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数学における'''層'''（そう、{{lang-en-short|sheaf}}<ref group="注">英語で麦類の穂束、書類の束、矢の束などを意味する ([[:en:wikt:sheaf|sheaf - Wiktionary]])。</ref>, {{lang-fr-short|faisceau}}）とは、[[位相空間]]上で連続的に変化する様々な数学的[[構造 (数学)|構造]]をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの貼り合わせ可能性によって定式化される。
{{要改訳}}

数学における'''層'''（そう、{{lang-en-short|sheaf}}, {{lang-fr-short|faisceau}}）とは、[[位相空間]]上で連続的に変化する様々な数学的[[構造 (数学)|構造]]をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの張り合わせ可能性によって定式化される。より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は'''前層'''（ぜんそう、{{en|presheaf}}）とよばれる。
　層は局所と大域をつなぐことばであり、装置である。層のことばを使って多様体やリーマン面などの幾何学的対象が定義できる。曲面の向きや微分形式も層のことばで定義できる。
例として、位相空間上の連続関数を考える。位相空間の各集合に対しそこで定義された連続関数の環が定まり、開集合の包含関係に対し定義域を制限することで定まる写像は環の射である。
さらに、局所的に定義された連続関数の族が大域的な関数を定義するならば、その関数は連続関数である。層の定義は、この2つの性質を抽象化したものである<ref>P191 第7章 層 数学原論 斎藤毅著 東京大学出版会 2020年4月10日 {{ISBN2|978-4-13-063904-0}} なお、複素解析(著者：L.V.アールフォルス ／笠原乾吉 （訳）(1982)(株)現代数学社)の第8章 1.2 芽と層 およびそれ以降の節が、複素解析論における層の理論の具体的適用例として大変参考になる。</ref>。

　より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は'''前層'''（ぜんそう、{{en|presheaf}}）とよばれる<ref>{{行内引用|層という訳語の由来は仏語 Faisceau のあとの方の 'ソー' をとったというのが一つの根拠である。Faisceau の元来の意味は束 (タバ) である。'群の束' (X 上に配置された) の意である。ところで、これを横に見ると地層のような層になる。そこで、垂直を水平におきかえて層と訳してみたのである。この訳がよいか、悪いか、わが国で定着しているかどうか知らないが、この訳語の発案者として、その由来を記しておく。|lang=ja|style=font-style:italic}}{{Harv|秋月|1970|p=176}}</ref>。


== 定義 ==
== 定義 ==
=== 前層 ===
=== 前層 ===
組 <math>(X,T)</math> を <math>X</math> が集合、<math>T</math> が <math>X</math> の開集合系である[[位相空間]]とする。{{mvar|X}} 上の（集合の）'''前層''' <math>\mathcal{F}</math> とは、次の条件を満たす <math>X</math> の開集合から集合への対応規則である。
(''X'', ''T'') を[[位相空間]]とする。''X'' の[[開集合]] ''U'' &isin; ''T'' に対し[[集合]] ''F''(''U'') を対応付けるとき、開集合の包含関係 ''U'' &sub; ''V'' に応じて'''制限写像'''（せいげんしゃぞう、<em lang="en">restriction map</em>）と呼ばれる写像

:<math>\rho_U^V\colon F(V) \to F(U)</math>
*<math>X</math> の[[開集合]] <math>U\in T</math> に対して[[集合]] <math>\mathcal{F}(U)</math> が定まる。
（&rho;{{subSup||''U''|''V''}} を &rho;<sub>''U'',''V''</sub> のように記すこともある）が定まって、次の条件
* 開集合の包含関係 <math>U\subset V</math> に応じて'''制限写像'''（せいげんしゃぞう、<em lang="en">restriction map</em>）と呼ばれる写像
# <math>\rho_U^U = \mathrm{identity},</math>

# <math>U \sub V \sub W \Rightarrow \rho_U^W = \rho_U^V \circ \rho_V^W</math>
::<math>\rho_U^V\colon \mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(U)</math>
が成立する。そのとき集合と写像の族 ''F'' = {(''F''(''U''))<sub>''U''&isin;''T''</sub>, (&rho;<sub>''U''</sub><sup>''V''</sup>)<sub>''U'',''V''&isin;''T'';''U'' &sube; ''V''</sub>} を ''X'' を'''底空間'''といい、その集合に値を持つ写像の族を'''前層'''（または簡単に ''X'' 上の集合の前層）と呼ぶ。各開集合 ''U'' に対応付けられる ''F''(''U'') がどれも加群の構造を持ち、制限写像がどれも加群の準同型となっているならば ''X'' 上の加群の前層、同じく ''F''(''U'') がどれも環であって制限写像がどれも環準同型ならば ''X'' 上の環の前層、といったように ''F''(''U'') たちのもつ構造によって前層をクラスに分けることができる。
:（{{math|{{subSup|&rho;|''U''|''V''}}}} を {{math|''&rho;''<sub>''U'', ''V''</sub>}} のように記すこともある）が定まり、さらに次の条件を満たす。

#<math>\rho^U_U=\mathrm{id}_U</math>（ここで、<math>\mathrm{id}_U: \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)</math>は恒等写像である）。
#<math>U \sub V \sub W \implies \rho_U^W = \rho_U^V \circ \rho_V^W</math>。
<!--そのとき集合と写像の族 ''F'' = {(''F''(''U''))<sub>''U''&isin;''T''</sub>, ({{subSup|&rho;|''U''|''V''}})<sub>''U'',''V''&isin;''T''; ''U'' &sube; ''V''</sub>} を、その集合に値を持つ写像の族を'''前層'''（または簡単に ''X'' 上の集合の前層）と呼ぶ。-->

各開集合 <math>U</math> に対応付けられる <math>\mathcal{F}(U)</math> がどれも加群の構造を持ち、制限写像がどれも加群の準同型となっているならば ''X'' 上の'''加群の前層'''、同じく <math>\mathcal{F}(U)</math> がどれも環であって制限写像がどれも環準同型ならば <math>X</math> 上の'''環の前層'''、といったように <math>\mathcal{F}(U)</math> たちのもつ構造によって前層をクラスに分けることができる。

各開集合 <math>U</math> に対して <math>\mathcal{F}(U)</math> の元を前層 <math>\mathcal{F}</math> の <math>U</math> 上の'''切断'''（せつだん、<em lang="en">section</em>）あるいは'''断面'''（だんめん）と呼ぶ。開集合の包含関係 <math>U\subset V</math> と <math>V</math>上の切断 <math>s\in\mathcal{F}(V)</math> が与えられたとき、


各開集合 ''U'' に対して ''F''(''U'') の元を前層 ''F'' の ''U'' 上の'''切断'''（せつだん、<em lang="en">section</em>）あるいは'''断面'''（だんめん）と呼ぶ。開集合の包含関係 ''U'' &sub; ''V'' と ''V'' 上の切断 ''s'' &isin; ''F''(''V'') が与えられたとき、
:<math>s|_{U} := \rho_U^V(s)</math>
:<math>s|_{U} := \rho_U^V(s)</math>
と記して、''s''|<sub>''U''</sub> を切断 ''s'' の ''U'' への'''制限''' <span lang="en">(restriction)</span> と呼ぶ。


と記して、<math>s|_U</math> を切断 <math>s</math> の <math>U</math> への'''制限''' <span lang="en">(restriction)</span> と呼ぶ。
[[圏論]]の言葉で言えば、''X'' の開集合系（これは包含関係に関する[[順序集合]]となる） ''T'' を[[圏 (数学)|圏]]と見なすとき、''X'' 上の前層とは ''T'' から集合の圏への[[関手#反変関手|反変関手]]のことであるということができる。また、可換群の（あるいは加群の）前層や環の前層は ''T'' から可換群の圏や環の圏への反変関手のことであり、同様にして ''T'' から適当な圏 ''C'' への反変関手として ''C'' に値を持つ前層が定義される。二つの前層を関手と見なして、その間の自然変換となるものを'''前層の射'''または前層の[[準同型]]とよぶ。

[[圏論]]の言葉で言えば、<math>X</math> の開集合系（これは包含関係に関する[[順序集合]]となる）<math>T</math> を[[圏 (数学)|圏]]と見なすとき、<math>X</math> 上の前層とは <math>T</math> から集合の圏への[[関手#反変関手|反変関手]]のことであるということができる。また、可換群の（あるいは加群の）前層や環の前層は <math>T</math> から可換群の圏や環の圏への反変関手のことであり、同様にして <math>T</math> から適当な圏 <math>\mathcal{C}</math> への反変関手として <math>\mathcal{C}</math> に値を持つ前層が定義される{{sfn|Bredon|1997|pp={{google books quote|id=JFXSBwAAQBAJ|page=1|1}}–2}}。二つの前層を関手と見なして、その間の自然変換となるものを'''前層の射'''または前層の[[準同型]]とよぶ。


