Fondamenti di automatica/Modelli di sistemi comuni

Indice del libro

Modelli di sistemi comuni

modifica

Amplificatore

modifica

Consiste in un unico elemento che ha guadagno costante  

Ritardo di tempo

modifica

Un sistema ritardo di tempo [1] [2] è usato per rappresentare la non immediata risposta dei sistemi reali. Un sistema che ritarda la risposta di   secondi è rappresentato dalla funzione di trasferimento

 

Un ritardo puro non introduce variazioni di ampiezza ma diminuisce linearmente la fase al crescere di   [3] ed ha effetti negativi sulla stabilità di un sistema in anello chiuso.

È possibile approssimare il ritardo con funzioni razionali fratte scrivendo la funzione esponenziale come serie di Mc Laurin se   è sufficientemente piccolo

 

Integratore

modifica

Un sistema integratore [4] ha un solo polo nell'origine

 

Derivatore

modifica

Un sistema derivatore [5] ha un solo zero e nessun polo,

 

non è quindi un sistema causale, ma esistono sistemi reali che si comportano approssimativamente come derivatori ideali, ovvero sistemi del primo ordine (o di ordine superiore) con poli dominanti a frequenze elevate ed un solo zero a bassa frequenza.

Sistemi del primo ordine

modifica

Un sistema del primo ordine ha un solo polo e al massimo uno zero

 

 

Dove   è detto tempo caratteristico del sistema.

Risposta al gradino

modifica

La risposta al gradino di un sistema del primo ordine generico [6] può essere calcolata esplicitamente; ha un andamento esponenziale

 ;

la velocità di risposta del sistema dipende dalla sua costante di tempo  , il transitorio si può considerare esaurito dopo circa cinque costanti di tempo; la presenza di uno zero influenza il valore iniziale della risposta e può causare una sovraelongazione iniziale se  .

I parametri della risposta al gradino sono:

  • tempo di salita:

 

  • tempo di ritardo:

 

  • tempo di assestamento

 

Sistemi del secondo ordine

modifica

Consideriamo un sistema che abbia due poli e nessuno zero. Sono di particolare interesse solo i sistemi con poli stabili complessi coniugati; ci sono altri sistemi con due poli, ma o sono instabili oppure si possono ricondurre a somma di sistemi del primo ordine.

 

Se i poli sono complessi coniugati negativi stabili, questi valgono

 

Parametri caratteristici

modifica

I simboli usati nella funzione di trasferimento del sistema di secondo grado precedente significano: [7]

  •  :

pulsazione naturale non smorzata, modulo dei poli se questi sono complessi coniugati [8]

  •  :

smorzamento, opposto del coseno della fase dei poli se questi sono complessi coniugati negativi

  •  :

fattore di smorzamento, parte reale dei poli

  •  :

pulsazione smorzata, parte immaginaria dei poli

il tipo dei poli dipende dallo smorzamento  

  •  : due poli reali instabili, se   coincidenti: sistema instabile
  •  : due poli complessi coniugati instabili: sistema instabile
  •  : due poli immaginari puri: sistema criticamente smorzato
  •  : due poli positivi complessi coniugati stabili: sistema smorzato (è questo il caso di maggiore interesse)
  •  : due poli positivi reali stabili, se   coincidenti: sistema sovrasmorzato

Per i sistemi smorzati con smorzamento   esiste un picco di risonanza [9] il cui valore dipende dallo smorzamento   in corrispondenza della frequenza di risonanza   L'entità del picco di risonanza è inversamente proporzionale allo smorzamento. Se lo smorzamento è maggiore di   allora   e  

La banda [10] di un sistema smorzato del secondo ordine è  

Risposta al gradino dei sistemi smorzati

modifica

La risposta di un sistema ad un ingresso gradino unitario o risposta al gradino [11] [12] può essere usata per valutare le prestazioni di un sistema

  • Sovraelongazione massima:

[13] Se il sistema è smorzato ( ) la risposta al gradino ha un comportamento oscillatorio periodico con massimi e minimi ai tempi   per   intero, il valore della sovraelongazione dipende solo dallo smorzamento   ed è   il tempo in cui si raggiunge il massimo è  

  • Tempo di ritardo:

[14] Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta a raggiungere la metà del valore di regime  

  • Tempo di salita:

[15] Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta ad andare dal 10\% al 90\% del suo valore di regime  

  • Tempo di assestamento:

[16] si calcola un valore approssimato del tempo dopo cui la risposta non differisce di più del 5\% dal valore di regime

 

Se si desidera un assestamento al   del valore di regime, si considera  


Relazioni tra i parametri

modifica

Esistono delle dipendenze tra i parametri caratteristici del sistema e i parametri della sua risposta al gradino [17]

  • Al crescere di   la distanza dei poli dall'origine aumenta
  • Al crescere di   diminuisce l'angolo tra i poli e l'asse reale negativo rispetto all'origine
  • Al crescere di   il tempo di ritardo diminuisce e il sistema risponde più rapidamente
  • Al crescere di   il tempo di ritardo aumenta e il sistema risponde più lentamente
  • La banda è direttamente proporzionale alla pulsazione naturale non smorzata   e inversamente proporzionale al tempo di salita  ,

per cui aumentando la banda il sistema risponde più rapidamente

  • Al crescere del picco di risonanza aumenta la sovraelongazione massima

Riduzione dell'ordine dei sistemi

modifica

Poli dominanti

modifica

Si possono trascurare in fase di valutazione delle specifiche poli o zeri a frequenze molto elevate rispetto agli altri \vedilibro{rif:k}{422, sezione 7.8: Dominant poles of transfer function}

  1. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 105, sezione 4.2.5: Ritardo di tempo
  2. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 189, sezione 4-8: Systems with transportation lag
  3. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 881, Bode plot: Pure time delay
  4. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; sezione 4.3.3: Integratore
  5. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 107, sezione 4.3.2: Derivatore ideale
  6. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 112, sezione 4.4.4: Sistemi del primo ordine
  7. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 390, figura 7.15
  8. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 108, sezione 4.3.5: Pulsazione naturale e smorzamento
  9. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 544, sezione 9-2-1: Resonant peak and resonant frequency
  10. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 547, sezione 9-2-2: Bandwidth
  11. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 387, sezione 7-5: Transient response of a prototype second-order system
  12. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 119, sezione 4.4.5 parte terza: Sistemi con solo poli complessi coniugati
  13. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 394, sezione 7-5-3: Maximum overshoot
  14. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 396, sezione 7-5-4: Delay time and rise time
  15. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 396, sezione 7-5-4: Delay time and rise time
  16. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 398, sezione 7-5-5: Settling time
  17. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 550, figura 9-7