「誘電率」の版間の差分
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{{出典の明記|date=2012年6月}} |
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{{物理量 |
{{物理量 |
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|英語= permittivity |
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| 名称 = |
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|画像= [[ファイル:Capacitor principle sketch.png|110px]] |
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| 英語 = permittivity |
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|記号= {{mvar|ε}} |
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| 画像 = |
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|次元= [[質量|M]]{{sup-|1}} [[長さ|L]]{{sup-|3}} [[時間|T]]{{sup|4}} [[電流|I]]{{sup|2}} |
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| 記号 =''ε'' |
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|階= テンソル |
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| 次元 =''[[質量|M]]'' {{sup-|1}} ''[[長さ|L]]'' {{sup-|3}} ''[[時間|T]]'' {{sup|4}} ''[[電流|I]]'' {{sup|2}} |
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|SI= [[ファラド]]毎[[メートル]](F m{{sup-|1}}) |
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| 階 =スカラー |
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|esu= 無単位量 |
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| SI =[[ファラド|F]]/[[メートル|m]] |
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| CGS = |
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| MTS = |
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| FPS = |
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| MKSG = |
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| CGSG = |
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| FPSG = |
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| プランク = |
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| 原子 = |
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}} |
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'''誘電率'''(ゆうでんりつ、{{lang-en|permittivity}})は物質内で[[電荷]]とそれによって与えられる力との関係を示す係数である。電媒定数ともいう。各物質は固有の誘電率をもち、この値は外部から[[電場]]を与えたとき物質中の[[原子]](あるいは[[分子]])がどのように応答するか([[誘電分極]]の仕方)によって定まる。 |
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== 定義 == |
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'''誘電率'''(ゆうでんりつ、permittivity)は物質内で[[電荷]]とそれによって与えられる力との関係を示す係数である。電媒定数ともいう。各物質は固有の誘電率をもち、この値は外部から[[電場]]を与えたとき物質中の[[原子]](あるいは[[分子]])がどのように応答するか([[誘電分極]]の仕方)によって定まる。 |
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[[電束密度]]を {{mvar|'''D'''}}、[[電場|電場の強度]]を {{mvar|'''E'''}} として、誘電率は |
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<math>\varepsilon =\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial\boldsymbol{E}}</math> |
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}} |
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で定義される。電束密度と電場の強度の間に[[線形関係]]を仮定すれば |
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<math>\boldsymbol{D} =\varepsilon\boldsymbol{E}</math> |
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}} |
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と表される。誘電率は一般に[[テンソル]]になるが、[[等方性]]を仮定すれば[[スカラー (物理学)|スカラー]]となる。 |
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=== 真空中 === |
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ところで、[[真空]]中での[[電荷密度]] ρ とそれによって与えられる[[電場]] E との関係は次の[[マクスウェルの方程式|マクスウェル=ガウスの式]] |
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特に真空においては等方かつ線形関係が成り立ち |
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: <math>\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho} {\varepsilon_0}</math> |
