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2022年11月18日 (金) 21:33時点における最新版

数学のとくに群あるいは多元環の表現論における（代数的構造の）既約表現（きやくひょうげん、英: irreducible representation; irrep）とは、真の閉部分表現を持たない非零表現を言う。

複素内積ベクトル空間 V 上の任意の有限次元ユニタリ表現は、既約表現の直和である。既約表現は常に直既約である（すなわち、別の表現の直和にかくことができない）であり、この二つはしばしば混同されるが、例えば上半三角冪零行列として作用する実数の二次元表現など、一般には可約だが直既約な表現が無数に存在する。

歴史

群の表現論は1940年代頃からリチャード・ブラウアー（英語版）により一般化され、行列作用素が（実または複素数を成分とするベクトルではなく）任意標数の体 K 上作用するモジュラー表現論が与えられた。そうした理論における既約表現の類似構造物を単純加群と呼ぶ。

概観

詳細は「群の表現」を参照

ρ を体 F 上のベクトル空間 V における群 G の表現 ρ: G → GL(V) とする。V の基底をとれば、ρ を群から正則行列からなる適当な集合の上への写像（準同型）と見做すことができて、この文脈では行列表現と呼ばれるが、基底をとらずに空間 V を考えるほうが物事は非常に単純になる。

V の線型部分空間 W が G-不変であるとは、任意の $g \in G$ および $w \in W$ に対して $gw \in W$ が成り立つことを言う。表現 ρ を G-不変部分空間 W へ制限したものは部分表現と呼ばれる。表現 ρ: G → GL(V) が既約であるとは、それが自明でない部分表現を持たないことをいう（任意の表現は自明な G-不変部分空間、つまり全体空間 V と{0} を部分表現として必ず含むことに注意）。真の非自明な不変部分空間を持つ表現 ρ は、可約 (reducible) であると言う。

群表現の記法と語法

群の元は行列として表現することができる。この文脈で「表現する」というのは特定の明確な意味を持つことに注意すべきである。群の表現は、群の元全体の成す集合から行列の成す一般線型群への写像のことを言う。記法として、G の元はラテン小文字 a, b, c, … で表し、群の乗法は記号を省略して G の元 ab とは a と b との積のこととする。表現を D とするとき、群の元 a の表現行列は

D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}

の形に書ける。群の表現の定義により、群の元の積の表現行列は

D(ab)=D(a)D(b)

として各元の表現行列の積に翻訳される。群の単位元 e（即ち ae = ea = a を満たす元）に対し、D(e) は単位行列あるいは同じことだが単位行列からなるブロック行列にならなければいけないことが、

D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)

から分かる（群の他の元についても同様である）。

直可約および直既約表現

表現が直可約 (decomposable) であるとは、その表現の任意の行列を対角化する相似行列 P による相似変換^[1]

D(a)\mapsto P^{-1}D(a)P

によって表現の各行列が同じパターンの対角ブロックに写されることを言う（各ブロックが互いに独立な群の表現を与える）。表現行列 D(a) と P⁻¹D(a)P は同値な表現であるという^[2]。表現行列が k 個の行列の直和（英語版）

D(a)={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)

に分解できるとき（つまり D(a) が直可約のとき）、各直和因子行列には D⁽ⁿ⁾(a) (n = 1, 2, …, k) のように普通は上付きの添字を括弧書きするが、括弧を付けないで書く文献もある。

D(a) の次元は、各ブロックの次元の総和

\mathrm {dim} [D(a)]=\mathrm {dim} [D^{(1)}(a)]+\mathrm {dim} [D^{(2)}(a)]+\ldots +\mathrm {dim} [D^{(k)}(a)]

に一致する。

表現行列がこのようなブロック対角行列にできないとき、その表現は直既約 (indecomposable) であると言う^[1]^[3]。

リー群

詳細は「リー群の表現」を参照

ローレンツ群

詳細は「ローレンツ群の表現論（英語版）」を参照

J を回転の生成系、K を励起の生成系としたとき、D(K) と D(J) の既約表現はローレンツ群のスピン表現を作ることに使うことができる。なぜならば、量子力学のスピン行列と関係しているからである。このことから相対論的波動方程式（英語版）を導出することができる。^[4]

