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[[線型代数学]]における'''対称双線型形式'''（たいしょうそうせんけいけいしき、{{lang-en-short|symmetric bilinear form, symmetric bilinear functional}}）は、[[ベクトル空間]]上の対称な[[双線型形式]]を言う。平たく言えば、実ベクトル空間上の[[標準内積]]を一般化した概念である。対称双線型形式は、直交極性や[[二次曲面 (射影幾何学)|二次曲面]]の研究に非常に重要である。
<!---{{Multiple issues|no footnotes = September 2011|technical = September 2011|refimprove = February 2010}}-->
'''対称双線型形式'''(symmetric bilinear form)は、ベクトル空間上の[[双線型形式]]であり、対称なものを言う。さらに単純には、ベクトル空間の元のペアをベクトル空間上の（スカラー）場へ写す函数で、函数の中のベクトル空間の元の順序は、写す場の元には影響を与えない。対称な双線型形式は、直交という方向性や[[二次曲面]](quadrics)の研究に非常に重要である。
対称文脈上、双線型形式について述べていると明らかな場合は、「双線型」とした上でまさ単に短く'''対称形式'''という条件を加えた呼ぶことものであり、る。対称双線型形式は[[二次形式]]に密接に関連と近している。詳しくいえば、両者の間関係には差異があり、このこと両者の差異に関する詳細は、{{仮リンク|ε-二次形式|en|ε-quadratic form}}の項目を参照。
<!---{{Multiple issues|no footnotes = September 2011|technical = September 2011|refimprove = February 2010}}
== 定義 ==
A '''symmetric bilinear form''' is a [[bilinear form]] on a [[vector space]] that is symmetric. More simply, it is a function that maps a pair of elements of the vector space to its underlying field in such a way that the order of the elements into the function does not affect the element of the field to which it maps. Symmetric bilinear forms are of great importance in the study of orthogonal polarity and [[quadric (projective geometry)|quadrics]].
{{mvar|V}} を体 {{mvar|K}} 上の有限次元[[ベクトル空間]]とする。[[写像]] {{math|''b'' : ''V'' × ''V'' → ''K''}} が、{{mvar|V}} 上の[[双線型形式]]であるとは、すべての[[ベクトル]]{{要曖昧さ回避|date=2021年7月}} {{math|''u'', ''v'', ''w'' ∈ ''V''}} と[[スカラー (数学)|スカラー]] {{math|''λ'' ∈ ''K''}} に対して次の3条件を満たすことである。
* <math>b(u + v, w) = b(u, w) + b(v, w)</math>
* <math>b(u, v + w) = b(u, v) + b(u, w) </math>
* <math>b(\lambda u, v) = \lambda b(u, v) = b(u, \lambda v)</math>
これらの3条件に加えて条件
* <math>b(u, v) = b(v, u)</math>
を満たすとき {{math|''b'' : ''V'' × ''V'' → ''K''}} を'''対称双線型形式'''という{{sfn|Scharlau|1985|p={{google books quote|id=c27pCAAAQBAJ|page=1|1}}|loc=Definition 1.1}}。
== 具体例 ==
They are also more briefly referred to as just '''symmetric forms''' when "bilinear" is understood. They are closely related to [[quadratic form]]s; for the details of the distinction between the two, see [[ε-quadratic form]]s.-->
平面 {{math|'''''R'''''<sup>2</sup>}} のベクトル {{math|''x'' {{=}} (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>)}} と {{math|''y'' {{=}} (''y''<sub>1</sub>, ''y''<sub>2</sub>)}} に対して
: <math> b(x, y) = x_1 y_1 + x_2 y_2 </math>
で定まる[[標準内積]] {{math|''b'' : '''''R'''''<sup>2</sup> × '''''R'''''<sup>2</sup> → '''''R'''''}} は対称双線型形式である。また