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で定義される。ここで係数 ε<sub>0</sub> は真空の誘電率とよばれ、値は ε<sub>0</sub> = 8.85418782{{e-|12}} [[ファラド|F]]/[[メートル|m]] である。この単位は [[ニュートン|N]]/[[ボルト (単位)|V]]{{sup|2}} とも表せ、[[透磁率]]の単位 [[ヘンリー|H]]/m = N/[[アンペア|A]]{{sup|2}} と、[[電気]]と[[磁気]]について対称となっている([[次元]]も対称である)。 |
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<math>\boldsymbol{D} =\varepsilon_0\boldsymbol{E}</math> |
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}} |
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と表される。比例係数 {{math|''ε''{{sub|0}}}} は[[電気定数]](真空の誘電率)と呼ばれる物理定数である。 |
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=== 比誘電率 === |
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真空の[[透磁率]]を μ<sub>0</sub>、[[光速度|光速]]を c とすると次の関係がある。 |
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誘電率を電気定数で無次元化した |
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: <math> \varepsilon_0 = \frac{1}{\mu_0 c^2} </math> |
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なお、真空の誘電率 ε<sub>0</sub> というと、真空も[[誘電体]]であるかのような錯覚をしがちだが、ε<sub>0</sub> は[[MKSA単位系]]のつじつまを合わせるために必要な人工的な値であって、[[電磁気の単位#CGSガウス単位系|CGSガウス単位系]]などでは必要とされないものである。真空は誘電体ではない。 |
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<math>\kappa =\varepsilon/\varepsilon_0</math> |
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}} |
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は[[比誘電率]]と呼ばれる。 |
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== 誘電体 == |
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いま、真空に置かれた [[電荷]] Q が作る電場を '''''E'''''<sub>0</sub> とする。次に Q の周囲を誘電体([[自由電子]]を持たない物質)で満たすと、誘電体の原子(あるいは分子)のプラス電荷([[原子核]])とマイナス電荷([[電子]])は Q の静電力を受け、わずかに移動して偏った状態でバランスする(これを'''誘電分極'''とよぶ)。この誘電体のすべての原子核と電子を点電荷と考えて q<sub>1</sub>, q<sub>2</sub>, <sup>...</sup>, q<sub>n</sub> と書くと、誘電体が作る電場 '''''E''''' ' は、これらの電荷が真空で作る電場の重ね合わせだから |
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誘電率は電磁場の下での[[誘電体]]の応答を表す物性量の一つである。誘電体が電磁場の中に置かれたとき、その内部には[[誘電分極]]が生じる。一般には誘電分極は電磁場の[[ヒステリシス|履歴]]にも依存する複雑な関数であるが、誘電率を考えるときは局所的に依存するものと考える。 |
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:<math> |
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外部電場の中に誘電体を置くと、外部電場からの静電気力を受けて誘電体を構成する[[原子核]]や[[電子]]の平均的な位置が元の位置からわずかに移動する。これが誘電分極である。 |
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\boldsymbol{E'} = \sum^{n}_{j=1}\frac{q_j \boldsymbol{\hat{r}}_j}{4 \pi \varepsilon_0 {r_j}^2} |
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</math> |
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となる。ここで q<sub>j</sub> から電場 '''''E''''' ' までのベクトルを <math>\boldsymbol{r}_j</math> とするとき、<math>r_j\,</math> はその長さ、<math>\boldsymbol{\hat{r}}_{j}</math> はその単位ベクトルである。 誘電体の中の電場 '''''E''''' は '''''E'''''<sub>0</sub> と '''''E''''' ' の重ね合わせになるから |
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:<math> |
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\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E}_0 +\boldsymbol{E'} |
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</math> |
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と表される。さて、誘電率 ε を |
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:<math> |
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\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}=\frac{\boldsymbol{E}}{\,\,\boldsymbol{E}_0} |
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</math> |
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と定義すると、誘電体の中では真空に比べ電場が ε<sub>0</sub> /ε 倍となっている。電場があまり大きくない限り、誘電率は[[等方的]]な物質では定数([[スカラー]])であり、[[異方的]]な物質では[[テンソル]]になる。電場 '''''E'''''<sub>0</sub> と '''''E''''' ' の方向は、等方的な物質では正反対になるが、異方的な物質では必ずしもそうはならない。しかし、どちらにしても '''''E''''' ' は '''''E'''''<sub>0</sub> を弱める方向に働くため、誘電体の中の電場は真空に比べると小さくなる。 |