参考文献

図書

H. Weyl (1950). The theory of groups and quantum mechanics. Courier Dover Publications. p. 203
A. D. Boardman, D. E. O'Conner, P. A. Young (1973). Symmetry and its applications in science. McGraw Hill. ISBN 0-07-084011-3
V. Heine (republished: 2007 original: 1960). Group theory in quantum mechanics: an introduction to its present usage. Dover. ISBN 0-07-084011-3
V. Heine (1993). Group Theory in Quantum Mechanics: An Introduction to Its Present Usage. Courier Dover Publications. ISBN 048-6675-858
E. Abers (2004). Quantum Mechanics. Addison Wesley. p. 425. ISBN 978-0-13-146100-0
B. R. Martin, G.Shaw. Particle Physics (3rd ed.). Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. pp. 3. ISBN 978-0-470-03294-7
Weinberg, S (1995), The Quantum Theory of Fields, 1, Cambridge university press, pp. 230–231, ISBN 0-521-55001-7
Weinberg, S (1996-8), The Quantum Theory of Fields, 2, Cambridge university press, ISBN 0-521-58555-4
Weinberg, S (2000), The Quantum Theory of Fields, 3, Cambridge university press, ISBN 0-521-66000-9
R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1
P. W. Atkins (1970). Molecular Quantum Mechanics (Parts 1 and 2): An introduction to quantum chemistry. 1. Oxford University Press. pp. 125–126. ISBN 0-19-855129-0

論文

Bargmann, V.; Wigner, E. P. (1948). “Group theoretical discussion of relativistic wave equations”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 34 (5): 211–23.
E. Wigner (1937). “On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group”. Annals of Mathematics 40 (1): 149.

外部リンク

[Wigner_p_73-1] E.P. Wigner (1959). Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra. Pure and applied physics. Academic press. p. 73

[2] W.K. Tung (1985). Group Theory in Physics. World Scientific. p. 32. ISBN 997-1966-565

[Tung_33-3] W.K. Tung (1985). Group Theory in Physics. World Scientific. p. 33. ISBN 997-1966-565

[4] T. Jaroszewicz, P.S Kurzepa (1992年). “Geometry of spacetime propagation of spinning particles”. Annals of Physics (California, USA)

[1]

[2]

[3]

[4]

