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直交座標系（ちょっこうざひょうけい、英: rectangular coordinate system, 英: orthogonal coordinate system^{[注 1]}）とは、互いに直交している座標軸を指定することによって定まる座標系のことである。平面上の直交座標系ではそれぞれの点に対して一意に定まる2つの実数の組によって点の位置を指定する。同様にして空間上の直交座標系では座標は3つの実数の組で与えられる。

『方法序説』^[6]^[7]^[8]（1637年）を発表し、平面上の座標の概念を確立したルネ・デカルトの名を採って、デカルト座標系 (英: Cartesian coordinate system) とも呼ぶ。

平面上の直交座標系[編集]

まず平面上に数直線を1本引く。この直線を x 軸と呼ぶことにする。x 軸に対して直角に直線を引いた直線上の全ての点は、同じ x 座標の値をとると定める。次にこの x 軸に対して、原点から直角にもう1本数直線を引く。これを y 軸と呼ぶことにする。y 軸も x 軸と同様に y 軸に対して直角に直線を引いた直線上の全ての点は、同じ y 座標の値をとると定める。

座標軸の向きには任意性があるが、通常は y 軸の正の向きは x 軸の正の向きから一直角分、反時計回りに回転した向き（右手系）とする。また一般に x 軸は水平方向に右の方向を正の向きにして引き、そのとき y 軸は垂直方向に上方向が正の向きとなる。

平面上の点ごとに実数の対 (a, b) が一意に定まり、その点を通ってx 軸上の点 a においてx軸と直角に交わる直線と、その点を通ってy 軸に b で直角に交わる直線を引くと、それぞれ1本に限定される。このとき、この交点の座標は (a, b) である。x 軸とy 軸が交わる点を原点とよび、原点の座標は (0, 0) になる。

象限[編集]

x 座標もy 座標も正の値をとる点からなる領域を、第一象限とよぶ。また x 座標が負でy 座標が正の値をとる点が占める領域は第二象限、x 座標もy 座標も負の値をとる点が構成する領域を第三象限、x 座標が正でy 座標が負の値をとる領域は第四象限とよぶ。

高次元の直交座標系[編集]

3次元空間の直交座標系は空間内で互いに直交する3本の数直線 x軸、 y軸、z軸を決めて定める。平面の場合と同様に、空間のそれぞれの点に対しその点から各座標軸への垂線の交点を表す実数たちの組 (a, b, c) によって座標が与えられる。3つの軸の向きは右手系の向きにとられるのが普通である。また各座標軸の配置は、 x 軸と y 軸を含む平面（xy-平面）が水平で、z 軸の向きはxy-平面に対し鉛直上向きとなるよう置くことが多い。

右図では3本の線が座標軸を表し、赤い平面上の点は x 座標が1、黄色い平面上の点は y 座標が -1、青い平面上の点は z 座標が1である。黒い点の座標は (1, -1, 1) になる。

より一般に、d 次元の実内積空間 E に対し、その正規直交基底 (e₁, …, e_d) に関する座標は「直交座標系」とよばれる。

応用[編集]

地形情報を書き表して災害対策に用いたり、

脚注[編集]

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注釈[編集]

^ 文脈によっては orthogonal coordinate system はより一般の、一つの座標成分のみを動かして得られる座標曲線たちが互いに直交しているような直交曲線座標系をさすことがある。

出典[編集]

^ デカルト「幾何学」原亨吉訳『デカルト著作集 1』増補版（白水社、2001年）ISBN 4-560-02525-8、国立国会図書館書誌ID:3073959
^ Descartes, René『幾何学』原亨吉訳（筑摩書房〈ちくま学芸文庫、[テ6-4]〉2013年）、NCID BB13710542。白水社版（2001年）を文庫化。
^ Descartes, René『方法叙説』小泉義之訳（講談社〈講談社学術文庫、[2700]〉、2022年）ISBN 9784065267295、NCID BC12084323。
^ Descartes, René. The geometry of René Descartes. Smith, David Eugene ; Latham, Marcia L. 訳、Open court、1925年。NCID BA56636047。
^ デカルト『方法についての議論：理性をよく動かし、科学の中に真実を求めること。詳細、視度。流星—ならびにこの方法の試験版としての幾何学』（フランス語） Jean-Robert Armogathe、ヴァンサン・カラウド改訂（フェイヤール〈フランス語の哲学書コーパス〉、1986年頃）Armogathe, Jean Robert ; Carraud, Vincent. Discours de la méthode : pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences ; plus, La dioptrique ; Les météores ; et, La géométrie qui sont des essais de cete méthode. Fayard, 1986 (Corpus des œuvres de philosophie en langue française). ISBN 2213016992、NCID BA01288021。
^ デカルト論考「幾何学」の翻訳版は原亨吉訳（白水社、2001年）^[1]ほか、発行年順に示す。2013年原亨訳^[2]、2022年小泉義之訳^[3]、1925年英語訳^[4]。原書の改訂版（フェイヤール〈フランス語の哲学書コーパス〉、1986年頃）^[5]。
^ Descartes (1637). Ian Maire. ed (フランス語). Discours de la methode : pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences. Plus la dioptrique, les meteores, et la geometrie, qui sont des essais de cette methode. NCID BB21963860
^ R・デカルト. “付録” (英語). 理性を正しく導き、もろもろの科学における真理を探究するための方法序説. コーネル大学図書館. オリジナルの2009-02-15時点におけるアーカイブ。. "La Géométrie"

