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「五進法」の版間の差分

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{{Redirect|5進数|有理数を含む5進数|p進数}}
'''五進法'''（ごしんほう）とは、[[5]] およびその[[冪]]を基準にして数を表す方法である。この 5 を底（てい）と呼ぶ。
'''五進法'''（ごしんほう、英：quinary）とは、[[5]] を[[底]]（てい）とし、底およびその[[冪]]を基準にして数を表す方法である。


== 記数法 ==
== 記数法 ==
'''五進記数法'''とは、5 を底とする[[位取り記数法]]である。慣用に従い、通常の[[アラビア数字]]は[[十進数]]とし、五進記数法の表記は[[括弧]]および下付の 5 で表す。五進記数法で表された数を'''五進数'''と呼ぶ。
'''五進記数法'''とは、5 を底とする[[位取り記数法]]である。慣用に従い、通常の[[アラビア数字]]は[[十進法|十進数]]とし、五進記数法の表記は[[括弧]]および下付の 5 で表す。五進記数法で表された数を'''五進数'''と呼ぶ。


表記には 0, 1, 2, 3, 4 の 5 個の数字を用いる。右端あるいは[[小数点]]で 1 の桁を表す。数字の意味する数は、左に 1 桁ずれると 5 倍になり、右に 1 桁ずれると 1/5 になる。(11)<sub>5</sub> という表記において、左の「1」は五を表し、右の「1」は一を表し、合わせて六を表す。
表記には [[0]], [[1]], [[2]], [[3]], [[4]] の 5 個の数字を用い、[[5|五]]を 10、[[6|六]]を 11、[[7|七]]を 12…と表記する。五進法では一桁に入る数は'''4まで'''であり、一桁に入る数が5までなのは[[六進法]]である。右端あるいは[[小数点]]で 1 の桁を表す。数字の意味する数は、左に 1 桁ずれると 5 倍になり、右に 1 桁ずれると [[1/5]] になる。(14)<sub>5</sub> という表記において、左の「1」は五を表し、右の「4」は四を表し、合わせて[[9|九]]を表す。


五進表記では、(20)<sub>5</sub> は [[10]] (2×5<sup>1</sup>) を、(32)<sub>5</sub> は [[17]] (3×5<sup>1</sup> + 2) を、(100)<sub>5</sub> は [[25]] (1×5<sup>2</sup>) を意味する。
五進表記の整数は、以下のような数値になる。
* (20)<sub>5</sub> = [[10]] (2×5<sup>1</sup>)
* (32)<sub>5</sub> = [[17]] (3×5<sup>1</sup> + 2)
* (100)<sub>5</sub> = [[25]] (1×5<sup>2</sup>)
* (121)<sub>5</sub> = [[36]] (1×5<sup>2</sup> + 2×5{{sup|1}} + 1)
* (224)<sub>5</sub> = [[64]] (2×5<sup>2</sup> + 2×5{{sup|1}} + 4)
* (311)<sub>5</sub> = [[81]] (3×5<sup>2</sup> + 1×5{{sup|1}} + 1)
* (400)<sub>5</sub> = [[100]] (4×5<sup>2</sup>)
* (1000)<sub>5</sub> = [[125]] (1×5<sup>3</sup>)
* (1331)<sub>5</sub> = [[216]] (1×5{{sup|3}} + 3×5<sup>2</sup> + 3×5{{sup|1}} + 1)
* (10000)<sub>5</sub> = [[625]] (1×5<sup>4</sup>)
* (13000)<sub>5</sub> = [[1000]] (1×5{{sup|4}} + 3×5<sup>3</sup>)
* (20141)<sub>5</sub> = [[1296]] (2×5{{sup|4}} + 0×5<sup>3</sup> + 1×5{{sup|2}} + 4×5{{sup|1}} + 1)
* (30234)<sub>5</sub> = [[1944]] (3×5{{sup|4}} + 0×5<sup>3</sup> + 2×5{{sup|2}} + 3×5{{sup|1}} + 4)


実際には五進記数法が用いられることは少ない。他の進法の内部に五進記数法が含まれることはある。例えば
実際には五進記数法が用いられることは少ない。しかし、他のN進法の内部に五進記数法が含まれることはある。例えば、[[そろばん]]や[[ローマ数字]]は純粋な[[十進法]]ではなく、五と十で桁上がりするので、[[二五進法|二・五進法]]という。ローマ数字では I が 1、V が 5、X が 10{{sub|(10)}}、L が 50{{sub|(10)}} である。8 は VIII と書き、70{{sub|(10)}} は LXX と書く。
[[そろばん]]や[[ローマ数字]]は[[十進法]]の内部に五進法を持っており、[[二五進法]]と呼ぶ。ローマ数字では I が 1、V が 5、X が 10、L が 50 である。8 は VIII と書き、70 は LXX と書く。