=== 層 ===
=== 層 ===
位相空間 ''X'' 上の前層はその切断が局所的な切断の張り合わせで定義できるとき'''層'''と呼ばれる。正確には ''X'' 上の層とは、前層 ''F'' = {''F''(''U''), &rho;<sub>''U''</sub><sup>''V''</sup>} であって、''X'' の各開集合 ''U'' に対して開被覆
位相空間 ''X'' 上の前層はその切断が局所的な切断の張り合わせで定義できるとき'''層'''と呼ばれる。正確には ''X'' 上の層とは、前層 ''F'' = {''F''(''U''), {{subSup|ρ|''U''|''V''}}} であって、''X'' の各開集合 ''U'' に対して開被覆
:<math>U = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda</math>
:<math>U = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda</math>
が任意に与えられたとき、''F''(''U'') の元 ''s'', ''t'' が任意の λ に対して
が任意に与えられたとき、''F''(''U'') の元 ''s'', ''t'' が任意の λ に対して
:<math>s|_{U_\lambda} = t|_{U_\lambda}</math>
:<math>s|_{U_\lambda} = t|_{U_\lambda}</math>
を満たすならば常に ''s'' = ''t'' が成立（既約性条件）し、さらに切断の族 (''s''<sub>&lambda;</sub> &isin; ''U''<sub>&lambda;</sub>)<sub>&lambda;&isin;&Lambda;</sub> が常に
を満たすならば常に ''s'' = ''t'' が成立（既約性条件）し、さらに切断の族 {{math|(''s''<sub>''&lambda;''</sub> &isin; ''U''<sub>''&lambda;''</sub>)<sub>''&lambda;''&isin;''&Lambda;''</sub>}} が常に
:<math>s_\lambda|_{V_\lambda \cap V_\mu} = s_\mu|_{V_\lambda \cap V_\mu}</math>
:<math>s_\lambda|_{U_\lambda \cap U_\mu} = s_\mu|_{U_\lambda \cap U_\mu}</math>
を満たすものであるならば常に、''F''(''U'') の元 ''s'' で
を満たすものであるならば常に、''F''(''U'') の元 ''s'' で
:<math>s|_{U_\lambda} = s_\lambda</math>
:<math>s|_{U_\lambda} = s_\lambda</math>
をすべての λ に対して満たすものが存在する（閉条件）ようなもののことをいう。
をすべての {{mvar|λ}} に対して満たすものが存在する（閉条件）ようなもののことをいう。
<!--
=== 層 ===
簡単のため、まず層が集合の圏に値を持つ場合を考える。実際、この定義は、元の集合の函手が保存されるような場合である圏が{{仮リンク|具体的圏|en|concrete category}}(concrete category)であるようなより一般的な場合へ適用され、元の集合の写像が全射であれば元の射が同型であることを意味する。-->
<!--=== Sheaves ===
For simplicity, consider first the case where the sheaf takes values in the category of sets. In fact, this definition applies more generally to the situation where the category is a [[concrete category]] whose underlying set functor is conservative, meaning that if the underlying map of sets is a bijection, then the original morphism is an isomorphism.-->
<!--
'''層'''は、次の 2つの公理を満たす集合の圏に値を持つ前層である。
# （局所性） (U<sub>i</sub>) を開集合 U の[[被覆 (数学)|被覆]]とし、s, t ∈ F(U) を各々の被覆の集合 U<sub>i</sub> に対し s|<sub>U<sub>i</sub></sub> = t|<sub>U<sub>i</sub></sub> であるとすると、s = t である。
# （貼り合わせ） (U<sub>i</sub>) を開集合 U の開被覆とし、各々の i に対し切断 s<sub>i</sub> ∈ F(U<sub>i</sub>) が各々の被覆集合の対 U<sub>i</sub>, U<sub>j</sub> の s<sub>i</sub> と s<sub>j</sub> への制限が一致するとき、つまり、s<sub>i</sub>|<sub>U<sub>i</sub>∩U<sub>j</sub></sub> = s<sub>j</sub>|<sub>U<sub>i</sub>∩U<sub>j</sub></sub> であるとすると、切断 s ∈ F(U) が存在して各々の i に対し s|<sub>U<sub>i</sub></sub> = s<sub>i</sub> となる。-->
<!--
A ''sheaf'' is a presheaf with values in the category of sets that satisfies the following two axioms:
# (Locality) If (''U''<sub>''i''</sub>) is an open [[cover (topology)|covering]] of an open set ''U'', and if ''s'',''t'' ∈ ''F''(''U'') are such that ''s''|<sub>''U''<sub>''i''</sub></sub> = ''t''|<sub>''U''<sub>''i''</sub></sub> for each set ''U''<sub>''i''</sub> of the covering, then ''s'' = ''t''; and
# (Gluing) If (''U''<sub>''i''</sub>) is an open covering of an open set ''U'', and if for each ''i'' a section ''s''<sub>''i''</sub> ∈ ''F''(''U''<sub>''i''</sub>) is given such that for each pair ''U''<sub>''i''</sub>,''U''<sub>''j''</sub> of the covering sets the restrictions of ''s''<sub>''i''</sub> and ''s''<sub>''j''</sub> agree on the overlaps: ''s''<sub>''i''</sub>|<sub>''U''<sub>''i''</sub>∩''U''<sub>''j''</sub></sub> = ''s''<sub>''j''</sub>|<sub>''U''<sub>''i''</sub>∩''U''<sub>''j''</sub></sub>, then there is a section ''s'' ∈ ''F''(''U'') such that ''s''|<sub>''U''<sub>''i''</sub></sub> = ''s''<sub>''i''</sub> for each ''i''.-->
<!--
公理 2 により存在が保証されている切断 s を、切断 s<sub>i</sub> の'''貼りあわせ'''、'''コンカチネーション'''と言う。切断 s は公理 1 により一意的である。公理 2 を満たす切断 s<sub>i</sub> はときには'''整合性を持つ'''(compatible)と呼ばれるので、公理 1 と 2 を合わせると、整合性を持つ切断は一意に貼りあわせることができることを意味する。'''分離的前層'''(separated presheaf)、あるいは'''単層'''(monopresheaf)は公理 1 を満たす前層である<ref>{{Citation | last1=Tennison | first1=B. R. | title=Sheaf theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | mr=0404390 | year=1975}}</ref>。-->
<!--The section ''s'' whose existence is guaranteed by axiom 2 is called the '''gluing''', '''concatenation''', or '''collation''' of the sections ''s''<sub>''i''</sub>. By axiom 1 it is unique. Sections ''s''<sub>''i''</sub> satisfying the condition of axiom 2 are often called ''compatible''; thus axioms 1 and 2 together state that ''compatible sections can be uniquely glued together''. A '''separated presheaf''', or '''monopresheaf''', is a presheaf satisfying axiom 1.<ref>{{Citation | last1=Tennison | first1=B. R. | title=Sheaf theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | mr=0404390 | year=1975}}</ref>-->
<!--If '''C''' has [[product (category theory)|products]], the sheaf axioms are equivalent to the requirement that, for any open covering ''U''<sub>''i''</sub>, the first arrow in the following diagram is an [[equalizer (mathematics)|equalizer]]:

:<math>F(U) \rightarrow \prod_{i} F(U_i) {{{} \atop \longrightarrow}\atop{\longrightarrow \atop {}}} \prod_{i, j} F(U_i \cap U_j).</math>

Here the first map is the product of the restriction maps

:<math>\operatorname{res}_{U_i, U} \colon F(U) \rightarrow F(U_i)</math>

and the pair of arrows the products of the two sets of restrictions

:<math>\operatorname{res}_{U_i \cap U_j, U_i} \colon F(U_i) \rightarrow F(U_i \cap U_j)</math>

and

:<math>\operatorname{res}_{U_i \cap U_j, U_j} \colon F(U_j) \rightarrow F(U_i \cap U_j).</math>

For a separated presheaf, the first arrow need only be injective.

In general, for an open set ''U'' and open covering (''U''<sub>''i''</sub>), construct a category ''J'' whose objects are the sets ''U<sub>i</sub>'' and the intersections {{nowrap|''U<sub>i</sub>'' &cap; ''U<sub>j</sub>''}} and whose morphisms are the inclusions of {{nowrap|''U<sub>i</sub>'' &cap; ''U<sub>j</sub>''}} in ''U<sub>i</sub>'' and ''U<sub>j</sub>''. The sheaf axioms for ''U'' and (''U''<sub>''i''</sub>) are that the [[limit (category theory)|limit]] of the functor ''F'' restricted to the category ''J'' must be isomorphic to ''F''(''U'').