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-数学では、とくに[[群 (数学)]]や{{仮リンク|体上の代数|label=代数|en|algebra over a field}}の[[表現論]]では、代数構造が'''既約表現'''(irreducible representation もしくは irrep)とは、ゼロ表現ではない固有の閉じた部分表現を持たない表現を言う。
+[[数学]]のとくに[[群 (数学)|群]]あるいは[[体上の多元環|多元環]]の[[表現論]]における（代数的構造の）'''既約表現'''（きやくひょうげん、{{lang-en-short|''irreducible representation''}}; '''irrep'''） とは、真の閉部分表現を持たない非零表現を言う。
-[[エルミート行列|エルミートな]]ベクトル空間 V 上の全ての有限次元の[[ユニタリ表現]]は、既約表現の[[直和]]である。既約表現はいつも'''分解不可能'''(indecomposable)（つまりこれ以上、他の表現の直和には分解できない）なので、これらの（既約とユニタリ）言葉は混乱することがある。しかし、一般には、可約だが分解不可能な表現が多く存在する。例えば、上半三角冪ゼロ行列(upper triangular unipotent matrices)が作用している場合の実数の 2次元表現が例である。
+[[エルミート形式|複素内積]][[ベクトル空間]] ''V'' 上の任意の有限次元[[ユニタリ表現]]は、既約表現の[[加群の直和|直和]]である。既約表現は常に'''直既約'''である（すなわち、別の表現の直和にかくことができない）であり、この二つはしばしば混同されるが、例えば上半三角冪零行列として作用する実数の二次元表現など、一般には可約だが直既約な表現が無数に存在する。
-<!---In mathematics, specifically in the [[representation theory]] of [[group (mathematics)|group]]s and [[algebra over a field|algebras]], an '''irreducible representation''' or '''irrep''' of an algebraic structure is a nonzero representation that has no proper closed subrepresentations.
+== 歴史 ==
-Every finite dimensional [[unitary representation]] on a [[Hermitian]] vector space ''V'' is the [[direct sum]] of irreducible representations. As irreducible representations are always '''indecomposable''' (i.e. cannot be decomposed further into a direct sum of representations), these terms are often confused; however, in general there are many reducible but indecomposable representations, such as the two-dimensional representation of the real numbers acting by upper triangular unipotent matrices.-->
+群の表現論は1940年代頃から{{仮リンク|リチャード・ブラウアー|en|Richard Brauer}}により一般化され、行列作用素が（[[実数|実]]または[[複素数]]を成分とするベクトルではなく）任意[[標数]]の[[可換体|体]] ''K'' 上作用する[[モジュラー表現論]]が与えられた。そうした理論における既約表現の類似構造物を[[単純加群]]と呼ぶ。
-<!---==History==
+== 概観 ==
+{{main|群の表現}}
+ρ を[[可換体|体]] ''F'' 上のベクトル空間 ''V'' における群 ''G'' の[[表現論|表現]] ρ: ''G'' → GL(''V'') とする。''V'' の基底をとれば、ρ を群から正則行列からなる適当な集合の上への写像（[[準同型]]）と見做すことができて、この文脈では'''行列表現'''と呼ばれるが、基底をとらずに空間 ''V'' を考えるほうが物事は非常に単純になる。
-Group representation theory was generalized by [[Richard Brauer]] from the 1940s to give [[modular representation theory]], in which the matrix operators act over a [[field (mathematics)|field]] ''K'' of arbitrary [[characteristic (algebra)|characteristic]], rather than a vector of [[real number|real]] or [[complex number]]s.  The structure analogous to an irreducible representation in the resulting theory is a [[simple module]].{{citation needed|date=July 2013}}
+''V'' の[[線型部分空間]] ''W'' が''' ''G''-不変'''であるとは、任意の {{math|''g'' &isin; ''G''}} および {{math|''w'' &isin; ''W''}} に対して {{math|''gw'' &isin; ''W''}} が成り立つことを言う。表現 ρ を ''G''-不変部分空間 ''W'' へ[[写像の制限|制限]]したものは'''部分表現'''と呼ばれる。表現 ρ: ''G'' → GL(''V'') が'''既約'''であるとは、それが自明でない部分表現を持たないことをいう（任意の表現は自明な ''G''-不変部分空間、つまり全体空間 ''V'' と[[零ベクトル空間|{0}]] を部分表現として必ず含むことに注意）。 真の非自明な不変部分空間を持つ表現 ρ は、'''可約''' (''reducible'') であると言う。
-==Overview==
+=== 群表現の記法と語法 ===
-{{details|Group representation}}
+群の元は[[行列]]として表現することができる。この文脈で「表現する」というのは特定の明確な意味を持つことに注意すべきである。群の表現は、群の元全体の成す集合から行列の成す[[一般線型群]]への写像のことを言う。記法として、''G'' の元はラテン小文字 ''a'', ''b'', ''c'', … で表し、群の乗法は記号を省略して ''G'' の元 ''ab'' とは ''a'' と ''b'' との積のこととする。表現を ''D'' とするとき、群の元''' ''a'' の表現行列'''は
+: <math>D(a) = \begin{pmatrix}
