIS) et
- 2,3C6EF372FE94F82C dans le système hexadécimal.
Développement en fraction continue
[modifier | modifier le code]Le développement en fraction continue simple de √5 est [2, 4] (suite A040002 de l'OEIS).
Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), ce développement est périodique. La période est de longueur 1.
Les réduites successives sont :Elles forment la suite définie par .
On a : , où est l'entier le plus proche de .
Les numérateurs forment la suite A001077 de l'OEIS et les dénominateurs la suite A001076 de l'OEIS.
Calcul d'une valeur approchée
[modifier | modifier le code]Méthodes générales
[modifier | modifier le code]Approximation par la méthode de Héron
[modifier | modifier le code]La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.
Prenons la partie entière de √5, x0 = 2.
La méthode de Héron consiste à calculer les termes successifs d'une suite approchant √A par la formule de récurrence :
avec ici, A = 5. Par itérations successives, on obtient :
On a .
Les numérateurs forment la suite A081459 de l'OEIS, et les dénominateurs la suite A081460 de l'OEIS.
est une sous-suite de : , décroissant rapidement vers √5 (convergence quadratique). Une suite croissante associée est , d'où l'encadrement : . Pour , cet encadrement permet déjà d'obtenir .
Méthode spécifique
[modifier | modifier le code]Par la suite de Fibonacci
[modifier | modifier le code]La formule suivante, démontrée initialement par Paul Erdős, relie √5 aux inverses des termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est une puissance de 2[1]:
Cela donne la formule : qui converge très vite, puisque les 6 premiers termes donnent 13 décimales correctes et le 7e donne les 13 suivantes[a],[b].
Lien avec le nombre d'or
[modifier | modifier le code]La racine carrée de 5 entre dans l'expression du nombre d'or
On trouve donc
Preuve de l'irrationalité
[modifier | modifier le code]Supposons que √5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux : PGCD(m, n) = 1). L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n2 = m2. Ainsi, 5 divise m2, donc divise m d'après le lemme d'Euclide. On peut écrire m = 5r, soit 5n2 = (5r)2 = 25r2, n2 = 5r2, soit 5 divise n. Cela nous conduit à une absurdité puisque PGCD(m, n) est alors divisible par 5, contradictoirement avec l'hypothèse PGCD(m, n) = 1.
D’une manière générale, la racine carrée d’un naturel qui n'est pas un carré parfait est un nombre irrationnel.
En effet, supposons qu'un naturel N ait une racine carrée qui s'écrive sous la forme d’une fraction m/n ; l’égalité m2 = Nn2 montre, grâce à l'unicité de la décomposition produit de facteurs premiers, que les exposants de la décomposition de N , qui sont différences de deux nombres pairs, sont pairs, et que donc N est un carré parfait. Comme 5 n'est pas un carré parfait, la racine carrée de 5 est irrationnelle.
Autre expression comme somme de série
[modifier | modifier le code]En utilisant la série génératrice des coefficients binomiaux centraux, on a :
Expressions par radicaux infiniment imbriqués
[modifier | modifier le code]- ; voir à Radical_imbriqué#Racine_carrée,
- car .
Trigonométrie
[modifier | modifier le code]Comme √2 et √3, la racine carrée de 5 est présente dans les formules pour les constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :
Formules de Ramanujan
[modifier | modifier le code]La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :
Articles connexes
[modifier | modifier le code]- Suite de Fibonacci
- Nombre de Lucas
- Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)
- Somme quadratique de Gauss
- Pavage en moulin à vent
- Anneau des entiers de Q(√5)
- Racine carrée de deux
- Racine carrée de trois
Notes et références
[modifier | modifier le code]Notes
[modifier | modifier le code]- La vitesse de convergence vient de ce que le terme général de la série décroit comme l'inverse d'une fonction exponentielle double.
- Dans la pratique, cette méthode présente cependant l'inconvénient de devoir manipuler de grands entiers.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Catalin Badea, « A theorem on irrationality of infinite series and applications », Acta Arithmetica, vol. 63, , p. 313-323 (lire en ligne).