区分線形関数

区分線形関数（英: Piecewise linear function）とは、次の式

$f:\Omega \to V$

で表される。ここで、V はベクトル空間、 $\Omega$ はベクトル空間の部分集合である。このとき、 $\Omega$ は有限個の凸多面体に分解でき、f はそれぞれの多面体上の一次関数に等しい。

特殊な場合として、f が区間 $[x_{1},x_{2}]$ で実数値関数である場合がある。このとき、 $[x_{1},x_{2}]$ を有限個の区間に分割でき、それぞれの区間 I について f が下記の線形関数と等しいときのみ、f は区分線形であると言える。

f(x) = a_Ix + b_I

絶対値関数 $f(x)=|x|$ は区分線形関数のよい例である。他にも、矩形波関数、のこぎり波関数、床関数などがある。

区分線形関数の重要な下位クラスとして、連続区分線形関数と凸区分線形関数がある。スプラインは、区分線形関数を高次多面体に一般化したものである。

関連項目