-Let ''ρ'' be a representation ''ρ'': ''G'' → GL(''V'') of a group ''G'' where ''V'' is a [[vector space]] over a [[field (mathematics)|field]] ''F''. If we pick a basis '''B''' for ''V'', ''ρ'' can be thought of as a function (a [[homomorphism]]) from a group onto a set of invertible matrices and in this context is called a '''matrix representation'''. However, it simplifies things greatly if we think of the space ''V'' without a basis.
-A [[linear subspace]] <math>W \subset V</math> is called '''''G''-invariant''' if <math>gw \in W</math> for all <math>g \in G</math> and all <math>w \in W</math>. The [[Restriction (mathematics)|restriction]] of ''ρ'' to a ''G''-invariant subspace <math>W \subset V</math> is known as a '''subrepresentation'''. A representation ''ρ'': ''G'' → GL(''V'') is said to be '''irreducible''' if it has only [[trivial (mathematics)|trivial]] subrepresentations (all representations can form a subrepresentation with the trivial ''G''-invariant subspaces, e.g. the whole vector space ''V'', and [[zero vector space|{0}]]). If there is a proper non-trivial invariant subspace, ''ρ'' is said to be '''reducible'''.
-===Notation and terminology of group representations===
-Group elements can be represented by [[matrix (mathematics)|matrices]], although the term "represented" has a specific and precise meaning in this context. A representation of a group is a mapping from the group elements to the [[general linear group]] of matrices. As notation, let ''a'', ''b'', ''c''... denote elements of a group ''G'' with group product signified without any symbol, so ''ab'' is the group product of ''a'' and ''b'' and is also an element of ''G'', and let representations be indicated by ''D''. The '''representation of ''a''''' is written
-:<math>D(a) = \begin{pmatrix}
 D(a)_{11} & D(a)_{12} & \cdots & D(a)_{1n} \\
 D(a)_{21} & D(a)_{22} & \cdots & D(a)_{2n} \\
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 D(a)_{n1} & D(a)_{n2} & \cdots & D(a)_{nn} \\
 \end{pmatrix}</math>
+の形に書ける。群の表現の定義により、群の元の積の表現行列は
+: <math>D(ab) = D(a)D(b) </math>
+として各元の表現行列の[[行列の積|積]]に翻訳される。群の[[単位元]] ''e''（即ち ''ae'' = ''ea'' = ''a'' を満たす元）に対し、''D''(''e'') は[[単位行列]]あるいは同じことだが単位行列からなる[[区分行列|ブロック行列]]にならなければいけないことが、
+: <math>D(ea) = D(ae) = D(a)D(e) = D(e)D(a) = D(a) </math>
+から分かる（群の他の元についても同様である）。
+=== 直可約および直既約表現 ===
-in the same notation for [[function (mathematics)|function]]s as in [[mathematical analysis]] and [[linear algebra]]. By definition of group representations, the representation of a group product is translated into [[matrix multiplication]] of the representations:
+表現が'''直可約''' (decomposable) であるとは、その表現の任意の行列を[[対角化]]する相似行列 ''P'' による[[行列の相似|相似変換]]<ref name="Wigner p 73">{{cite book| author=E.P. Wigner|title=Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra|year=1959|series=Pure and applied physics|page=73|publisher=Academic press|isbn=}}</ref>
-:<math>D(ab) = D(a)D(b) </math>
+: <math> D(a) \mapsto P^{-1} D(a) P</math>
+によって表現の各行列が同じパターンの対角ブロックに写されることを言う（各ブロックが互いに独立な群の表現を与える）。表現行列 ''D''(''a'') と ''P''<sup>−1</sup>''D''(''a'')''P'' は'''同値な表現'''であるという<ref>{{cite book|author= W.K. Tung|title=Group Theory in Physics|page=32|publisher=World Scientific|year=1985|url=https://books.google.co.uk/books?id=O89tgpOBO04C&printsec=frontcover&dq=group+theory+in+physics&hl=en&sa=X&ei=Xsd-UdmjONKg0wW96ICwBg&redir_esc=y#v=onepage&q=group%20theory%20in%20physics&f=false|isbn=997-1966-565}}</ref>。表現行列が ''k'' 個の{{仮リンク|行列の直和|en|direct sum of matrices}}