Notice that the empty subset of a topological space is covered by the empty family of sets. The product of an empty family or the limit of an empty family is a terminal object, and consequently the value of a sheaf on the empty set must be a terminal object. If sheaf values are in the category of sets, applying the local identity axiom to the empty family shows that over the empty set, there is at most one section, and applying the gluing axiom to the empty family shows that there is at least one section. This property is called the '''normalisation axiom'''.

It can be shown that to specify a sheaf, it is enough to specify its restriction to the open sets of a [[basis (topology)|basis]] for the topology of the underlying space. Moreover, it can also be shown that it is enough to verify the sheaf axioms above relative to the open sets of a covering. Thus a sheaf can often be defined by giving its values on the open sets of a basis, and verifying the sheaf axioms relative to the basis.-->


=== 射 ===
=== 射 ===
発見的な方法でいうと、層の射は層と層の間の函数に似ている。しかし、層は位相空間のすべての開集合と関連するデータを持っているので、層の射は函数の集まりとして定義され、各々の開集合に対し、整合性条件を満たす。
発見的な方法でいうと、層の射は層の間の写像のようなものである。しかし、層は位相空間の各開集合に対するデータを含んでいるので、層の射は、各開集合上の写像の整合性条件を満たす集まりとして定義される。


''F'' と ''G'' は、値を圏 '''C''' に値をもつ ''X'' 上の 2つの層とする。'''[[射 (圏論)|射]]''' φ: ''G'' → ''F'' は ''X'' の各開集合 ''U'' に対し射 φ(''U''): ''G''(''U'') → ''F''(''U'') より構成され、この射は制限写像と整合性を持つという条件を持つ。言い換えると、開集合 ''U'' のすべての開部分集合 ''V'' に対し、次の図形が[[可換図式|可換]]となる。
''F'' と ''G'' を圏 '''C''' に値をもつ ''X'' 上の 2つの層とする。'''[[射 (圏論)|射]]''' φ: ''G'' → ''F'' は、''X'' の各開集合 ''U'' に対し、制限と両立するような射 φ(''U''): ''G''(''U'') → ''F''(''U'') からなる。言い換えると、開集合 ''U'' のすべての開部分集合 ''V'' に対し、次の図式が[[可換図式|可換]]となる：
<div style="text-align: center;">[[Image:SheafMorphism-01a.png]]</div>
<div style="text-align: center;">[[Image:SheafMorphism-01a.png]]</div>
<!--=== Morphisms ===
Heuristically speaking, a morphism of sheaves is analogous to a function between them. However, because sheaves contain data relative to every open set of a topological space, a morphism of sheaves is defined as a collection of functions, one for each open set, that satisfy a compatibility condition.


層を特別な種類の関手としても表現できることを思い出そう。このとき、層の射は対応する関手の[[自然変換]]である。射のこの概念により、任意の '''C''' に対し ''X'' 上の '''C''' に値を持つ層の圏が存在する。その対象は '''C''' に値を持つ層であり、射は層の射である。層の''[[同型射]]''はこの圏における同型射である。
Let ''F'' and ''G'' be two sheaves on ''X'' with values in the category '''C'''. A ''[[morphism]]'' φ : ''G'' → ''F'' consists of a morphism φ(''U'') : ''G''(''U'') → ''F''(''U'') for each open set ''U'' of ''X'', subject to the condition that this morphism is compatible with restrictions. In other words, for every open subset ''V'' of an open set ''U'', the following diagram
<div style="text-align: center;">[[Image:SheafMorphism-01a.png]]</div>
is [[commutative diagram|commutative]].-->
<!--Recall that we could also express a sheaf as a special kind of functor. In this language, a morphism of sheaves is a [[natural transformation]] of the corresponding functors. With this notion of morphism, there is a category of '''C'''-valued sheaves on ''X'' for any '''C'''. The objects are the '''C'''-valued sheaves, and the morphisms are morphisms of sheaves. An ''[[isomorphism]]'' of sheaves is an isomorphism in this category.


層の同型射は各開集合 ''U'' 上の同型射であることを証明できる。言い換えると、φ が同型射であることと、各 ''U'' に対し φ(''U'') が同型射であることが同値である。同じことは[[モノ射|単射]]についても正しいが、[[エピ射|全射]]については正しくない。[[層係数コホモロジー]]を参照。
It can be proved that an isomorphism of sheaves is an isomorphism on each open set ''U''. In other words, φ is an isomorphism if and only if for each ''U'', φ(''U'') is an isomorphism. The same is true of [[monomorphism]]s, but not of [[epimorphism]]s. See [[sheaf cohomology]].


層の射の定義において貼りあわせの公理を用いなかったことに注意しよう。したがって、上の定義は前層に対しても意味をなす。すると '''C''' に値を持つ前層の圏は[[関手圏]]、''O''(''X'') から '''C''' への反変関手の圏である。
Notice that we did not use the gluing axiom in defining a morphism of sheaves. Consequently, the above definition makes sense for presheaves as well. The category of '''C'''-valued presheaves is then a [[functor category]], the category of contravariant functors from ''O''(''X'') to '''C'''.-->
<!--
Recall that we could also express a sheaf as a special kind of functor. In this language, a morphism of sheaves is a [[natural transformation]] of the corresponding functors. With this notion of morphism, there is a category of '''C'''-valued sheaves on ''X'' for any '''C'''. The objects are the '''C'''-valued sheaves, and the morphisms are morphisms of sheaves. An ''[[isomorphism]]'' of sheaves is an isomorphism in this category.

It can be proved that an isomorphism of sheaves is an isomorphism on each open set ''U''. In other words, φ is an isomorphism if and only if for each ''U'', φ(''U'') is an isomorphism. The same is true of [[monomorphism]]s, but not of [[epimorphism]]s. See [[sheaf cohomology]].

Notice that we did not use the gluing axiom in defining a morphism of sheaves. Consequently, the above definition makes sense for presheaves as well. The category of '''C'''-valued presheaves is then a [[functor category]], the category of contravariant functors from ''O''(''X'') to '''C'''.-->

== 例 ==
層は完全に局所的状況と大域的状況の間を埋め合わせるデータを完全に持っているので、数学全体を通して多くの例がある。ここにいくつかの層の例を加える。

* '''連続函数の層'''：X を位相空間とする。X の開集合 U に対して、その上の複素数値連続函数のなす空間を C(U) とかくことにする。開集合の包含関係 V ⊆ U に対して函数の定義域の制限 C(U) → C(V) を考えることで X 上の層が得られる。点 x におけるこの層の芽とは x のまわりでの函数の局所的な振る舞いを表していると考えることができる。同様に、複素多様体に対しその上の正則函数のなす層を考えることができる。

* '''定数層'''：Mを集合とするとき、離散位相を考えて M を位相空間とみなす。このとき、直積空間 X × M から X への第一成分への射影写像は局所同相写像になっていて、X 上のエタールバンドルを与えている。これに対応する層は M が定める X 上の定数層と呼ぶ。

* '''切断の層'''：位相空間の連続写像は集合の層を決定する。f : Y → X を連続写像とする。X 上の層 Γ(Y/X) を Γ(Y/X)(U) が切断 U → Y と設定すること、すなわち、Γ(Y/X)(U) をすべての連続函数 s : U → Y で f ∘ s = id<sub>U</sub> となる函数とすることにより定義する。制限は函数の制限として与えられる。この層は f の切断の層と呼ばれ、f が基礎空間上への[[ファイバーバンドル]]の射影であるときに特に重要である。f の像が U を含まない場合には、Γ(Y/X)(U) が空集合であることに注意する。具体例として、<math>X = \mathbb{C}\backslash\{0\}, Y = \mathbb{C}, f(z) = exp(z)</math> とすると、Γ(Y/X)(U) は U 上の対数の分岐の集合となる。

* '''摩天楼層'''(skyscraper sheaf)：X 上の点 x と圏 '''C''' の上の対象 S を固定する。x の上の茎 S をもつ摩天楼層(skyscraper sheaf)は、次のように定義される層 S<sub>x</sub> である。U を x を含む開集合とすると、S<sub>x</sub>(U) = S である。U が x を含まなければ、S<sub>x</sub>(U) は '''C''' の終対象である。制限写像は、双方の集合が x を含んでいれば S 上の同一視であり、あるいは、S から '''C''' の終対象への一意な写像であるかのいづれかである。
<!--== Examples ==
Because sheaves encode exactly the data needed to pass between local and global situations, there are many examples of sheaves occurring throughout mathematics. Here are some additional examples of sheaves:

* Any continuous map of topological spaces determines a sheaf of sets. Let ''f'' : ''Y'' → ''X'' be a continuous map. We define a sheaf Γ(''Y''/''X'') on ''X'' by setting Γ(''Y''/''X'')(U) equal to the sections ''U'' → ''Y'', that is, Γ(''Y''/''X'')(U) is the set of all continuous functions ''s'' : ''U'' → ''Y'' such that ''f ∘ s'' = ''id''<sub>''U''</sub>. Restriction is given by restriction of functions. This sheaf is called the '''sheaf of sections''' of ''f'', and it is especially important when ''f'' is the projection of a [[fiber bundle]] onto its base space. Notice that if the image of ''f'' does not contain ''U'', then Γ(''Y''/''X'')(''U'') is empty. For a concrete example, take ''X'' = '''C''' \ {0}, ''Y'' = '''C''', and ''f(z)'' = exp(''z''). Γ(''Y''/''X'')(''U'') is the set of branches of the logarithm on ''U''.

