対象の含まれる圏 C 、対象間の同型射 ∼ が与えられているとする。
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を満たすような関手 f: C → D(による像)を、D に値をとる C の不変量という。定義より、相異なる不変量をもつ二つの対象は互いに異なるが、さらに、
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が言えるとき、この不変量は完全であるという。
- ホモロジー群は、複体のホモトピー同型性に関しての不変量である。
- オイラー標数はホモロジー群の群同型性に関しての不変量であり、したがって複体のホモトピー同型性に関しての不変量である。
- 結び目不変量は、結び目の同型性に関しての不変量である。
- グラフの頂点数は、グラフの同型性に関しての不変量である。
- 図形の面積(測度)は合同性に関しての不変量である。
- 写像度は写像のホモトピック性に関しての不変量である。