一般相対性原理 （いっぱんそうたいせいげんり、英 : general principle of relativity ）とは、一般相対性理論 においてアルベルト・アインシュタイン が仮設として導入した原理の一つで「物理学の法則は、任意の仕方で運動している座標系に関していつも成立する」[ 1] 慣性系 間の座標変換に関する命題である特殊相対性原理 を、一般相対性理論の対象である重力場を含む加速度系についても適用できるように拡張したものとして提案された。
なお、一般相対性原理をより数学的に具体的に拡張した主張として一般共変性原理 がある。これは、「自然の一般法則は、すべての座標系に対して成り立つ、すなわち任意の座標変換に対して一般共変な方程式で表される」あるいは「一般座標変換によって物理法則は不変である」という命題からなり、数学的には、自然の法則がテンソルのすべての成分がゼロになるということで定式化されるべきであることを主張する[ 2]
具体的に考えるため、仮に座標系
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}}
X
(
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
)
+
α
Y
(
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
)
−
A
(
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
0
{\displaystyle X(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})+\alpha Y(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})-A(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})={\mathbf {0}}}
について考える。この法則が一般相対性原理（一般共変性原理）を満たすとは次のことを意味する。この法則の座標系
x
′
0
,
x
′
1
,
x
′
2
,
x
′
3
{\displaystyle x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3}}
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}}
X
,
Y
,
A
{\displaystyle X,Y,A}
∂
x
′
a
∂
x
j
⋯
∂
x
′
c
∂
x
l
X
(
x
′
0
,
x
′
1
,
x
′
2
,
x
′
3
)
+
α
∂
x
′
d
∂
x
m
⋯
∂
x
′
f
∂
x
o
Y
(
x
′
0
,
x
′
1
,
x
′
2
,
x
′
3
)
−
∂
x
′
g
∂
x
p
⋯
∂
x
′
i
∂
x
r
A
(
x
′
0
,
x
′
1
,
x
′
2
,
x
′
3
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial x'^{a}}{\partial x^{j}}}\cdots {\frac {\partial x'^{c}}{\partial x^{l}}}X(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})+\alpha {\frac {\partial x'^{d}}{\partial x^{m}}}\cdots {\frac {\partial x'^{f}}{\partial x^{o}}}Y(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})-{\frac {\partial x'^{g}}{\partial x^{p}}}\cdots {\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{r}}}A(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})={\mathbf {0}}}
となり[要出典 各項は式の形状が変わり得る。ここで、各項
X
,
Y
,
A
{\displaystyle X,Y,A}
テンソル と呼ばれるものはそのような性質を持つ）、左辺の各項の変換係数が一致するため、上記の式は以下のように変形できる。
∂
x
′
a
∂
x
j
⋯
∂
x
′
c
∂
x
l
{
X
(
x
′
0
,
x
′
1
,
x
′
2
,
x
′
3
)
+
α
Y
(
x
′
0
,
x
′
1
,
x
′
2
,
x
′
3
)
−
A
(
x
′
0
,
x
′
1
,
x
′
2
,
x
′
3
)
}
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial x'^{a}}{\partial x^{j}}}\cdots {\frac {\partial x'^{c}}{\partial x^{l}}}\left\{X(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})+\alpha Y(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})-A(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})\right\}={\mathbf {0}}}
座標変換により現れた係数はゼロでないため、上記の関係を満たすには括弧内がゼロでなければならず、結局、座標系
x
′
0
,
x
′
1
,
x
′
2
,
x
′
3
{\displaystyle x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3}}
X
(
x
′
0
,
x
′
1
,
x
′
2
,
x
′
3
)
+
α
Y
(
x
′
0
,
x
′
1
,
x
′
2
,
x
′
3
)
−
A
(
x
′
0
,
x
′
1
,
x
′
2
,
x
′
3
)
=
0
{\displaystyle X(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})+\alpha Y(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})-A(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})={\mathbf {0}}}
とならなくてはならない。このテンソルの各項はもとの座標系の項とイコールではないが、式全体の関係は変わっていない。一般相対性原理は、テンソルで記述された物理法則は座標変換に関して上記のような性質を持つと仮定するものである。
英語版ウィキソースに本記事に関連した原文があります。
リーマン、リッチ、レビ＝チビタ、アインシュタイン、マイヤー 著、矢野健太郎 （訳） 編『リーマン幾何とその応用』共立出版、1971年。