* Fix a point ''x'' in ''X'' and an object ''S'' in a category '''C'''. The ''skyscraper sheaf over ''x'' with stalk'' ''S'' is the sheaf ''S''<sub>''x''</sub> defined as follows: If ''U'' is an open set containing ''x'', then ''S''<sub>''x''</sub>(''U'') = ''S''. If ''U'' does not contain ''x'', then ''S''<sub>''x''</sub>(''U'') is the terminal object of '''C'''. The restriction maps are either the identity on ''S'', if both open sets contain ''x'', or the unique map from ''S'' to the terminal object of '''C'''.-->

=== 多様体上の層 ===
次に上げる例では、''M'' は ''n'' 次元 ''C<sup>k</sup>'' 級多様体とする。この表は、''M'' の開部分集合 ''U'' 上の層のとる値と制限写像を一覧とした。
<!--=== Sheaves on manifolds ===
In the following examples ''M'' is an ''n''-dimensional ''C''<sup>''k''</sup>-manifold. The table lists the values of certain sheaves over open subsets ''U'' of ''M'' and their restriction maps.-->

{| class="wikitable"
|-
! 層 !! 開集合 U 上の切断 !! 制限写像 !! 注意
|-
! 連続微分可能函数 <math>\mathcal{O}^j_M</math>,　j ≤ k の j 回の積の層
| C<sup>j</sup>-函数 U → '''R'''
| 函数の制限
| 環の層であり、加法と乗法は点に対しての加法と乗法として与えられている。j = k のとき、この層は'''構造層'''と呼ばれ、<math>\mathcal{O}_M</math> と書かれる。
|-
! 非零である k-階連続微分可能函数 <math>\mathcal{O}_X^\times</math>
| どこでも 0 とはならない C<sup>k</sup>-写像 U → '''R'''
| 函数の制限
| 点としての乗法群の層
|-
! '''余接層''' Ω<sup>p</sup><sub>M</sub>
| U 上の次数 p の[[微分形式]]
| 微分形式の制限
| Ω<sup>1</sup><sub>M</sub> と Ω<sup>n</sup><sub>M</sub> はそれぞれ Ω<sub>M</sub> と ω<sub>M</sub> と表す。
|-
! '''シュワルツの超函数の層''' <math>\mathcal{DB}</math>
| U 上の[[シュワルツ超函数]]
| 0 により滑らかなコンパクトな台へ拡張する双対写像
| M は滑らかと仮定
|-
! '''微分作用素の層''' <math>\mathcal{D}_M</math>
| U 上の有限階の[[微分作用素]]
| 微分作用素の制限
| M は滑らかと仮定
|}

=== 層ではない前層 ===
層ではない前層の例を 2つ上げる。
* ''X'' を離散位相を持つ {{仮リンク|離散2点空間|label=2点からなる位相空間|en|discrete two-point space}}(two-point topological space) {x, y} とする。前層は次のように定義される。F(∅) = {∅} とすると、F({x}) = '''R''', F({y}) = '''R''', F({x, y}) = '''R''' × '''R''' × '''R''' である。制限写像 F({x, y}) → F({x}) を '''R''' × '''R''' × '''R''' からの第一座標への射影とし、制限写像 F({x, y}) → F({y}) は '''R''' × '''R''' × '''R''' から第二座標への射影とする。F は非分離的な前層である。大域切断は 3つの数により決定されるが、{x} と {y} 上での値はこれらの数値を決めるだけである。従って、{x} と {y} 上の 2つの切断を貼り合わせることはできるが、一意に貼り合せることはできない。
* ''X'' を[[実数直線]]とし、''F''(''U'') を ''U'' 上[[有界|有界な]]連続函数全体の集合とする。この集合は、貼り合わせることがいつもできるとは限らないので、層ではない。たとえば、''U<sub>i</sub>'' を |''x''| < ''i'' であるような ''x'' 全体の集合とする。恒等写像 f(x) = x は各々の U<sub>i</sub> 上で有界である。したがって、U<sub>i</sub> 上の切断 s<sub>i</sub> を得る。しかし、函数 f が実数直線の上で有界でないので、これらの切断は貼り合わさってはいない。結論として、F は前層であるが、層ではない。事実、F は連続函数の層の部分前層であるので、分離的である。
<!--=== Presheaves that are not sheaves ===
Here are two examples of presheaves that are not sheaves:
* Let ''X'' be the [[discrete two-point space|two-point topological space]] {''x'', ''y''} with the discrete topology. Define a presheaf ''F'' as follows: ''F''(∅) = {∅}, ''F''({''x''}) = '''R''', ''F''({''y''}) = '''R''', ''F''({''x'', ''y''}) = '''R''' × '''R''' × '''R'''. The restriction map ''F''({''x'', ''y''}) → ''F''({''x''}) is the projection of '''R''' &times; '''R''' &times; '''R''' onto its first coordinate, and the restriction map ''F''({''x'', ''y''}) → ''F''({''y''}) is the projection of '''R''' &times; '''R''' &times; '''R''' onto its second coordinate. ''F'' is a presheaf that is not separated: A global section is determined by three numbers, but the values of that section over {''x''} and {''y''} determine only two of those numbers. So while we can glue any two sections over {''x''} and {''y''}, we cannot glue them uniquely.
* Let ''X'' be the [[real line]], and let ''F''(''U'') be the set of [[bounded function|bounded]] continuous functions on ''U''. This is not a sheaf because it is not always possible to glue. For example, let ''U''<sub>''i''</sub> be the set of all ''x'' such that |''x''| < ''i''. The identity function ''f''(''x'') = ''x'' is bounded on each ''U''<sub>''i''</sub>. Consequently we get a section ''s''<sub>''i''</sub> on ''U''<sub>''i''</sub>. However, these sections do not glue, because the function ''f'' is not bounded on the real line. Consequently ''F'' is a presheaf, but not a sheaf. In fact, ''F'' is separated because it is a sub-presheaf of the sheaf of continuous functions.-->

== 前層の層化 ==
前層に含まれるデータを使い、層としてデータを表現することがよく利用される。この最良の方法が存在することが判明している。この方法とは、前層 F を取り、F の'''層化'''と呼ばれる<ref>sheaving, sheafification, あるいは, sheaf associated to the presheaf と呼ばれる。</ref>新しい層 aF を構成する。自然な前層の射 i: F → aF が存在し、任意の層 G と任意の前層の射 f: F → G に対して、一意に層の射 <math>\tilde f : aF \rightarrow G</math> が存在し、<math>f = \tilde f i</math> となるような普遍的性質を持っている。実際、a は層の圏から前層のカテゴリへの包含写像への[[随伴函手]]であり、i は随伴函手の[[随伴函手#counit-unit随伴による定義|単位元]]である。このようにして、層の圏は、前層の{{仮リンク|ジョルジュ・ジロー|label=ジロー|en|Georges Giraud}}部分圏となる。
<!--== Turning a presheaf into a sheaf ==
It is frequently useful to take the data contained in a presheaf and to express it as a sheaf. It turns out that there is a best possible way to do this. It takes a presheaf ''F'' and produces a new sheaf ''aF'' called the '''sheaving''', '''sheafification''' or '''sheaf associated to the presheaf''' ''F''. ''a'' is called the '''sheaving functor''', '''sheafification functor''', or '''associated sheaf functor'''. There is a natural morphism of presheaves ''i'' : ''F'' → ''aF'' that has the universal property that for any sheaf ''G'' and any morphism of presheaves ''f'' : ''F'' → ''G'', there is a unique morphism of sheaves <math>\tilde f : aF \rightarrow G</math> such that <math>f = \tilde f i</math>. In fact ''a'' is the [[adjoint functor]] to the inclusion functor from the category of sheaves to the category of presheaves, and ''i'' is the [[adjoint functor#Unit and co-unit|unit]] of the adjunction. In this way, the category of sheaves turns into Giraud subcategory of presheaves.-->