同様に、[[マヤ文明]]の[[数字]]は[[二十進法]]であるが、内部に五進記数法を含んでいる。点が 1、横棒が 5 を表し、組み合わせて 1 から 19 の数字を作る。
同様に、[[マヤ文明]]の[[数字]]は[[二十進法]]であるが、五進記数法を補助的に含んでいる。貝殻模様が0、点が 1、横棒が 5 を表し、これらを組み合わせて 1 から J{{sub|(20)}} (= 19{{sub|(10)}}) までの数字や、10{{sub|(20)}} (= 20{{sub|(10)}})以降の数字を作る。

各桁の和が4の倍数となる数は4の倍数になる。

5が奇数なので、各桁の和が偶数になる数は全て偶数である。


===小数と除算===
五進法は[[因数]]が[[5]]だけなので、5でしか割り切れない。一桁の整数を[[単位分数]]にすると、全て[[循環小数]]になる。[[1/10|十分割]]（五進表記で1/20）も因数が[[2]]と5なので割り切れず、循環小数になる。

{|class="wikitable"
|+[[単位分数]]の小数換算値
!除数の[[素因数分解]]!!五進分数!!五進小数!![[十進法|十進]]小数!!十進分数
|-
|2||[[1/2]]||0.<u>2</u>222…||0.5||1/2
|-
|3||[[1/3]]||0.<u>13</u>13…||0.<u>3</u>333…||1/3
|-
|2{{sup|2}}||[[1/4]]||0.<u>1</u>111…||0.25||1/4
|-
|10||1/10||0.1||0.2||[[1/5]]
|-
|2×3||1/11||0.<u>04</u>04…||0.1<u>6</u>66…||[[1/6]]
|-
|2×10||1/20||0.0<u>2</u>22…||0.1||[[1/10]]
|}
※ 単位分数と素因数分解は五進表記。

=== 計算表 ===
{| class="wikitable" style="float:left;margin:1em;text-align:right"
|+ <span style="font-size: large;">加算表</span>
! + !! style="min-width:1em;" | 0 !! style="min-width:1em;" | 1 !! 2 !! 3 !! 4
|-
! 0
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4
|-
! 1
| 1 || 2 || 3 || 4 || 10
|-
! 2
| 2 || 3 || 4 || 10 || 11
|-
! 3
| 3 || 4 || 10 || 11 || 12
|-
! 4
| 4 || 10 || 11 || 12 || 13
|}

{| class="wikitable" style="float:left;margin:1em;text-align:right"
|+ <span style="font-size: large;">乗算表</span>
! × !! style="min-width:1em;" | 0 !! style="min-width:1em;" | 1 !! 2 !! 3 !! 4
|-
! 0
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
! 1
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4
|-
! 2
| 0 || 2 || 4 || 11 || 13
|-
! 3
| 0 || 3 || 11 || 14 || 22
|-
! 4
| 0 || 4 || 13 || 22 || 31
|}
{{clear}}


== 命数法 ==
== 命数法 ==
17行目: 98行目:


=== 数詞 ===
=== 数詞 ===
五進法は片[[手]]の[[指]]の数に由来する。[[自然言語]]で五進命数法の[[数詞]]を持つものは少ない。完全な五進法は[[オーストラリア]]のグマチ語 (Gumatj) でのみ見出されている<ref>{{ Citation
五進法は片[[手]]の[[指]]の数に由来する。しかし、五進法は[[5|五]]で桁上がりするので、五進法で数えるなら指は五本ではなく四本で足りる（一桁に四までしか入らない）。