参考文献[編集]

主な執筆者、編者の順。

細山田得三「直交座標系での地形情報の表現とその洪水氾濫への適用について」『長岡技術科学大学研究報告』24巻、45-53頁、長岡技術科学大学、2002-01-15。 CRID 1050845762966808192、ISSN 0388-5631。
小渡悟、0D0, Satoru「対数極座標空間の高次局所自己相関特徴を用いたポインティングデバイスの提案」『沖縄大学マルチメディア教育研究センター紀要』4号、57-70頁、沖縄大学マルチメディア教育研究センター、2004-03-31。 CRID 1050853796606494336。ISSN 1346-4264。掲載誌別題『The Bulletin of Multimedia Education and Research Center, University of Okinawa』。
白田由香利「固有値の概念の教授法 : 経営学科に適した線型代数の教授法」『學習院大學經濟論集』第50巻第1号、学習院大学経済学会、2013年4月、31-42頁。 CRID 1050001202932009344、ISSN 0016-3953。

外部リンク[編集]

ブリタニカ国際大百科事典小項目事典『直交座標系』 - コトバンク

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[1] 文脈によっては orthogonal coordinate system はより一般の、一つの座標成分のみを動かして得られる座標曲線たちが互いに直交しているような直交曲線座標系をさすことがある。

[2] デカルト「幾何学」原亨吉訳『デカルト著作集 1』増補版（白水社、2001年）ISBN 4-560-02525-8、国立国会図書館書誌ID:3073959

[3] Descartes, René『幾何学』原亨吉訳（筑摩書房〈ちくま学芸文庫、[テ6-4]〉2013年）、NCID BB13710542。白水社版（2001年）を文庫化。

[4] Descartes, René『方法叙説』小泉義之訳（講談社〈講談社学術文庫、[2700]〉、2022年）ISBN 9784065267295、NCID BC12084323。

[5] Descartes, René. The geometry of René Descartes. Smith, David Eugene ; Latham, Marcia L. 訳、Open court、1925年。NCID BA56636047。

[6] デカルト『方法についての議論：理性をよく動かし、科学の中に真実を求めること。詳細、視度。流星—ならびにこの方法の試験版としての幾何学』（フランス語） Jean-Robert Armogathe、ヴァンサン・カラウド改訂（フェイヤール〈フランス語の哲学書コーパス〉、1986年頃）Armogathe, Jean Robert ; Carraud, Vincent. Discours de la méthode : pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences ; plus, La dioptrique ; Les météores ; et, La géométrie qui sont des essais de cete méthode. Fayard, 1986 (Corpus des œuvres de philosophie en langue française). ISBN 2213016992、NCID BA01288021。

[7] デカルト論考「幾何学」の翻訳版は原亨吉訳（白水社、2001年）^[1]ほか、発行年順に示す。2013年原亨訳^[2]、2022年小泉義之訳^[3]、1925年英語訳^[4]。原書の改訂版（フェイヤール〈フランス語の哲学書コーパス〉、1986年頃）^[5]。

[8] Descartes (1637). Ian Maire. ed (フランス語). Discours de la methode : pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences. Plus la dioptrique, les meteores, et la geometrie, qui sont des essais de cette methode. NCID BB21963860

[9] R・デカルト. “付録” (英語). 理性を正しく導き、もろもろの科学における真理を探究するための方法序説. コーネル大学図書館. オリジナルの2009-02-15時点におけるアーカイブ。. "La Géométrie"