== 層の順像函手、逆像函手 ==
<!--{{Images of sheaves}}-->
{{Main|{{仮リンク|層の像函手|en|Image functors for sheaves}} }}

層上の射の定義は、同じ空間 X の上の層についてのみ意味をもつ。この理由は、層に含まれるデータは、空間の開集合によりインデックス化されているからである。異なった空間の上の 2つの層であれば、それらのデータのインデックスが異なってしまい、この場合には、一方のデータの集合から他へ直接行く手段が存在しない。

しかし、連続函数を使い、一方の空間から他方へ層を移動させることが可能である。f : X → Y を位相空間 X から Y への連続写像とする。X 上の層に対し、この層を Y へ移動すること、逆に Y を X 上へ移動することができる。層を移動するには、4つの方法がある。
* X 上の層 <math>\mathcal{F}</math> は、[[順像函手]] <math>f_*</math> もしくは{{仮リンク|固有なサポートを持つ順像函手|en|direct image with proper support functor}}(direct image with proper support functor) <math>f_!</math> を使い、Y へ移動することができる。
* Y 上の層 <math>\mathcal{G}</math> は、{{仮リンク|逆像函手|en|inverse image functor}}(inverse image functor) <math>f^{-1}</math> もしくは{{仮リンク|ツイストした逆像函手|en|twisted inverse image functor}}(twisted inverse image functor) <math>f^!</math> を使い、X へ移動することができる。

一般に、ツイストした逆像函手 <math>f^!</math> は、[[導来圏]]の間の函手として定義されているだけである。これらの函手は、互いに右随伴函手と左随伴函手であるペア <math>f^{-1}</math> と <math>f_*</math>、また同様なペア <math>Rf_!</math> と <math>f^!</math> である。函手は、{{仮リンク|グロタンディ－ク双対|en|Grothendieck duality<!-- 曖昧さ回避ページ -->|FIXME=1}}(Grothendieck duality)と{{仮リンク|ヴェルディエール双対|en|Verdier duality}}(Verdier duality)により、互いに関係している。

環の層の上の加群の層には、異なる逆像函手がある。この函手は、通常は <math>f^*</math> と書かれ、<math>f^{-1}</math> とは異なっている。{{仮リンク|逆像函手|en|inverse image functor}}(inverse image functor)を参照。
<!--== Images of sheaves ==
{{Images of sheaves}}
{{Main|Image functors for sheaves}}

The definition of a morphism on sheaves makes sense only for sheaves on the same space ''X''. This is because the data contained in a sheaf is indexed by the open sets of the space. If we have two sheaves on different spaces, then their data is indexed differently. There is no way to go directly from one set of data to the other.

However, it is possible to move a sheaf from one space to another using a continuous function. Let ''f'' : ''X'' → ''Y'' be a continuous function from a topological space ''X'' to a topological space ''Y''. If we have a sheaf on ''X'', we can move it to ''Y'', and vice versa. There are four ways in which sheaves can be moved.
* A sheaf <math>\mathcal{F}</math> on ''X'' can be moved to ''Y'' using the [[direct image functor]] <math>f_*</math> or the [[direct image with proper support functor]] <math>f_!</math>.
* A sheaf <math>\mathcal{G}</math> on ''Y'' can be moved to ''X'' using the [[inverse image functor]] <math>f^{-1}</math> or the [[twisted inverse image functor]] <math>f^!</math>.

The twisted inverse image functor <math>f^!</math> is, in general, only defined as a functor between [[derived category|derived categories]]. These functors come in adjoint pairs: <math>f^{-1}</math> and <math>f_*</math> are left and right adjoints of each other, and <math>Rf_!</math> and <math>f^!</math> are left and right adjoints of each other. The functors are intertwined with each other by [[Grothendieck duality]] and [[Verdier duality]].

There is a different inverse image functor for sheaves of modules over sheaves of rings. This functor is usually denoted <math>f^*</math> and it is distinct from <math>f^{-1}</math>. See [[inverse image functor]].-->


== 層の茎 ==
== 層の茎 ==
{{Main|{{仮リンク|茎 (層)|en|stalk (sheaf)}} }}
{{Main|茎 (層)}}


層 <math>\mathcal{F}</math> の'''茎'''(stalk) <math>\mathcal{F}_x</math> は、点 x ∈ X の「周囲」の層の性質を捕らえている。ここに、「周囲」の意味は、概念的に言うと、点の非常に小さな[[近傍]]としてみる。もちろん、ある種の極限をとらねばならないので、ひとつの近傍といっても充分に小さいとはいえない。
層 <math>\mathcal{F}</math> の'''茎''' (stalk) <math>\mathcal{F}_x</math> は、点 ''x'' ∈ ''X'' の「まわり」の層の性質を捕らえる。ここに、「まわり」の意味は、概念的に言うと、その点のいくらでも小さい[[近傍 (位相空間論)|近傍]]を見るということであるが、もちろん、単独の近傍では十分小さくないので、ある種の極限をとらなければならない。


茎は、与えられた点 x を含む X のすべての開集合上での[[帰納極限]]である
茎は、与えられた点 ''x'' を含む ''X'' のすべての開集合上での[[帰納極限]]
:<math>\mathcal{F}_x = \varinjlim_{U\ni x} \mathcal{F}(U),</math>
:<math>\mathcal{F}_x = \varinjlim_{U\ni x} \mathcal{F}(U),</math>
で定義される。言い換えると、茎の元は、x のある開近傍上の切断により与えられ、2つのそのような切断がある場合にはより小さな近傍でそれらの制限が一致する場合には、同値であるとみなす。
によって定義される。言い換えると、茎の元は、''x'' のある開近傍上の切断により与えられ、2つのそのような切断は、より小さな近傍でそれらの制限が一致するとき、同じであると考える。


自然な射 F(U) → F<sub>x</sub> が F(U) の切断 s の芽への写像である。これを一般化して、[[芽 (数学)|芽]](germ)という。
自然な射 ''F''(''U'') → ''F<sub>x</sub>'' は ''F''(''U'') の切断 ''s'' をその芽 (germ) へ写す。これは[[芽 (数学)|芽]]の通常の定義を一般化する。


茎の別の定義方法は、
茎の別の定義方法は、
:<math>\mathcal{F}_x := i^{-1}\mathcal{F}(\{x\}),</math>
:<math>\mathcal{F}_x := i^{-1}\mathcal{F}(\{x\})</math>
であり、ここに i は一点の空間である {x} の X への制限とする。同値性は{{仮リンク|逆像函手|label=逆像|en|inverse image functor}}(inverse image)の定義にから導かれる。
であり、ここに ''i'' は一点空間 {''x''} から ''X'' への包含である。同値性は{{仮リンク|逆像函手|label=逆像|en|inverse image functor}}の定義から導かれる。


多くの状況下で、層の茎を知ることは、層自身を知るに充分である。たとえば、射が単射準同型、全射準同型であるか、あるいは同型であるかは、茎の上で確認することにより知ることができる。{{仮リンク|ゴドマン分解|en|Godement resolution}}(Godement resolution)分解のような構成を使い、見つけ出すことができる。
多くの状況下で、層の茎を知ることは、層自身を知るに充分である。例えば、層の射が単射、全射、あるいは同型射であるか否かは、茎の上で調べることができる。{{仮リンク|ゴドマン分解|en|Godement resolution}}のような構成においても、茎が使われる。
<!--== Stalks of a sheaf ==
{{Main|Stalk (sheaf)}}


== エタール束 ==
The '''stalk''' <math>\mathcal{F}_x</math> of a sheaf <math>\mathcal{F}</math> captures the properties of a sheaf "around" a point ''x'' ∈ ''X''.
局所同相写像 {{math|''E'' → ''X''}} は {{mvar|X}} 上のエタール束とよばれる。{{mvar|X}} 上の層と {{mvar|X}} 上のエタール束の間には自然な対応がある。
Here, "around" means that, conceptually speaking, one looks at smaller and smaller [[neighborhood (mathematics)|neighborhood]] of the point. Of course, no single neighborhood will be small enough, so we will have to take a limit of some sort.


エタール束 {{mvar|E}} に対応する層 {{mvar|F<sub>E</sub>}} は各開集合 {{mvar|U}} に対してその上の {{mvar|E}} への切断の空間 {{math|&Gamma;(''U'', E)}} を与え、開集合の包含関係に対して切断の制限写像を対応させることで定義される。{{mvar|X}} の点 {{mvar|x}} について、茎 {{mvar|F<sub>E, x</sub>}} は {{mvar|E}} における {{mvar|x}} の逆像と自然に対応する。
The stalk is defined by
:<math>\mathcal{F}_x = \varinjlim_{U\ni x} \mathcal{F}(U),</math>
the [[direct limit]] being over all open subsets of ''X'' containing the given point ''x''. In other words, an element of the stalk is given by a section over some open neighborhood of ''x'', and two such sections are considered equivalent if their restrictions agree on a smaller neighborhood.