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外部電場を {{math|'''''E'''''{{sub|0}}}} とし、誘電体を構成する全ての原子核と電子が作る電場の強度を {{mvar|'''E'''{{sub|P}}}} とすると、全体の電場の強度は重ね合わせにより |
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そこで、真空の誘電率 ε<sub>0</sub> の代わりに誘電率 ε を導入し、 '''''D''''' = ε'''''E''''' と定義される[[電束密度]] '''''D''''' を使えば、誘電体の中の自由電荷分布 ρ を源泉とするマクスウェル=ガウスの式は |
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{{Indent| |
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: <math>\nabla \cdot \boldsymbol{D} =\rho</math> |
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<math>\boldsymbol{E} =\boldsymbol{E}_0 + \boldsymbol{E}_P</math> |
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と表すことができる。ただし、一般に ∇×'''''D''''' = 0 ではないため、この式だけで ρ から '''''D''''' を定めることはできない(定めるためには誘電体の表面での境界条件が必要になる)。これとは対照的に一般的な条件での静電場 '''''E''''' は、定数電場を除いて、ρ から一義的に定めることができる。 |
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}} |
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となる。分極による電場 {{mvar|'''E'''{{sub|P}}}} は外部電場 {{math|'''''E'''''{{sub|0}}}} を弱める方向に生じるため、誘電体の内部の電場の強度は、誘電体がなかった場合に比べると小さくなる。 |
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一方、誘電体が[[帯電]]していなければ、電束密度は誘電体の存在によって変化しないので |
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<math>\boldsymbol{D} =\varepsilon_0 \boldsymbol{E}_0 |
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=\varepsilon_0 (\boldsymbol{E} -\boldsymbol{E}_P)</math> |
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}} |
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となる。誘電体内部の電場の強度は小さくなるが電束密度は変わらないので、比誘電率は1より大きくなる。 |
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誘電分極の程度を表す物理量 |
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<math>\boldsymbol{P} =\boldsymbol{D} -\varepsilon_0\boldsymbol{E}</math> |
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}} |
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を導入したとき、誘電分極 {{mvar|'''P'''}} の電場の強度 {{mvar|'''E'''}} による微分によって定められる[[電気感受率]]は |
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<math>\chi =\frac1{\varepsilon_0}\frac{\partial\boldsymbol{P}}{\partial\boldsymbol{E}} |
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=\frac{\varepsilon -\varepsilon_0}{\varepsilon_0}</math> |
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}} |
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となり、誘電率によって表される。 |
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== 誘電関数 == |
== 誘電関数 == |
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電場の変動が速い場合には、分極の時間的なずれが大きくなって履歴効果が無視できず、誘電率が定数にはならない。空間的な局所性を仮定すれば、履歴効果は[[畳み込み]]の形で |
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電場がある程度以上の速さで変化する場合、誘電率は定数にはならず、電場の振動数 ω の関数である'''誘電関数''' ε(ω) として記述される。誘電関数には電気伝導や[[バンド理論|バンド間遷移]]による損失が発生するため、一般に以下のような複素関数となる。 |
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{{Indent| |
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: <math>\epsilon (\omega )=\epsilon_1 (\omega )+i\epsilon_2 (\omega )</math> |
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<math>\boldsymbol{D}(t) =\int_{-\infty}^t \varepsilon(t-\tau)\,\boldsymbol{E}(\tau)\, d\tau</math> |
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このうち[[実数]]部 ε<sub>1</sub>(ω) は電場の振動との位相差および分極の大きさを与える。なお、ω=0 のときの実数部 ε<sub>1</sub> は上述した誘電率 ε にほかならない。また、[[虚数]]部 ε<sub>2</sub>(ω) は電気伝導やバンド間遷移による[[誘電正接|誘電損失]]を与えている。 |
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}} |
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と表わされる。積分区間が {{math|''τ'' < ''t''}} となっているのは[[因果律]]によるもので、時間 {{mvar|t}} より過去の電場によって決まることを表している。このことは[[積分核]]が[[ヘヴィサイドの階段関数]] {{mvar|θ}} を用いて |
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<math>\varepsilon(t) =k(t)\,\theta(t)</math> |