: <math> b'(x, y) = x_1 y_1 - x_2 y_2 </math>
で定まる写像 {{math|''b′'' : '''''R'''''<sup>2</sup> × '''''R'''''<sup>2</sup> → '''''R'''''}} や
: <math> b_0(x, y) = 0 </math>
で定まる自明な写像 {{math|''b''<sub>0</sub> : '''''R'''''<sup>2</sup> × '''''R'''''<sup>2</sup> → '''''R'''''}} なども対称双線型形式である。
==定義 表現行列 ==
有限次元ベクトル空間 {{math|''V''}} の[[基底 (線型代数学)|基底]] {{math|''E'' {{=}} {{mset|''e''<sub>1</sub>, …, ''e''<sub>''n''</sub>}}}} をひとつ固定する。このとき {{mvar|V}} 上の双線型形式 {{math|''b''}} に対して {{mvar|n}} 次正方行列 {{math|''B'' {{=}} (''b''<sub>''ij''</sub>)}} を
V を体 K 上の n次元ベクトル空間とする。[[函数 (数学)|写像]] <math>B : V\times V\rightarrow K:(u,v)\mapsto B(u,v)</math> が、V 上で対称双線型形式とは、次の条件を満たすことである。
*: <math>B(u,v)b_{ij} =B b(ve_i,u e_j) \ \quad \forall u,v \in V</math>
で定義する。これを双線型形式 {{mvar|b}} の基底 {{mvar|E}} に関する'''表現行列'''という。表現行列 {{mvar|B}} は、双線型形式 {{mvar|b}} が対称であるとき、かつそのときに限り[[対称行列]]である{{sfn|Scharlau|1985|p={{google books quote|id=c27pCAAAQBAJ|page=4|4}}}}。ベクトル {{math|''u'' {{=}} {{subsup|∑|''i'' {{=}} 1|''n''}} ''u<sub>i</sub> e<sub>i</sub>'', ''v'' {{=}} {{subsup|∑|''j'' {{=}} 1|''n''}} ''v<sub>j</sub> e<sub>j</sub>'' ∈ ''V''}} に対して値 {{math|''b''(''u'', ''v'')}} は表現行列 {{mvar|B}} を用いて
* <math>B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w \in V</math>
*: <math>Bb(\lambdau, v,w) =\lambda B(v[u_1,w)\ \quaddotsc, \forallu_n] \lambdaB \inbegin{bmatrix}v_1\\ K,\forall v,wvdots\\ v_n\in Vend{bmatrix}</math>
と表される。逆に（対称）行列 {{mvar|B}} が与えられると（対称）双線型形式 {{mvar|b}} が上の関係式から定まる。
新たな基底 {{math|''E′'' {{=}} {{mset|''e′''<sub>1</sub>, …, ''e′''<sub>''n''</sub>}}}} をとり、基底の変換行列 {{math|''S'' {{=}} (''s<sub>ij</sub>'')}} が {{math|''e′''<sub>''j''</sub> {{=}} {{subsup|∑|''i'' {{=}} 1|''n''}} ''s<sub>ij</sub> e<sub>i</sub>''}} で与えられているとする。このとき、 双線型形式 {{mvar|b}} の基底 {{mvar|E′}} に関する表現行列 {{mvar|B′}} は
最後の 2つの項目は、単に最初の項目の線型性を意味しているが、最初の項目より直ちに第二の項目の線型性も従う。<!---==Definition==
: <math>B' =S^{\top}\!B S</math>
Let '' V'' be a vector space of dimension ''n'' over a field ''K''. A [[function (mathematics)|map]] <math>B : V\times V\rightarrow K:(u,v)\mapsto B(u,v)</math> is a symmetric bilinear form on the space if:
で与えられる{{sfn|Scharlau|1985|p={{google books quote|id=c27pCAAAQBAJ|page=5|5}}|loc=Lemma 2.1}}。
* <math>B(u,v)=B(v,u) \ \quad \forall u,v \in V</math>
* <math>B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w \in V</math>
* <math>B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w \in V</math>
== 二次形式 ==
The last two axioms only imply linearity in the first argument, but the first immediately implies linearity in the second argument then too.-->