逆に、層 {{mvar|F}} に対応するエタール束 {{mvar|F<sub>E</sub>}} は {{mvar|F}} の茎の合併集合 <math>\cup_{x \in X} F_x</math> に、次のようにして位相を入れることで構成される(射影 {{math|''E<sub>F</sub>'' &rarr; ''X''}} は {{mvar|''F{{sub|x}}'' &rarr; ''x''}} の寄せ集めで作られる)。任意の開集合 {{mvar|U}} と {{mvar|FU}} の任意の元 {{mvar|s}} について {{math|1=''O''(''U''; ''s'') = { ''s<sub>y</sub>'' &isin; ''F<sub>y</sub>'' {{!}} ''y'' &isin; ''U'' {{)}}}} ({{mvar|s<sub>y</sub>}} は茎 {{mvar|F<sub>y</sub>}} における {{mvar|s}}の芽) とおき、{{math|''O''(''U''; ''s'')}} の形にかける集合全てで生成されるような開集合系をE<sub>F</sub>上で考える。
The natural morphism ''F''(''U'') → ''F''<sub>''x''</sub> takes a section ''s'' in ''F''(''U'') to its ''germ''. This generalises the usual definition of a [[germ (mathematics)|germ]].


== 例 ==
A different way of defining the stalk is
;連続関数の層
:<math>\mathcal{F}_x := i^{-1}\mathcal{F}(\{x\}),</math>
Xを位相空間とする。X の開集合 U に対して、その上の複素数値連続関数のなす空間を C(U) とかくことにする。開集合の包含関係 V ⊆ U に対して関数の定義域の制限 C(U) → C(V) を考えることでX 上の層が得られる。点x におけるこの層の芽とはxのまわりでの関数の局所的な振る舞いを表していると考えることができる。
where ''i'' is the inclusion of the one-point space {''x''} into ''X''. The equivalence follows from the definition of the [[inverse image functor|inverse image]].
同様に、複素多様体に対しその上の正則関数のなす層を考えることができる。
;定数層
Mを集合とするとき、離散位相を考えてMを位相空間とみなせる。このとき、直積空間X × MからXへの第一成分への射影写像は局所同相写像になっていて、X上のエタールバンドルを与えている。これに対応する層はMが定めるX上の定数層と呼ばれる。


== 空間の復元 ==
In many situations, knowing the stalks of a sheaf is enough to control the sheaf itself. For example, whether or not a morphism of sheaves is a monomorphism, epimorphism, or isomorphism can be tested on the stalks. They also find use in constructions such as [[Godement resolution]]s.-->
Xを位相空間とする。一点集合が定めるX上の定数層はO(X)上Xによって表現される関手yX = Hom<sub>O(X)</sub>(-, X)だと見なすことができる。より一般にyXの部分層とXの開集合の間に自然な対応があり、X上の層からXの開集合たちとその間の包含関係を復元できることがわかる。簡素な空間 (sober space) と呼ばれるクラスの分離空間についてはその開集合系からもとの空間と位相同型な位相空間を得ることができる。このことから層は位相空間の圏論的・「代数／組み合わせ」的な言い換えを与えているとも考えられる。


== 前層の層化 ==
== 環付き空間と局所環付き空間 ==
前層Pに対してその層化 aP が、普遍性 Hom(P, F) ≡ Hom(aP, F) (Fは任意の層)を満たすような層として定義される。この定義から、とくにすでに層であるような前層 P に対して層化 aP を考えれば、PとaPは自然に同型であることが要請される。集合の前層については実際に層化を考えることができ、加群や環の前層など付加的な構造を付与した場合でもたいていの場合には層化が可能である。
{{Main|[[局所環付き空間|環付き空間]]}}

ペア <math>(X, \mathcal{O}_X)</math> は、位相空間 X とその上の環の層から構成され、'''[[局所環付き空間|環付き空間]]'''と呼ばれる。多くのタイプの空間が環付き空間のあるタイプとして定義される。層 <math>\mathcal{O}_X</math> を空間の'''構造層'''と呼ぶ。構造層の茎が[[局所環]]であるような一般的な状況のとき、このペアを'''局所環付き空間'''と呼ぶ。ここにこのようにして作られた定義の例を挙げる。
* n-次元 C<sup>k</sup> 多様体 M は、構造層が <math>\underline{\mathbf{R}}</math>-代数である局所環付き空間で、局所的 '''R'''<sup>''n''</sup> 上の C<sup>k</sup> 実数に値を持つ層と同型である。
* [[複素解析空間]]は、局所環付き空間で、構造層は <math>\underline{\mathbf{C}}</math>-代数であり、ある n に対し '''C'''<sup>n</sup> 上の正則函数の層への制限と有限個の正則函数の集まりの零点と局所同型である。
* [[概型|スキーム]]は、[[環のスペクトル]]と局所同型な局所環付き空間である。
* {{仮リンク|半代数的空間|en|semialgebraic space}}(semialgebraic space)は半代数的函数とユークリッド空間内の{{仮リンク|半代数的集合|en|semialgebraic set}}(semialgebraic set)に局所同型な局所環付き空間である。
<!--== Ringed spaces and locally ringed spaces ==
{{Main|Ringed space}}

A pair <math>(X, \mathcal{O}_X)</math> consisting of a topological space ''X'' and a sheaf of rings on ''X'' is called a '''[[ringed space]]'''. Many types of spaces can be defined as certain types of ringed spaces. The sheaf <math>\mathcal{O}_X</math> is called the '''structure sheaf''' of the space. A very common situation is when all the stalks of the structure sheaf are [[local ring]]s, in which case the pair is called a '''locally ringed space'''. Here are examples of definitions made in this way:
* An ''n''-dimensional ''C''<sup>''k''</sup> manifold ''M'' is a locally ringed space whose structure sheaf is an <math>\underline{\mathbf{R}}</math>-algebra and is locally isomorphic to the sheaf of ''C''<sup>k</sup> real-valued functions on '''R'''<sup>''n''</sup>.
* A [[complex analytic space]] is a locally ringed space whose structure sheaf is a <math>\underline{\mathbf{C}}</math>-algebra and is locally isomorphic to the vanishing locus of a finite set of holomorphic functions together with the restriction (to the vanishing locus) of the sheaf of holomorphic functions on '''C'''<sup>''n''</sup> for some ''n''.
* A [[scheme (mathematics)|scheme]] is a locally ringed space that is locally isomorphic to the [[spectrum of a ring]].
* A [[semialgebraic space]] is a locally ringed space that is locally isomorphic to a [[semialgebraic set]] in Euclidean space together with its sheaf of semialgebraic functions.-->

== 加群の層 ==
{{main|加群の層}}
<math>(X, \mathcal{O}_X)</math> を環付き空間とする。'''加群の層'''(sheaf of modules)とは、X のすべての開集合 U 上で、<math>\mathcal{M}(U)</math> が <math>\mathcal{O}_X(U)</math>-加群であり、さらに、すべての開集合 V ⊆ U の包含関係に対し、<math>\mathcal{M}(U)</math> の <math>\mathcal{M}(V)</math> への制限写像が <math>\mathcal{O}_X(U)</math>-加群となるような層 <math>\mathcal{M}</math> である。

最も重要な幾何学的対象は加群の層である。たとえば、[[ベクトル空間]]と <math>\mathcal{O}_X</math>-加群の[[局所自由層]]の間には 1 対 1 対応がある。微分方程式の解の層は、[[D-加群]]、つまり、微分作用素の層の上の加群である。

特に重要な場合は、{{仮リンク|アーベル層|en|abelian sheaf<!-- リダイレクト先の「[[:en:Sheaf of modules]]」は、[[:ja:加群の層]] とリンク -->|FIXME=1}}(abelian sheaves)であり、アーベル層は定数層 <math>\underline{\mathbf{Z}}</math> 上の加群である。すべての加群の層は、アーベル層である。
<!--== Sheaves of modules ==
Let <math>(X, \mathcal{O}_X)</math> be a ringed space. A '''sheaf of modules''' is a sheaf <math>\mathcal{M}</math> such that on every open set ''U'' of ''X'', <math>\mathcal{M}(U)</math> is an <math>\mathcal{O}_X(U)</math>-module and for every inclusion of open sets ''V'' ⊆ ''U'', the restriction map <math>\mathcal{M}(U) \to \mathcal{M}(V)</math> is a homomorphism of <math>\mathcal{O}_X(U)</math>-modules.