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+{{Otheruses|デカルト座標系|座標超曲面が互いに直交する曲線座標系|直交曲線座標}}
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-数学における'''直交座標系'''（ちょっこうざひょうけい、{{Lang-en-short|''rectangular coordinate system''}}, {{Lang-en-short|''orthogonal coordinate system''}}<ref>文脈によっては {{Lang|en|orthogonal coordinate system}} はより一般の、一つの座標成分のみを動かして得られる座標曲線たちが互いに直交しているような[[直交曲線座標|直交曲線座標系]]をさすことがある。</ref>）とは、互いに直交している[[座標軸]]を指定することによって定まる[[座標|座標系]]のことである。[[平面]]上の直交座標系ではそれぞれの点に対して一意に定まる二つの[[実数]]の組によって点の位置が指定される。同様にして[[空間]]上の直交座標系では三つの実数の組によって座標が与えられる。
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-年に発表された『[[方法序説]]』<ref>R・デカルト 『理性を正しく導き、もろもろの科学における真理を探究するための方法序説』付録 ''[[:en:La Géométrie|La Géométrie]]'', [http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=00570001 コーネル大学図書館]{{リンク切れ|date=2015年9月}}</ref>において平面上の座標の概念を確立した[[ルネ・デカルト]]の名を採って'''デカルト座標系''' (''Cartesian coordinate system'') とも呼ぶ。
 ==平面上の直交座標系==
-[[Image:Cartesian_coordinates_2D.svg|thumb|360px|right|直交座標系による平面上の点の座標と四つの象限]]
+[[Image:Cartesian_coordinates_2D.svg|thumb|360px|right|直交座標系による平面上の点の座標と4つの象限]]
+まず平面上に[[数直線]]を1本引く。この直線を ''x'' '''軸'''と呼ぶことにする。''x'' 軸に対して直角に直線を引いた直線上の全ての点は、同じ ''x'' 座標の値をとると定める。次にこの ''x'' 軸に対して、原点から直角にもう1本数直線を引く。これを ''y'' '''軸'''と呼ぶことにする。''y'' 軸も ''x'' 軸と同様に ''y'' 軸に対して直角に直線を引いた直線上の全ての点は、同じ ''y'' 座標の値をとると定める。
+座標軸の向きには任意性があるが、通常は ''y'' 軸の正の向きは ''x'' 軸の正の向きから一直角分、反時計回りに回転した向き（[[右手系]]）とする。また一般に ''x'' 軸は水平方向に右の方向を正の向きにして引き、そのとき ''y'' 軸は垂直方向に上方向が正の向きとなる。
-まず平面上に[[数直線]]を一本引く。この直線を ''x'' '''軸'''と呼ぶことにする。''x'' 軸に対して直角に直線を引いた直線上の全ての点は、同じ ''x'' 座標の値をとると定める。次にこの ''x'' 軸に対して、原点から直角にもう一本数直線を引く。これを ''y'' '''軸'''と呼ぶことにする。''y'' 軸も ''x'' 軸と同様に ''y'' 軸に対して直角に直線を引いた直線上の全ての点は、同じ ''y'' 座標の値をとると定める。
+平面上の点ごとに実数の対 (''a'', ''b'') が一意に定まり、その点を通って''x'' 軸上の点 ''a'' において''x''軸と直角に交わる直線と、 その点を通って''y'' 軸に ''b'' で直角に交わる直線を引くと、それぞれ1本に限定される。このとき、この交点の座標は (''a'', ''b'') である。''x'' 軸と''y'' 軸が交わる点を'''原点'''とよび、原点の座標は (0, 0) になる。
-座標軸の向きには任意性があるが、普通''y''軸の正の向きは''x''軸の正の向きから一直角分反時計回りに回転した向き（[[右手系]]）にとられる。また、''x''軸は水平方向に右の方向を正の向きにして描かれるのが普通であり、そのとき''y''軸は垂直方向に上の方向を正の向きとすることになる。
+=== 象限 ===
-平面上の点それぞれについて実数の対 (''a'', ''b'') が一意的に定まり、その点を通って''x'' 軸上の点 ''a'' において''x''軸と直角に交わる直線と、 その点を通って''y'' 軸に ''b'' で直角に交わる直線を各一本のみ引くことが出来る。このときこの点の座標は (''a'', ''b'') であるという。''x''軸と''y''軸が交わる点は'''原点'''とよばれ、原点の座標は (0, 0) になる。
+''x'' 座標も''y'' 座標も正の値をとる点からなる領域を、'''第一象限'''とよぶ。また ''x'' 座標が負で''y'' 座標が正の値をとる点が占める領域は'''第二象限'''、''x'' 座標も''y'' 座標も負の値をとる点が構成する領域を'''第三象限'''、''x'' 座標が正で''y'' 座標が負の値をとる領域は'''第四象限'''とよぶ。