{{mvar|V}} 上の対称双線型形式 {{math|''b''}} に対して {{math|''q'' : ''V'' → ''K''}} を
: <math> q(v) = b(v, v) \qquad (v \in V)</math>
で定める。これを {{mvar|V}} 上の[[二次形式]]という。
{{節スタブ}}
== 直交性と特異性 ==
==行列表現==
双線型形式は対称ならば[[反射的双線型形式|反射的]]である。ふたつのベクトル {{math|''v'', ''w'' ∈ ''V''}} が {{mvar|V}} 上の対称双線型形式 {{mvar|b}} に関して'''直交する'''とは {{math|1=''b''(''v'', ''w'') = 0}} が成り立つことをいう。（反射性より、これは {{math|1=''b''(''w'', ''v'') = 0}} と同値。）これを記号 {{math|''v'' ⊥ ''w''}} で表す{{sfn|Scharlau|1985|p={{google books quote|id=c27pCAAAQBAJ|page=2|2}}|loc=Definition 1.2}}。
<math>C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}</math> を V の基底とし、n × n 行列 A を <math>A_{ij}=B(e_{i},e_{j})</math> で定義する。行列 A は双線型形式のため[[対称行列]]となっている。n × 1 行列 x は、この基底についてベクトル v を表現し、同様に y は w を表現するとすると、<math>B(v,w)</math> は、
部分集合 {{math|''X'' ⊆ ''V''}} に対して {{mvar|X}} のすべてのベクトルと直交するベクトル全体からなる集合を {{math|''X''<sup>⊥</sup>}} と表す{{sfn|Scharlau|1985|p={{google books quote|id=c27pCAAAQBAJ|page=2|2}}|loc=Definition 1.2}}。これは {{mvar|V}} の部分空間となる{{sfn|Scharlau|1985|p={{google books quote|id=c27pCAAAQBAJ|page=2|2}}|loc=Lemma 1.3}}。とくに {{math|''V''<sup>⊥</sup>}} は対称双線型形式 {{math|''b''}} の'''根基''' (''radical'') と呼ばれる{{sfn|Scharlau|1985|p={{google books quote|id=c27pCAAAQBAJ|page=7|7}}}}。
:<math>x^\mathsf{T} A y=y^\mathsf{T} A x</math>
ベクトル {{mvar|v}} が根基に属するための必要十分条件は、適当な基底 {{mvar|E}} に関する表現行列 {{mvar|B}} を用いて述べれば、{{mvar|v}} を {{mvar|E}} に関して列ベクトルと同一視したとき <math>Bv = 0</math> が成り立つことである。これは <math>v^{\top} B = 0</math> とも同値である。
対称双線型形式 {{mvar|b}} が'''特異''' (''singular'') であるとは、その根基が非自明なことをいう。また対称双線型形式 {{mvar|b}} が[[非退化双線型形式|'''非退化''']]あるいは非特異 (''non-degenerate'', ''non-singular'') であるとは、特異でないことをいう。これは随伴写像
により与えられる。C' を V の次のような他の基底とする。
:<math> \begin{bmatrix}e'_{1}hat &b \cdotscolon &V e'_{n}\end{bmatrix} =to V^\ast,\begin{bmatrix}e_{1} &v \cdotsmapsto &b(v, e_{n-}\end{bmatrix}S) </math>
が同型写像であることと同値である{{sfn|Scharlau|1985|p={{google books quote|id=c27pCAAAQBAJ|page=7|7}}|loc=Corollary 3.2}}。ただし {{math|''V''*}} は {{mvar|V}} の[[双対空間]] {{math|Hom(''V'', ''K'')}} である。対称双線型形式 {{mvar|b}} が非退化ならば {{mvar|V}} の部分空間 {{mvar|W}} に対し {{math|''W''<sup>⊥</sup>}} の次元は {{math|1=dim ''W''<sup>⊥</sup> = dim ''V'' − dim ''W''}} である{{sfn|Scharlau|1985|p={{google books quote|id=c27pCAAAQBAJ|page=9|9}}|loc=Lemma 3.11}}。
ここに S は可逆な n × n 行列とする。
== 直交基底 ==
ここで、対称双線型形式の新しい行列表現は次で与えられる。
{{mvar|V}} の基底 {{math|''E'' {{=}} {{mset|''e''<sub>1</sub>, …, ''e''<sub>''n''</sub>}}}} が {{mvar|V}} 上の対称双線型形式 {{mvar|b}} に関して直交するとは、
: <math>b(e_i, e_j) = 0\quad (\forall i \neq j)</math>