| title=Facts and fallacies of aboriginal number systems
五以降の数詞も、六は「五一」、七は「五二」というように六から九までは「五に一から四までを加えた数詞」として表現され、十は「二五」、十一は「二五一」、十二は「二五二」…というように「M倍の五 + R」として数える。そして、二十三は「四五三」、二十四は「四五四」と来て、その次で五の二乗である'''[[25|二十五]]'''で新しい数詞が命名され、以降は五の三乗である'''[[125|百二十五]]'''など五の冪数で新しい数詞が命名される。
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| first=John
[[自然言語]]で五進命数法の[[数詞]]を持つものは少ない。完全な五進法は[[オーストラリア]]のグマチ語<ref>{{ citation
| editor-last=Hargrave
| contribution=Gumatj
| editor-first=Susanne
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| pages=153-181
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| journal=Work Papers of [[国際SIL|SIL]]-AAB Series B
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| editor-first=Raymond G., Jr.
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|deadlinkdate = 2017年9月
}}</ref>。以下にグマチ語の数詞を示す。
}}</ref>。以下にグマチ語の数詞を示す。
{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"
{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"
! 数 !! 数詞
! 五進数 !! 十進数 !! 数詞
|-
|-
! style="text-align:right" | 1
! style="text-align:right" | 1
| 1
| wanggany
| wanggany
|-
|-
! style="text-align:right" | 2
! style="text-align:right" | 2
| 2
| marrma
| marrma
|-
|-
! style="text-align:right" | 3
! style="text-align:right" | 3
| 3
| lurrkun
| lurrkun
|-
|-
! style="text-align:right" | 4
! style="text-align:right" | 4
| 4
| dambumiriw
| dambumiriw
|-
|-
! style="text-align:right" | 5
! style="text-align:right" | 10
| 5
| wanggany rulu
| wanggany rulu
|-
|-
! style="text-align:right" | 10
! style="text-align:right" | 20
| 10
| marrma rulu
| marrma rulu
|-
|-
! style="text-align:right" | 15
! style="text-align:right" | 30
| 15
| lurrkun rulu
| lurrkun rulu
|-
|-
! style="text-align:right" | 20
! style="text-align:right" | 40
| 20
| dambumiriw rulu
| dambumiriw rulu
|-
|-
! style="text-align:right" | 25
! style="text-align:right" | 100
| 25
| dambumirri rulu
| dambumirri rulu
|-
|-
! style="text-align:right" | 50
! style="text-align:right" | 200
| 50
| marrma dambumirri rulu
| marrma dambumirri rulu
|-
|-
! style="text-align:right" | 75
! style="text-align:right" | 300
| 75
| lurrkun dambumirri rulu
| lurrkun dambumirri rulu
|-
|-
! style="text-align:right" | 100
! style="text-align:right" | 400
| 100
| dambumiriw dambumirri rulu
| dambumiriw dambumirri rulu
|-
|-
! style="text-align:right" | 125
! style="text-align:right" | 1000
| 125
| dambumirri dambumirri rulu
| dambumirri dambumirri rulu
|-
|-
! style="text-align:right" | 625
! style="text-align:right" | 10000
| 625
| dambumirri dambumirri dambumirri rulu
| dambumirri dambumirri dambumirri rulu
|}
|}
81行目: 192行目:


==関連項目==
==関連項目==
*[[十進法]]
* [[二進法]]
*[[二十進法]]
* [[二五進法]]
* [[三進法]]

* [[四進法]]
[[Category:数の表現|こしんほう]]
* [[六進法]]
[[Category:数学に関する記事|こしんほう]]
* [[十進法]]
* [[十五進法]]
* [[二十進法]]
* [[三十進法]]


{{デフォルトソート:こしんほう}}
[[ca:Sistema quinari]]
[[Category:数の表現]]
[[en:Quinary]]
[[Category:位取り記数法]]
[[es:Sistema quinario]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[fr:Système quinaire]]
[[ht:Sistèm kinè]]
[[th:เลขฐานห้า]]
[[zh:五進位]]

2023年3月10日 (金) 12:37時点における最新版

曖昧さ回避 「5進数」はこの項目へ転送されています。有理数を含む5進数については「p進数」をご覧ください。

五進法（ごしんほう、英：quinary）とは、5 を底（てい）とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。

記数法

[編集]

五進記数法とは、5 を底とする位取り記数法である。慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数とし、五進記数法の表記は括弧および下付の 5 で表す。五進記数法で表された数を五進数と呼ぶ。

表記には 0, 1, 2, 3, 4 の 5 個の数字を用い、五を 10、六を 11、七を 12…と表記する。五進法では一桁に入る数は4までであり、一桁に入る数が5までなのは六進法である。右端あるいは小数点で 1 の桁を表す。数字の意味する数は、左に 1 桁ずれると 5 倍になり、右に 1 桁ずれると 1/5 になる。(14)5 という表記において、左の「1」は五を表し、右の「4」は四を表し、合わせて九を表す。