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}} |
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の形をしていることを意味する。 |
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周期的に変動する電場の下では[[フーリエ変換]]により周波数領域に移ることで畳み込みは |
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ある物質の誘電関数を調べることで、その物質の電子物性、光物性に関する多くの情報を得ることができる。光吸収スペクトルの測定から、虚数部 ε<sub>2</sub> を得ることができる。これに[[クラマース・クローニッヒの関係式]] (Kramers-Kronig relations) を用いることで、実数部 ε<sub>1</sub> を得ることができる。また、電子エネルギー損失分光 (EELS) の測定結果は ε<sub>2</sub>/(ε<sub>1</sub><sup>2</sup> + ε<sub>2</sub><sup>2</sup>)(損失関数)を与える。 |
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<math>\boldsymbol{D}(\omega) =\varepsilon(\omega)\, \boldsymbol{E}(\omega)</math> |
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}} |
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で表わされる。誘電率は周波数 {{mvar|ω}} の関数である'''誘電関数'''として記述される。 |
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なお、誘電関数が周波数に依存しない定数関数であるときは、フーリエ変換により時間領域に戻った時に[[積分核]] {{math|''ε''(''t'')}} が[[ディラックのデルタ関数|インパルス的]]であり、{{math|1=''τ'' = ''t''}} の部分が取り出されて前述の誘電率と一致する。 |
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誘電関数は一般に複素関数となるため'''複素誘電率'''とも呼ばれる。誘電関数の[[実部]]は誘電分極の大きさと電場との位相差を与えており、[[虚部]]は[[電気伝導]]や[[バンド理論|バンド間遷移]]による[[誘電正接|誘電損失]]を与えている。因果律から[[クラマース・クローニッヒの関係式]]が成り立ち、実部と虚部が関係付けられる。 |
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== 関連項目 == |
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*[[屈折率]] |
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*[[誘電体]] |
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*[[比誘電率]] |
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*[[電気感受率]] |
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*[[マクスウェルの方程式]] |
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*[[クーロンの法則]] |
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物質の誘電関数を調べることで、その物質の電子物性や光物性に関する多くの情報を得ることができる。誘電関数は[[複素屈折率]]の二乗で求められ、これは光吸収スペクトルの測定から得ることができる。また[[電子エネルギー損失分光]](EELS)の測定は損失関数を与える。 |
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==外部リンク== |
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*[http://www.asiinstr.com/technical/Dielectric%20Constants.htm 各種物質の誘電率] |
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== 関連項目 == |
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{{DEFAULTSORT:ゆうてんりつ}} |
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* [[比誘電率]] |
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* [[誘電体]] |
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* [[電気感受率]] |
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* [[電気伝導率]] |
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* [[屈折率]] |
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* [[透磁率]] |
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* [[マクスウェルの方程式]] |
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* [[クーロンの法則]] |
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== 外部リンク == |
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[[Category:物質の性質]] |
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{{DEFAULTSORT:ゆうてんりつ}} |
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[[Category:物理量]] |
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[[Category:物性値]] |
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[[Category:電気]] |
[[Category:電気]] |
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[[Category:電磁気学]] |
[[Category:電磁気学]] |
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[[Category:率・割合]] |
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[[ar:سماحية]] |
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[[be:Дыэлектрычная пранікальнасць]] |