が成り立つことを言う。基礎体の[[標数]]が {{math|2}} でないとき、{{mvar|V}} は常に直交基底を持つ{{sfn|Milnor|Husemoller|1973|p={{google books quote|id=vGPyCAAAQBAJ|page=6|6}}|loc=Corollary 3.4}}{{sfn|Scharlau|1985|p={{google books quote|id=c27pCAAAQBAJ|page=7|7}}|loc=Theorem 3.5}}。このことの証明は[[数学的帰納法]]による。
基底 {{mvar|E}} が {{mvar|b}} に関して直交するための必要十分条件は、その表現行列 {{mvar|B}} が[[対角行列]]となることである。
:<math>A' =S^\mathsf{T} A S .</math>
<!---==Matrix representation==
Let <math>C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}</math> be a basis for ''V''. Define the ''n''×''n'' matrix ''A'' by <math>A_{ij}=B(e_{i},e_{j})</math>. The matrix ''A'' is a [[symmetric matrix]] exactly due to symmetry of the bilinear form. If the ''n''×1 matrix ''x'' represents a vector ''v'' with respect to this basis, and analogously, ''y'' represents ''w'', then <math>B(v,w)</math> is given by :
=== 符号数とシルベスターの慣性法則 ===
:<math>x^\mathsf{T} A y=y^\mathsf{T} A x.</math>
最も一般の場合に[[シルベスターの慣性法則]]の主張は[[順序体]] ''K'' 上で意味を持ち、表現行列の対角成分の {{math|0}} である個数、正である個数、負である個数が、直交基底の選択には依存しないことを主張する。これらの 3つの数値は、双線型形式の[[二次形式#実二次形式|符号数]]と呼ばれる。
=== 実係数の場合===
Suppose '' C' '' is another basis for ''V'', with :
実数体上の空間を考える場合には、もう少し詳しく述べることができる。{{math|{{mset|''e''<sub>1</sub>, …, ''e''<sub>''n''</sub>}}}} を直交基底とする。
<math>\begin{bmatrix}e'_{1} & \cdots & e'_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e_{1} & \cdots & e_{n}\end{bmatrix}S</math>
with ''S'' an invertible ''n''×''n'' matrix.
Now the new matrix representation for the symmetric bilinear form is given by
:<math>A' =S^\mathsf{T} A S .</math>-->
==直交性と特異性==
対称双線型形式は、いつでも{{仮リンク|反射的双線型形式|label=反射的|en|bilinear form#Reflexive bilinear form}}(reflexive)である。2つのベクトル v と w は、{{nowrap|1=''B''(''v'', ''w'') = 0}} であれば、双線型形式 B に対して直交であることを定義する。反射性のおかげで、このことは {{nowrap|1=''B''(''w'', ''v'') = 0}} と同値である。
双線型形式 B の'''根基'''(radical)は、V の中の全てのベクトルと直交するベクトルの集合である。この根基が V の部分ベクトル空間であることは、B の線型性からある議論を経て従う。ある基底について行列表現 A がうまく機能するとき、x で表現されている v が根基であることと次は同値である。
:<math>A x = 0 \Longleftrightarrow x^\mathsf{T} A = 0 .</math>
行列 A が特異とは、根基が非自明であることを言う。
W が V の部分集合であれば、その'''[[直交補空間]]''' W<sup>⊥</sup> を W の全てのべクトルに直交する V の全てのベクトルの集合とする。この空間は V の部分空間で、B が非退化のとき、B の根基は自明で W<sup>⊥</sup> の次元は {{nowrap|1=dim(''W''<sup>⊥</sup>) = dim(''V'') − dim(''W'')}} である。
<!---==Orthogonality and singularity==
A symmetric bilinear form is always [[Reflexive bilinear form|reflexive]]. Two vectors ''v'' and ''w'' are defined to be orthogonal with respect to the bilinear form ''B'' if {{nowrap|1=''B''(''v'', ''w'') = 0}}, which is, due to reflexivity, equivalent to {{nowrap|1=''B''(''w'', ''v'') = 0}}.