+: <math>D(a) = \begin{pmatrix}
-If ''e'' is the [[identity element]] of the group (so that ''ae'' = ''ea'' = ''a'', etc.), then ''D''(''e'') is an [[identity matrix]], or identically a block matrix of identity matrices, since we must have
-:<math>D(ea) = D(ae) = D(a)D(e) = D(e)D(a) = D(a) </math>
-and similarly for all other group elements.
-===Decomposable and Indecomposable representations===
-A representation is decomposable if a [[Matrix similarity|similar matrix]] ''P'' can be found for the [[matrix similarity|similarity transformation]]:<ref name="Wigner p 73">{{cite book| author=E.P. Wigner|title=Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra|year=1959|series=Pure and applied physics|page=73|publisher=Academic press|isbn=}}</ref>
-:<math> D(a) \rightarrow P^{-1} D(a) P</math>
-which [[matrix diagonalization|diagonalizes]] every matrix in the representation into the same pattern of [[diagonal matrix|diagonal]] [[block matrix|block]]s – each of the blocks are representation of the group independent of each other. The representations ''D''(''a'') and ''P''<sup>−1</sup>''D''(''a'')''P'' are said to be '''equivalent representations'''.<ref>{{cite book|author= W.K. Tung|title=Group Theory in Physics|page=32|publisher=World Scientific|year=1985|url=http://books.google.co.uk/books?id=O89tgpOBO04C&printsec=frontcover&dq=group+theory+in+physics&hl=en&sa=X&ei=Xsd-UdmjONKg0wW96ICwBg&redir_esc=y#v=onepage&q=group%20theory%20in%20physics&f=false|isbn=997-1966-565}}</ref> The representation can be decomposed into a [[direct sum of matrices|direct sum of ''k'' matrices]]:
-:<math>D(a) = \begin{pmatrix}
 D^{(1)}(a) & 0 & \cdots & 0 \\
 & D^{(2)}(a) & \cdots & 0 \\
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 & 0 & \cdots & D^{(k)}(a) \\
 \end{pmatrix} = D^{(1)}(a) \oplus D^{(2)}(a) \oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a) </math>
+に分解できるとき（つまり ''D''(''a'') が'''直可約'''のとき）、各直和因子行列には ''D''<sup>(''n'')</sup>(''a'') (''n'' = 1, 2, …, ''k'') のように普通は上付きの添字を括弧書きするが、括弧を付けないで書く文献もある。
+''D''(a) の次元は、各ブロックの次元の総和
-so ''D''(''a'') is '''decomposable''', and it is customary to label the decomposed matrices by a superscript in brackets, as in ''D''<sup>(''n'')</sup>(''a'') for ''n'' = 1, 2, ..., ''k'', although some authors just write the numerical label without brackets.
+: <math> \mathrm{dim}[D(a)] = \mathrm{dim}[D^{(1)}(a)] + \mathrm{dim}[D^{(2)}(a)] + \ldots + \mathrm{dim}[D^{(k)}(a)] </math>
+に一致する。
+表現行列がこのようなブロック対角行列にできないとき、その表現は'''直既約''' (indecomposable) であると言う<ref name="Wigner p 73"/><ref name="Tung 33">{{cite book|author= W.K. Tung|title=Group Theory in Physics
-The dimension of ''D''(''a'') is the sum of the dimensions of the blocks:
+|page=33|publisher=World Scientific|year=1985|url=https://books.google.co.uk/books?id=O89tgpOBO04C&printsec=frontcover&dq=group+theory+in+physics&hl=en&sa=X&ei=Xsd-UdmjONKg0wW96ICwBg&redir_esc=y#v=onepage&q=group%20theory%20in%20physics&f=false|isbn=997-1966-565}}</ref>。
+== リー群 ==
-:<math> \mathrm{dim}[D(a)] = \mathrm{dim}[D^{(1)}(a)] + \mathrm{dim}[D^{(2)}(a)] + \ldots + \mathrm{dim}[D^{(k)}(a)] </math>
+{{main|リー群の表現}}
+===ローレンツ群===
-If this is not possible, then the representation is indecomposable.<ref name="Wigner p 73"/><ref name="Tung 33">{{cite book|author= W.K. Tung|title=Group Theory in Physics
+{{main|{{仮リンク|ローレンツ群の表現論|en|Representation theory of the Lorentz group}} }}