-''x'' 座標と''y'' 座標とがともに正の値をとる点からなる領域は'''第一象限'''とよばれる。また、''x'' 座標が負で''y'' 座標が正の値をとる点からなる領域は'''第二象限'''、''x'' 座標と''y'' 座標とがともに負の値をとる点からなる領域は'''第三象限'''、''x'' 座標が正で''y'' 座標が負の値をとる点からなる領域は'''第四象限'''とよばれる。
 {{-}}
 == 高次元の直交座標系 ==
 [[Image:Cartesian_coordinate_surfaces.png|thumb|200px|right|3次元の直交座標系]]
+次元[[空間]]の直交座標系は空間内で互いに直交する3本の数直線 ''x''軸、 ''y''軸、''z''軸を決めて定める。平面の場合と同様に、空間のそれぞれの点に対しその点から各座標軸への垂線の交点を表す実数たちの組 (a, b, c) によって座標が与えられる。3つの軸の向きは右手系の向きにとられるのが普通である。また各座標軸の配置は、 ''x'' 軸と ''y'' 軸を含む平面（''xy''-平面）が水平で、''z'' 軸の向きは''xy''-平面に対し鉛直上向きとなるよう置くことが多い。
+右図では3本の線が座標軸を表し、赤い平面上の点は ''x'' 座標が1、黄色い平面上の点は ''y'' 座標が -1、青い平面上の点は ''z'' 座標が1である。黒い点の座標は (1, -1, 1) になる。
-次元[[空間]]の直交座標系は空間内で互いに直交する3本の数直線 ''x''軸、 ''y''軸、''z''軸を決めることによって定められる。平面の場合と同様にして、空間のそれぞれの点に対しその点から各座標軸への垂線の交点を表す実数たちの組 (a, b, c) によって座標が与えられる。三つの軸の向きは右手系の向きにとられるのが普通である。また、''x''軸と''y''軸を含む平面（''xy''-平面）が水平で、''z''軸の向きは''xy''-平面に対し鉛直上向きとなるように各座標軸が配置されることが多い。
+より一般に、''d'' 次元の実[[内積空間]] ''E'' に対し、その正規直交基底 (''e''<sub>1</sub>, …, ''e''<sub>''d''</sub>) に関する座標は「直交座標系」とよばれる。
-右図では三本の線が座標軸を表しており、赤い平面上の点は''x''座標が1であり、黄色い平面上の点は''y''座標が -1、青い平面上の点は''z''座標が1である。黒い点の座標は (1, -1, 1) になる。
+== 応用 ==
-より一般に、''d''次元の実[[内積空間]] ''E'' に対し、その正規直交基底 (''e''<sub>1</sub>, …, ''e''<sub>''d''</sub>) に関する座標は直交座標系とよばれる。
+地形情報を書き表して災害対策に用いたり、
-{{-}}
+== 脚注 ==
+{{脚注ヘルプ}}
+=== 注釈 ===
+{{Notelist2}}
+=== 出典 ===
+{{Reflist}}
+== 参考文献 ==
+主な執筆者、編者の順。
+* {{cite journal|和書|author=細山田 得三|title= 直交座標系での[[地形学|地形情報]]の表現とその[[洪水調節|洪水氾濫]]への適用について|journal= 長岡技術科学大学研究報告|volume= 24巻、45-53頁、[[長岡技術科学大学]]、2002-01-15}}{{CRID|1050845762966808192}}、{{Issn|0388-5631}}。
+* {{cite journal|和書|author=小渡 悟、0D0, Satoru|title= 対数極座標空間の高次局所自己相関特徴を用いた[[ポインティングデバイス]]の提案|journal= 沖縄大学マルチメディア教育研究センター紀要|volume= 4号、57-70頁、[[沖縄大学]]マルチメディア教育研究センター、2004-03-31}}{{CRID|1050853796606494336}}。{{Issn|1346-4264}}。掲載誌別題『The Bulletin of Multimedia Education and Research Center, University of Okinawa』。
+* {{cite journal|和書|author=白田 由香利|title= 固有値の概念の教授法 : [[経営学|経営学科]]に適した[[線型代数学|線型代数]]の教授法|journal= 學習院大學經濟論集|volume= 50|issue=1|pages=31-42|publisher=[[学習院大学]]経済学会|date=2013-04}}{{CRID|1050001202932009344}}、{{Issn|0016-3953}}。
 == 関連項目 ==
+{{div col||15em}}
 *[[座標系]]
 ** [[球面座標系]]
@@ 32行目: / 49行目: @@
 ** [[斜交座標系]]
 ** [[平面直角座標系]]
-* [[ローリング]]
+* [[飛行力学]]
-* [[ピッチング]]
+** [[ローリング]]
-* [[ヨーイング]]
+** [[ピッチング]]
+** [[ヨーイング]]
+{{div col end}}
-== 注 ==
-{{脚注ヘルプ}}
-{{Reflist}}
 ==外部リンク==