The '''radical''' of a bilinear form ''B'' is the set of vectors orthogonal with every vector in ''V''. That this is a subspace of ''V'' follows from the linearity of ''B'' in each of its arguments. When working with a matrix representation ''A'' with respect to a certain basis, ''v'', represented by ''x'', is in the radical if and only if
:<math>A x = 0 \Longleftrightarrow x^\mathsf{T} A = 0 .</math>
The matrix ''A'' is singular if and only if the radical is nontrivial.
If ''W'' is a subset of ''V'', then its ''[[orthogonal complement]]'' ''W''<sup>⊥</sup> is the set of all vectors in ''V'' that are orthogonal to every vector in ''W''; it is a subspace of ''V''. When ''B'' is non-degenerate, the radical of ''B'' is trivial and the dimension of ''W''<sup>⊥</sup> is {{nowrap|1=dim(''W''<sup>⊥</sup>) = dim(''V'') − dim(''W'')}}.-->
==直交基底==
基底 <math>C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}</math> は B について直交であることと、次は同値である。
:<math>B(e_{i},e_{j}) = 0\ \forall i \neq j.</math>
体の[[標数]]が 2 でない場合には、V はいつも直交基底を持つ。このことは[[数学的帰納法]]により証明することができる。
基底 C が直交であることと、行列表現 A が[[対角行列]]であることは同値である。
<!---==Orthogonal basis==
A basis <math>C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}</math> is orthogonal with respect to ''B'' if and only if :
:<math>B(e_{i},e_{j}) = 0\ \forall i \neq j.</math>
When the [[characteristic (algebra)|characteristic]] of the field is not two, ''V'' always has an orthogonal basis. This can be proven by [[mathematical induction|induction]].
A basis ''C'' is orthogonal if and only if the matrix representation ''A'' is a [[diagonal matrix]].-->
<!---===Signature and Sylvester's law of inertia===
In its most general form, [[Sylvester's law of inertia]] says that, when working over an [[ordered field]] ''K'', the number of diagonal elements equal to 0, or that are positive or negative, is independent of the chosen orthogonal basis. These three numbers form the [[signature (quadratic form)|signature]] of the bilinear form.-->
<!---===Real case===
When working in a space over the reals, one can go a bit a further. Let <math>C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}</math> be an orthogonal basis.
We define a new basis <math>C'=\{e'_1,\ldots,e'_n\}</math>
新たな直交基底 {{math|{{mset|''e′''<sub>1</sub>, …, ''e′''<sub>''n''</sub>}}}} を
:<math>
e'_i = \begin{cases}
e_i & \text{if } Bb(e_i,e_i)=0 \\
\frac{e_i}{/\sqrt{B+b(e_i,e_i)}} & \text{if } Bb(e_i,e_i) >0\\
\frac{e_i}{/\sqrt{-Bb(e_i,e_i)}} & \text{if } Bb(e_i,e_i) <0
\end{cases}
</math>
で定義すると、新たな表現行列 {{math|''B''}} は対角線上に {{math|0, +1, −1}} のみを成分に持つ対角行列になる。{{math|0}} が現れるのは、根基が非自明となるときであり、かつそのときに限る。
=== 複素係数の場合 ===
Now, the new matrix representation ''A'' will be a diagonal matrix with only 0, 1 and −1 on the diagonal. Zeroes will appear if and only if the radical is nontrivial.-->
複素数体上の空間を扱う場合も、同様に詳しくしかもより平易な形に述べることができる。{{math|{{mset|''e''<sub>1</sub>, …, ''e''<sub>''n''</sub>}}}} を直交基底とする。
<!---===Complex case===
When working in a space over the complex numbers, one can go further as well and it is even easier.
Let <math>C=\{e_1,\ldots,e_n\}</math> be an orthogonal basis.