Most important geometric objects are sheaves of modules. For example, there is a one-to-one correspondence between [[vector bundle]]s and [[locally free sheaf|locally free sheaves]] of <math>\mathcal{O}_X</math>-modules. Sheaves of solutions to differential equations are [[D-module]]s, that is, modules over the sheaf of differential operators.

A particularly important case are [[abelian sheaf|abelian sheaves]], which are modules over the constant sheaf <math>\underline{\mathbf{Z}}</math>. Every sheaf of modules is an abelian sheaf.-->

=== 加群の層の有限性条件 ===
{{Further|連接層}}
加群が有限生成である、もしくは、有限表現可能である条件は、加群の層で定式化することができる。<math>\mathcal{M}</math> が'''有限生成'''(finitely generated)であるとは、X の任意の点 x に対し、x の開近傍 U、自然数 n （U に依存するかも知れない）と層の全射 <math>\mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{M}|_U</math> が存在することである。同様に、<math>\mathcal{M}</math> が'''有限表現可能'''(finitely presented)とは、さらに、自然数 m（再度 U に依存するかも知れない）と層の射 <math>\mathcal{O}_X^m|_U \to \mathcal{O}_X^n|_U</math> が存在し、射の系列 <math>\mathcal{O}_X^m|_U \to \mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{M}</math> が完全となることである。同じことであるが、射 <math>\mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{M}</math> の核が有限生成層であることである。

しかし、これら以外にも、層の有限性条件がありうる。層の最も重要な有限性条件は、連接層であることである。<math>\mathcal{M}</math> が'''連接'''(coherent)とは、層が有限型であり、すべての開集合 U とすべての層の射 <math>\phi : \mathcal{O}_X^n \to \mathcal{M}</math> （必ずしも全射である必要はない）に対し、φ の核が有限型であることである。<math>\mathcal{O}_X</math> が'''連接'''(coherent)とは、自分自身の上の加群として連接であることである。連接性は有限表現可能条件よりも厳密に強いことに注意する。<math>\mathcal{O}_X</math> は常に自分自身の上の加群として有限表現可能であるが、常に連接であるとは限らない。たとえば、X を点とし、<math>\mathcal{O}_X</math> を加算個の変数を持つ複素多項式の環 {{nowrap begin}}R = '''C'''[x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ...]{{nowrap end}} とする。{{nowrap begin}}''n'' = 1{{nowrap end}} を選び、射 φ に対しすべての変数を 0 へ写像するような写像をとる。この写像の核は、有限生成ではなく、従って、<math>\mathcal{O}_X</math> は連接ではない。
<!--=== Finiteness conditions for sheaves of modules ===
{{Further|Coherent sheaf}}
The condition that a module is finitely generated or finitely presented can also be formulated for a sheaf of modules. <math>\mathcal{M}</math> is '''finitely generated''' if, for every point ''x'' of ''X'', there exists an open neighborhood ''U'' of ''x'', a natural number ''n'' (possibly depending on ''U''), and a surjective morphism of sheaves <math>\mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{M}|_U</math>. Similarly, <math>\mathcal{M}</math> is '''finitely presented''' if in addition there exists a natural number ''m'' (again possibly depending on ''U'') and a morphism of sheaves <math>\mathcal{O}_X^m|_U \to \mathcal{O}_X^n|_U</math> such that the sequence of morphisms <math>\mathcal{O}_X^m|_U \to \mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{M}</math> is exact. Equivalently, the kernel of the morphism <math>\mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{M}</math> is itself a finitely generated sheaf.

These, however, are not the only possible finiteness conditions on a sheaf. The most important finiteness condition for a sheaf is coherence. <math>\mathcal{M}</math> is '''coherent''' if it is of finite type and if, for every open set ''U'' and every morphism of sheaves <math>\phi : \mathcal{O}_X^n \to \mathcal{M}</math> (not necessarily surjective), the kernel of φ is of finite type. <math>\mathcal{O}_X</math> is '''coherent''' if it is coherent as a module over itself. Note that coherence is a strictly stronger condition than finite presentation: <math>\mathcal{O}_X</math> is always finitely presented as a module over itself, but it is not always coherent. For example, let ''X'' be a point, let <math>\mathcal{O}_X</math> be the ring {{nowrap begin}}''R'' = '''C'''[''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...]{{nowrap end}} of complex polynomials in countably many indeterminates. Choose {{nowrap begin}}''n'' = 1{{nowrap end}}, and for the morphism φ, take the map that sends every variable to zero. The kernel of this map is not finitely generated, so <math>\mathcal{O}_X</math> is not coherent.-->

== 層のエタール空間 ==

上の例の中で注意したように、切断の層として自然に発生する層が存在する。事実、集合のすべての層は、フランス語の広げたという意味の étalé からくる'''エタール空間'''(étalé space)と呼ばれる移送空間の切断の層として、表現しなおすことができる。F を X 上の層とすると、F のエタール空間は位相空間 E と[[局所同相]] π : E → X を考え合わせたものであり、π の切断の層は F となる。E は普通は奇妙な空間で、層 F が自然なトポロジカルな状況からくるときですら、E は明確なトポロジカルな解釈を持たないときもある。たとえば、F が連続函数 f : Y → X の切断の層とすると、E = Y であることと、f が局所同相であることとは同値である。
<!--== The étalé space of a sheaf ==

In the examples above it was noted that some sheaves occur naturally as sheaves of sections. In fact, all sheaves of sets can be represented as sheaves of sections of a topological space called the ''étalé space'', from the French word étalé {{IPA-fr|etale|}}, meaning roughly "spread out". If ''F'' is a sheaf over ''X'', then the '''étalé space''' of ''F'' is a topological space ''E'' together with a [[local homeomorphism]] ''π'' : ''E'' → ''X'' such that the sheaf of sections of ''π'' is ''F''. ''E'' is usually a very strange space, and even if the sheaf ''F'' arises from a natural topological situation, ''E'' may not have any clear topological interpretation. For example, if ''F'' is the sheaf of sections of a continuous function ''f'' : ''Y'' → ''X'', then ''E'' = ''Y'' if and only if ''f'' is a [[local homeomorphism]].-->

エタール空間 E は X 上の F の茎から構成される。集合として、[[直和#集合の直和|直和]]であり、π は x を x ∈ X の上の F の茎の上の値に写す写像である。E のトポロジーは次ぎのように定義される。F(U) の各々の元 s と U の各々の元 x に対して、x での s の芽(germ)をとる。これらの芽は E の点を決定する。任意の U と s ∈ F(U) に対し、すべての x ∈ U である点の合併は、E で開集合である。各々の茎は部分トポロジーとして[[離散位相]]を持つことに注意すると、層の間の 2つの射は、（すべての芽が同じ点の上の芽に写像されるという意味で）対応するエタール空間の連続写像を決定する。これは、函手を構成することを意味する。
<!--The étalé space ''E'' is constructed from the stalks of ''F'' over ''X''. As a set, it is their [[disjoint union]] and ''π'' is the obvious map that takes the value ''x'' on the stalk of ''F'' over ''x'' ∈ ''X''. The topology of ''E'' is defined as follows. For each element ''s'' of ''F''(''U'') and each ''x'' in ''U'', we get a germ of ''s'' at ''x''. These germs determine points of ''E''. For any ''U'' and ''s'' ∈ ''F''(''U''), the union of these points (for all ''x'' ∈ ''U'') is declared to be open in ''E''. Notice that each stalk has the [[discrete topology]] as subspace topology. Two morphisms between sheaves determine a continuous map of the corresponding étalé spaces that is compatible with the projection maps (in the sense that every germ is mapped to a germ over the same point). This makes the construction into a functor.-->

上記の構成は、X 上の集合の層の圏と X 上のエタール空間の圏の間の[[圏同値]]を決める。エタール空間の構成は、前層へ適用することができ、そこでは、エタール空間の切断の層が与えられた前層に付随する層を構成し直す。
<!--The construction above determines an [[equivalence of categories]] between the category of sheaves of sets on ''X'' and the category of étalé spaces over ''X''. The construction of an étalé space can also be applied to a presheaf, in which case the sheaf of sections of the étalé space recovers the sheaf associated to the given presheaf.-->