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[[be-x-old:Дыэлектрычная пранікальнасьць]] |
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[[bg:Диелектрична проницаемост]] |
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[[ca:Permitivitat]] |
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[[cs:Permitivita]] |
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[[de:Permittivität]] |
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[[en:Permittivity]] |
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[[es:Permitividad]] |
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[[fi:Permittiivisyys]] |
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[[fr:Permittivité]] |
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[[he:מקדם דיאלקטרי]] |
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[[id:Permittivitas]] |
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[[it:Permittività elettrica]] |
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[[ko:유전율]] |
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[[lt:Dielektrinė skvarba]] |
[[lt:Dielektrinė skvarba]] |
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[[nl:Permittiviteit]] |
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[[no:Permittivitet]] |
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[[pl:Względna przenikalność elektryczna]] |
[[pl:Względna przenikalność elektryczna]] |
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[[pt:Permissividade]] |
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[[ru:Абсолютная диэлектрическая проницаемость]] |
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[[sk:Permitivita]] |
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[[sl:Dielektričnost]] |
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[[sq:Permitiviteti]] |
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[[sv:Permittivitet]] |
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[[zh:电容率]] |
2023年6月4日 (日) 06:14時点における最新版
誘電率 permittivity | |
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量記号 | ε |
次元 | M−1 L−3 T4 I2 |
種類 | テンソル |
SI単位 | ファラド毎メートル(F m−1) |
CGS‐esu | 無単位量 |
誘電率(ゆうでんりつ、英語: permittivity)は物質内で電荷とそれによって与えられる力との関係を示す係数である。電媒定数ともいう。各物質は固有の誘電率をもち、この値は外部から電場を与えたとき物質中の原子(あるいは分子)がどのように応答するか(誘電分極の仕方)によって定まる。
定義
[編集]
で定義される。電束密度と電場の強度の間に線形関係を仮定すれば
と表される。誘電率は一般にテンソルになるが、等方性を仮定すればスカラーとなる。
真空中
[編集]特に真空においては等方かつ線形関係が成り立ち
と表される。比例係数 ε0 は電気定数(真空の誘電率)と呼ばれる物理定数である。
比誘電率
[編集]誘電率を電気定数で無次元化した
は比誘電率と呼ばれる。
誘電体
[編集]誘電率は電磁場の下での誘電体の応答を表す物性量の一つである。誘電体が電磁場の中に置かれたとき、その内部には誘電分極が生じる。一般には誘電分極は電磁場の履歴にも依存する複雑な関数であるが、誘電率を考えるときは局所的に依存するものと考える。 外部電場の中に誘電体を置くと、外部電場からの静電気力を受けて誘電体を構成する原子核や電子の平均的な位置が元の位置からわずかに移動する。これが誘電分極である。
外部電場を E0 とし、誘電体を構成する全ての原子核と電子が作る電場の強度を EP とすると、全体の電場の強度は重ね合わせにより
となる。分極による電場 EP は外部電場 E0 を弱める方向に生じるため、誘電体の内部の電場の強度は、誘電体がなかった場合に比べると小さくなる。 一方、誘電体が帯電していなければ、電束密度は誘電体の存在によって変化しないので
となる。誘電体内部の電場の強度は小さくなるが電束密度は変わらないので、比誘電率は1より大きくなる。
誘電分極の程度を表す物理量
を導入したとき、誘電分極 P の電場の強度 E による微分によって定められる電気感受率は
となり、誘電率によって表される。
誘電関数
[編集]電場の変動が速い場合には、分極の時間的なずれが大きくなって履歴効果が無視できず、誘電率が定数にはならない。空間的な局所性を仮定すれば、履歴効果は畳み込みの形で
と表わされる。積分区間が τ < t となっているのは因果律によるもので、時間 t より過去の電場によって決まることを表している。このことは積分核がヘヴィサイドの階段関数 θ を用いて
の形をしていることを意味する。
周期的に変動する電場の下ではフーリエ変換により周波数領域に移ることで畳み込みは
で表わされる。誘電率は周波数 ω の関数である誘電関数として記述される。 なお、誘電関数が周波数に依存しない定数関数であるときは、フーリエ変換により時間領域に戻った時に積分核 ε(t) がインパルス的であり、τ = t の部分が取り出されて前述の誘電率と一致する。
誘電関数は一般に複素関数となるため複素誘電率とも呼ばれる。誘電関数の実部は誘電分極の大きさと電場との位相差を与えており、虚部は電気伝導やバンド間遷移による誘電損失を与えている。因果律からクラマース・クローニッヒの関係式が成り立ち、実部と虚部が関係付けられる。
物質の誘電関数を調べることで、その物質の電子物性や光物性に関する多くの情報を得ることができる。誘電関数は複素屈折率の二乗で求められ、これは光吸収スペクトルの測定から得ることができる。また電子エネルギー損失分光(EELS)の測定は損失関数を与える。