-|page=33|publisher=World Scientific|year=1985|url=http://books.google.co.uk/books?id=O89tgpOBO04C&printsec=frontcover&dq=group+theory+in+physics&hl=en&sa=X&ei=Xsd-UdmjONKg0wW96ICwBg&redir_esc=y#v=onepage&q=group%20theory%20in%20physics&f=false|isbn=997-1966-565}}</ref>
+'''J''' を回転の生成系、'''K''' を励起の生成系としたとき、{{nowrap|D('''K''')}} と {{nowrap|D('''J''')}} の既約表現はローレンツ群のスピン表現を作ることに使うことができる。なぜならば、量子力学のスピン行列と関係しているからである。このことから{{仮リンク|相対論的波動方程式|en|relativistic wave equation}}を導出することができる。<ref>{{cite news
-==Applications in theoretical physics and chemistry==
-{{see also|Symmetry in quantum mechanics|Jahn–Teller effect}}
-In [[quantum physics]] and [[quantum chemistry]], each set of [[Degenerate energy levels|degenerate eigenstates]] of the [[Hamiltonian operator]] makes up a representation of the symmetry group of the Hamiltonian, that barring accidental degeneracies will correspond to an irreducible representation.  Identifying the irreducible representations therefore allows one to label the states, predict how they will [[energy level splitting|split]] under perturbations; and predict non-zero transition elements.
-In quantum mechanics, irreducible representations of the symmetry group of the system label the energy levels of the system, allowing the [[selection rule]]s to be determined.<ref>{{cite web|publisher=Oxford Dictionary of Chemistry|title=A Dictionary of Chemistry, Answers.com|edition=6th|url=http://www.answers.com/topic/irreducible-representation}}</ref>
-== Lie groups ==
-{{main|Representation theory of Lie groups}}
-===Lorentz group===
-{{main|Representation theory of the Lorentz group}}
-The irreps of {{nowrap|''D''('''K''')}} and {{nowrap|''D''('''J''')}}, where '''J''' is the generator of rotations and '''K''' the generator of boosts, can be used to build to spin representations of the Lorentz group, because they are related to the spin matrices of quantum mechanics. This allows them to derive [[relativistic wave equation]]s.<ref>{{cite news
  | author = T. Jaroszewicz, P.S Kurzepa
  | year = 1992
@@ 90行目: / 63行目: @@
 }}</ref>
-==See also==
+== 関連項目 ==
+=== 結合代数 ===
+*[[単純加群]]
+*[[直既約加群]]
+*[[結合代数の表現]]
-===Associative algebras===
+=== リー群 ===
+* [[リー代数の表現|リー代数の表現論]]
-*[[Simple module]]
-*[[Indecomposable module]]
-*[[Representation of an associative algebra]]-->
-===リー群===
-* {{仮リンク|リー代数の表現論|en|Representation theory of Lie algebras}}
 * {{仮リンク|SU(2)の表現論|en|Representation theory of SU(2)}}
 * {{仮リンク|SL(2)の表現論|en|Representation theory of SL2(R)}}
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 * {{仮リンク|ポアンカレ群の表現論|en|Representation theory of the Poincaré group}}
-==脚注==
+== 参考文献 ==
 {{reflist}}
-===参考文献===
+=== 図書 ===
+*{{cite book|author=[[Hermann Weyl|H. Weyl]]|title=The theory of groups and quantum mechanics|page=203|publisher=Courier Dover Publications|year=1950|url=https://books.google.co.uk/books?id=jQbEcDDqGb8C&pg=PA203&dq=magnetic+moments+in+relativistic+quantum+mechanics&hl=en&sa=X&ei=X1h4Uc79Dcb40gWI1YDwCg&redir_esc=y#v=onepage&q=magnetic%20moments%20in%20relativistic%20quantum%20mechanics&f=false}}
-*{{cite book|author=[[Hermann Weyl|H. Weyl]]|title=The theory of groups and quantum mechanics|page=203|publisher=Courier Dover Publications|year=1950|url=http://books.google.co.uk/books?id=jQbEcDDqGb8C&pg=PA203&dq=magnetic+moments+in+relativistic+quantum+mechanics&hl=en&sa=X&ei=X1h4Uc79Dcb40gWI1YDwCg&redir_esc=y#v=onepage&q=magnetic%20moments%20in%20relativistic%20quantum%20mechanics&f=false}}