We define a new basis <math>C'=\{e'_1,\ldots,e'_n\}</math> :
新たな基底 {{math|{{mset|''e′''<sub>1</sub>, …, ''e′''<sub>''n''</sub>}}}} を
:<math>
e'_i = \begin{cases}
e_i & \text{if }\; Bb(e_i,e_i)=0 \\
e_i/\sqrt{Bb(e_i,e_i)} & \text{if }\; Bb(e_i,e_i) \neq 0\\
\end{cases}
</math>
で定義すると、新たな表現行列 {{math|''B''}} は対角線上に {{math|0}} と {{math|1}} のみを成分に持つ対角行列となる。{{math|0}} が現れるのは根基が非自明なときであり、かつそのときに限る。
== 直交偏極 ==
Now the new matrix representation ''A'' will be a diagonal matrix with only 0 and 1 on the diagonal. Zeroes will appear if and only if the radical is nontrivial.-->
{{出典の明記|date=2017年7月|section=1}}
[[標数]]が {{math|2}} でない体 {{math|''K''}} の上のベクトル空間 {{math|''V''}} 上で定義される、自明な根基を持つ対称双線型形式 {{math|''b''}} に対し、{{math|''V''}} の部分空間全体の成す集合 {{math|''D''(''V'')}} からそれ自身への写像
<!---==Orthogonal polarities==
: <math>\alpha\colon D(V)\to D(V) ,\; W\mapsto W^{\perp}</math>
Let ''B'' be a symmetric bilinear form with a trivial radical on the space ''V'' over the field ''K'' with [[characteristic (algebra)|characteristic]] not 2. One can now define a map from D(''V''), the set of all subspaces of ''V'', to itself:
を定義することができる。この写像は[[射影空間]] {{math|PG(''W'')}} 上の'''直交極性''' (orthogonal polarity) である。逆に、すべての直交極性はこの方法により得られる、自明な根基を持つ二つの対称双線型形式が同じ極性を持つための必要十分条件は、それらがスカラー倍の違いを除いて一致することである。
== 出典 ==
:<math>\alpha:D(V)\rightarrow D(V) :W\mapsto W^{\perp}.</math>
{{reflist|2}}
== 参考文献 ==
This map is an '''orthogonal polarity''' on the [[projective space]] PG(''W''). Conversely, one can prove all orthogonal polarities are induced in this way, and that two symmetric bilinear forms with trivial radical induce the same polarity if and only if they are equal up to scalar multiplication.-->
* {{cite book | first1=J. | last1=Milnor | author1-link=John Milnor| first2=D. | last2=Husemoller | title=Symmetric Bilinear Forms | url={{google books|vGPyCAAAQBAJ|plainurl=yes}} | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete | volume=73 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1973 | isbn=3-540-06009-X | doi=10.1007/978-3-642-88330-9 | mr=0506372 | zbl=0292.10016 | ref = harv }}
* {{cite book
|last1 = Scharlau
|first1 = W.
|year = 1985
|title = Quadratic and Hermitian Forms
|series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
|volume = 270
|url = {{google books|c27pCAAAQBAJ|plainurl=yes}}
|publisher = Springer-Verlag
|isbn = 3-540-13724-6
|mr = 0770063
|zbl = 0584.10010
|doi = 10.1007/978-3-642-69971-9
|ref = harv
}}
== 外部リンク ==
==参考文献==
* {{cite book | last1=Adkins | first1=William A. | last2=Weintraub | first2=Steven H. | title=Algebra: An Approach via Module Theory | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=136 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1992 | isbn=3-540-97839-9 | zbl=0768.00003 }}
* {{cite book | first1=J. | last1=Milnor | author1-link=John Milnor| first2=D. | last2=Husemoller | title=Symmetric Bilinear Forms | series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]] | volume=73 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1973 | isbn=3-540-06009-X | zbl=0292.10016 }}
* {{MathWorld|title=Symmetric Bilinear Form|urlname=SymmetricBilinearForm}}
* {{PlanetMath|title=symmetric bilinear form|urlname=SymmetricBilinearForm}}
* {{nlab|title=bilinear form|urlname=symmetric+bilinear+form}}
* {{ProofWiki|title=Definition:Symmetric Bilinear Form|urlname=Definition:Symmetric_Bilinear_Form}}
{{math-stub}}
{{DEFAULTSORT:たいしようそうせんけいけいしき}}
[[Category:双線型形式代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
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