五進表記の整数は、以下のような数値になる。

  • (20)5 = 10 (2×51)
  • (32)5 = 17 (3×51 + 2)
  • (100)5 = 25 (1×52)
  • (121)5 = 36 (1×52 + 2×51 + 1)
  • (224)5 = 64 (2×52 + 2×51 + 4)
  • (311)5 = 81 (3×52 + 1×51 + 1)
  • (400)5 = 100 (4×52)
  • (1000)5 = 125 (1×53)
  • (1331)5 = 216 (1×53 + 3×52 + 3×51 + 1)
  • (10000)5 = 625 (1×54)
  • (13000)5 = 1000 (1×54 + 3×53)
  • (20141)5 = 1296 (2×54 + 0×53 + 1×52 + 4×51 + 1)
  • (30234)5 = 1944 (3×54 + 0×53 + 2×52 + 3×51 + 4)

実際には五進記数法が用いられることは少ない。しかし、他のN進法の内部に五進記数法が含まれることはある。例えば、そろばんやローマ数字は純粋な十進法ではなく、五と十で桁上がりするので、二・五進法という。ローマ数字では I が 1、V が 5、X が 10(10)、L が 50(10) である。8 は VIII と書き、70(10) は LXX と書く。

同様に、マヤ文明の数字は二十進法であるが、五進記数法を補助的に含んでいる。貝殻模様が0、点が 1、横棒が 5 を表し、これらを組み合わせて 1 から J(20) (= 19(10)) までの数字や、10(20) (= 20(10))以降の数字を作る。

各桁の和が4の倍数となる数は4の倍数になる。

5が奇数なので、各桁の和が偶数になる数は全て偶数である。


小数と除算

[編集]

五進法は因数が5だけなので、5でしか割り切れない。一桁の整数を単位分数にすると、全て循環小数になる。十分割（五進表記で1/20）も因数が2と5なので割り切れず、循環小数になる。

単位分数の小数換算値
除数の素因数分解 五進分数 五進小数 十進小数 十進分数
2 1/2 0.2222… 0.5 1/2
3 1/3 0.1313… 0.3333… 1/3
22 1/4 0.1111… 0.25 1/4
10 1/10 0.1 0.2 1/5
2×3 1/11 0.0404… 0.1666… 1/6
2×10 1/20 0.0222… 0.1 1/10

※ 単位分数と素因数分解は五進表記。

計算表

[編集]
加算表
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 10
2 2 3 4 10 11
3 3 4 10 11 12
4 4 10 11 12 13
乗算表
× 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 11 13
3 0 3 11 14 22
4 0 4 13 22 31

命数法

[編集]

五進命数法とは、5 を底とする命数法である。

数詞

[編集]

五進法は片手の指の数に由来する。しかし、五進法は五で桁上がりするので、五進法で数えるなら指は五本ではなく四本で足りる（一桁に四までしか入らない）。

五以降の数詞も、六は「五一」、七は「五二」というように六から九までは「五に一から四までを加えた数詞」として表現され、十は「二五」、十一は「二五一」、十二は「二五二」…というように「M倍の五 + R」として数える。そして、二十三は「四五三」、二十四は「四五四」と来て、その次で五の二乗である二十五で新しい数詞が命名され、以降は五の三乗である百二十五など五の冪数で新しい数詞が命名される。

自然言語で五進命数法の数詞を持つものは少ない。完全な五進法はオーストラリアのグマチ語[1] (Gumatj) でのみ見出されている[2]。以下にグマチ語の数詞を示す。

五進数 十進数 数詞
1 1 wanggany
2 2 marrma
3 3 lurrkun
4 4 dambumiriw
10 5 wanggany rulu
20 10 marrma rulu
30 15 lurrkun rulu
40 20 dambumiriw rulu
100 25 dambumirri rulu
200 50 marrma dambumirri rulu
300 75 lurrkun dambumirri rulu
400 100 dambumiriw dambumirri rulu
1000 125 dambumirri dambumirri rulu
10000 625 dambumirri dambumirri dambumirri rulu

五進法を含む十進法はウォロフ語やクメール語、五進法を含む二十進法はナワトル語に見られる。

参考文献

[編集]
  1. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Gumatj”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=gnn 2008年3月12日閲覧。 
  2. ^ Harris, John (1982), Hargrave, Susanne, ed., “Facts and fallacies of aboriginal number systems”, Work Papers of SIL-AAB Series B 8: 153-181, オリジナルの2007年8月31日時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20070831202737/http://www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0029743_v_a.pdf 

関連項目

[編集]
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