 *{{cite book|author=A. D. Boardman, D. E. O'Conner, P. A. Young|title=Symmetry and its applications in science|page=|publisher=McGraw Hill|year=1973|isbn=0-07-084011-3}}
+*{{cite book|author=V. Heine|title=Group theory in quantum mechanics: an introduction to its present usage|page=|publisher=Dover|year=republished: 2007 original: 1960|url=https://archive.org/details/GroupTheoryInQuantumMechanics|isbn=0-07-084011-3}}
-*{{cite book|author=V. Heine|title=Group theory in quantum mechanics: an introduction to its present usage|page=|publisher=Dover|year=republished: 2007 original: 1960|url=http://archive.org/details/GroupTheoryInQuantumMechanics|isbn=0-07-084011-3}}
 *{{cite book|author=V. Heine|title=Group Theory in Quantum Mechanics: An Introduction to Its Present Usage
-|page=|publisher=Courier Dover Publications|year=1993|url=http://books.google.co.uk/books?id=NayFD34uEu0C&pg=PA363&dq=lorentz+group+in+relativistic+quantum+mechanics&hl=en&sa=X&ei=8MZ-Ua-uNqaK0AX57YGYCA&ved=0CEAQ6AEwAQ#v=onepage&q=lorentz%20group%20in%20relativistic%20quantum%20mechanics&f=false|isbn=048-6675-858}}
+|page=|publisher=Courier Dover Publications|year=1993|url=https://books.google.co.uk/books?id=NayFD34uEu0C&pg=PA363&dq=lorentz+group+in+relativistic+quantum+mechanics&hl=en&sa=X&ei=8MZ-Ua-uNqaK0AX57YGYCA#v=onepage&q=lorentz%20group%20in%20relativistic%20quantum%20mechanics&f=false|isbn=048-6675-858}}
 *{{cite book|title=Quantum Mechanics|author=E. Abers|publisher=Addison Wesley|year=2004|page=425|isbn=978-0-13-146100-0}}
 *{{cite book| author=B. R. Martin, G.Shaw|title=Particle Physics|edition=3rd|publisher=Manchester Physics Series, John Wiley & Sons|pages=3|isbn=978-0-470-03294-7}}
 *{{citation
  |last = Weinberg
@@ 140行目: / 102行目: @@
  | first = S
  | year = 1996
+ | month = 8
  | title = The Quantum Theory of Fields
  | volume = 2
  |publisher=Cambridge university press
- |isbn = 0-521-55002-7
+ |isbn = 0-521-58555-4
 }}
 *{{citation
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 }}
 *{{cite book |author=R. Penrose| title=[[The Road to Reality]]| publisher= Vintage books|page=| year=2007 | isbn=0-679-77631-1}}
 *{{cite book|title=Molecular Quantum Mechanics (Parts 1 and 2): An introduction to quantum chemistry|volume=1|pages=125–126|author=P. W. Atkins|publisher=Oxford University Press|year=1970|isbn=0-19-855129-0}}
-===参考論文===
+=== 論文 ===
 *{{cite journal|author1=Bargmann, V.|author2=Wigner, E. P.|title=Group theoretical discussion of relativistic wave equations|year=1948|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=34|pages=211–23|url=http://www.pnas.org/cgi/content/citation/34/5/211|issue=5}}
 *{{cite journal
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 }}
+=== 関連文献 ===
-==参考ウェブ==
 *{{cite web|last=Artin|first=Michael|title=Noncommutative Rings|url=http://math.mit.edu/~etingof/artinnotes.pdf|year=1999|location=Chapter V |accessdate=2013-12-11}}
-==外部リンク==
+== 外部リンク ==
 *[http://www.crystallography.fr/mathcryst/pdf/nancy2010/Aroyo_reps2010.pdf (2010) ''Commission on Mathematical and Theoretical Crystallography, Summer Schools on Mathematical Crystallography'']
 *[http://cft.fis.uc.pt/eef/evbgroups.pdf ''Some notes on group theory'']
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 [[Category:群論]]
 [[Category:表現論]]
-[[Category:理論物理学]]
-[[Category:理論化学]]
 [[Category:対称性]]
+[[Category:数学に関する記事]]