この構成は、すべての層を位相空間上のあるカテゴリの{{仮リンク|表現函手|en|representable functor}}(representable functor)とする。上記のように、F を X 上の層とし、E をエタール空間とし、π : E → X を自然な射影とする。X 上の位相空間の圏 '''Top'''/X を考える、つまり、位相空間の圏と固定された X への連続写像をともに考える。この空間のすべての対象は、連続写像 f : Y → X であり、Y → X から Z → X への射は連続写像 Y → Z で X への 2つの写像と可換な連続写像である。対象 f : Y → X から (f<sup>&minus;1</sup>F)(Y) を取る集合の圏へのX からの函手 Γ が存在する。たとえば、i : U → X を開集合の包含写像とすると、Γ(i) = (i<sup>&minus;1</sup>F)(U) は普通の F(U) に一致し、i : {x} → X は点として内包されているならば、Γ({x}) = (i<sup>&minus;1</sup>F)({x}) は x での F の茎である。自然な同型
:<math>(f^{-1}F)(Y) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}/X}(f, \pi)</math>
が存在し、E が函手 Γ を表わすととを示している。
<!--This construction makes all sheaves into [[representable functor]]s on certain categories of topological spaces. As above, let ''F'' be a sheaf on ''X'', let ''E'' be its étalé space, and let ''π'' : ''E'' → ''X'' be the natural projection. Consider the category '''Top'''/''X'' of topological spaces over ''X'', that is, the category of topological spaces together with fixed continuous maps to ''X''. Every object of this space is a continuous map ''f'' : ''Y'' → ''X'', and a morphism from ''Y'' → ''X'' to ''Z'' → ''X'' is a continuous map ''Y'' → ''Z'' that commutes with the two maps to ''X''. There is a functor Γ from '''Top'''/''X'' to the category of sets that takes an object ''f'' : ''Y'' → ''X'' to (''f''<sup>&minus;1</sup>''F'')(''Y''). For example, if ''i'' : ''U'' → ''X'' is the inclusion of an open subset, then Γ(''i'') = (''i''<sup>&minus;1</sup>''F'')(''U'') agrees with the usual ''F''(''U''), and if ''i'' : {''x''} → ''X'' is the inclusion of a point, then Γ({''x''}) = (''i''<sup>&minus;1</sup>''F'')({''x''}) is the stalk of ''F'' at ''x''. There is a natural isomorphism
:<math>(f^{-1}F)(Y) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}/X}(f, \pi)</math>,
which shows that ''E'' represents the functor Γ.-->

E が射影写像 π が被覆写像であるように構成される。代数幾何学では、被覆写像の自然な類似は[[エタール射]]と呼ばれる。（「エタール」と同義語であるにもかかわらず、エタールという用語は、フランス語と数学の双方で差異がある。）特に、π が同じ普遍的な性質を保持するような方法で、E を[[スキーム]]、π をスキームの射とすることが可能であるが、しかし、π は準有限(quasi-finite)ではないので一般にはエタール射ではない。しかしながら、公式にエタールである。

エタール空間により層の定義は、一連の論文の早い段階での定義以上に古い歴史を持っている。[[解析学]]のような数学の分野ではすでに共通となっている。
<!--''E'' is constructed so that the projection map π is a covering map. In algebraic geometry, the natural analog of a covering map is called an [[étale morphism]]. Despite its similarity to "étalé", the word étale {{IPA-fr|etal|}} has a different meaning both in French and in mathematics. In particular, it is possible to turn ''E'' into a [[scheme (mathematics)|scheme]] and π into a morphism of schemes in such a way that π retains the same universal property, but π is ''not'' in general an étale morphism because it is not quasi-finite. It is, however, formally étale.

The definition of sheaves by étalé spaces is older than the definition given earlier in the article. It is still common in some areas of mathematics such as [[mathematical analysis]].-->

== 大域切断 ==
<math>\mathcal F</math> を <math>\mathcal C</math> に値を持つ X の[[#前層|前層]]とし、U を X の開部分集合とすると、<math>F(U)</math> を U 上の <math>\mathcal F</math> の切断という。X 上の切断 <math>F(U)</math> を'''大域切断'''という。記法として、切断の制限 res V,U(s) を s|V で表わす。この記法と用語は、バンドルや層のエタール空間の切断の類似となっている。通常は、<math>F(U)</math> を <math>\Gamma(U,F)</math> と書き、特に、層コホモロジーのような脈絡では U は固定され <math>\mathcal F</math> を変化するものとして使うことが多い。

===例===
*<math>\underline{\mathbb Z}_X</math> を局所定数層とすると、大域切断は <math>\Gamma (X, \underline{\mathbb Z}_X) = \mathbb Z^{\pi_0(X)}</math>、つまり、X の連結成分によりインデックス化された直和により与えられる。

*<math>\mathcal O_X</math> を[[コンパクト空間|コンパクト]]で[[連結空間|連結]]な[[複素多様体]] X 上の正則函数の層とすると、[[最大値原理]]により大域切断は定数、つまり、<math>\Gamma (X, \mathcal O_X) = \mathbb C</math> である。

*<math>\mathcal O (i), i\in \mathbb Z</math> で{{仮リンク|射影空間の代数幾何学|label=射影空間|en|Algebraic geometry of projective spaces}}(projective space} <math>\mathbb P_k^n</math> のセールの{{仮リンク|ツイスト層|en|Serre twisting sheaf}}(twisting sheaves) とすると、<math>d \ge 0</math> に対して<math>\Gamma (X, \mathcal O(d)) = k_d[X_0, \ldots, X_n]</math> となり、<math>d <0</math> に対しては 0 となる。

*<math>X=Spec\ A</math> を[[アフィンスキーム]]とする。[[連接層|準連接層]] <math>\mathcal{O}_X</math>-加群の層 <math>\mathcal{F}</math> は、大域切断の元（つまり、<math>\Gamma(\mathcal{O}_X,\mathcal{F})</math> ）により生成される。このことは、<math>\mathcal{O}_X</math>-加群の連接層の圏と有限生成 A-加群の層の圏が、圏として同値となる。

===大域切断函手===
大域切断は、函手と考えることができる。X を[[位相空間]]とし、<math>\mathrm {Sh}(X, \mathcal C)</math> で <math>\mathcal C</math> に値を持つ層のなす[[圏 (数学)|圏]]とすると、層 <math>\mathcal F</math> へ'''大域切断''' <math>\Gamma(X,\mathcal F)</math> を関連付ける写像は、<math>\mathcal C</math> への反変[[関手|函手]]である。

<math>\mathcal C</math> を[[アーベル群]]の圏とすると、この函手は[[完全関手|左完全函手]]である。このことは[[導来函手]]を通して[[層コホモロジー]]の概念が得られる。

== 層コホモロジー ==
{{Main|層コホモロジー}}

上で注意したように、函手 <math>\Gamma(U,-)</math> は同型と単射準同型(monomorphism)は保存するが、全射準同型(epimorphism)は保存しない。F をアーベル群の層、あるいはより一般的に[[アーベル圏]]に値を持つ層とすると、実際、<math>\Gamma(U,-)</math> は[[完全関手|左完全函手]]である。このことは、<math>\Gamma(U,-)</math> の[[導来函手]]を構成することができることを意味する。これらの導来函手は F の'''コホモロジー群'''（もしくは、加群)を導き、これを <math>H^i(U,-)</math> と書く。グロタンディークは、東北論文 {{harvtxt|Grothendieck|1957}} で、アーベル群の層のすべての圏は、十分に{{仮リンク|単射的対象|en|injective object}}(injective object)を持つので、これらの導来函手は常に存在することを示した。
<!--== Sheaf cohomology ==
{{Main|Sheaf cohomology}}

It was noted above that the functor <math>\Gamma(U,-)</math> preserves isomorphisms and monomorphisms, but not epimorphisms. If ''F'' is a sheaf of abelian groups, or more generally a sheaf with values in an [[abelian category]], then <math>\Gamma(U,-)</math> is actually a [[left exact functor]]. This means that it is possible to construct [[derived functor]]s of <math>\Gamma(U,-)</math>. These derived functors are called the ''cohomology groups'' (or ''modules'') of ''F'' and are written <math>H^i(U,-)</math>. Grothendieck proved in his ''Tohoku'' paper {{harvtxt|Grothendieck|1957}} that every category of sheaves of abelian groups contains enough [[injective object]]s, so these derived functors always exist.-->

しかしながら、単射分解を使った層コホモロジーの計算は不可能に近い。実際は、もっと広く共通に F の（単射分解とは）異なったより扱い易い分解方法を見つける方法がある。一般的な構成は{{仮リンク|ゴドマン分解|en|Godement resolution}}(Godement resolution)により得ることができ、特別な分解は{{仮リンク|軟弱層|en|soft sheaf}}(soft sheaves)、{{仮リンク|細層<!-- リダイレクト先の「[[ドルボーコホモロジー#細層]]」は、[[:en:Dolbeault cohomology]] とリンク -->|en|fine sheaf|FIXME=1}}(fine sheaves)や{{仮リンク|脆弱層|en|flabby sheaf}}(flabby sheaves)（また、フランス語の flasque からの'''散布層'''(flasque sheaves)とも呼ばれる）を使い構成することができる。結局、層コホモロジーを他のコホモロジー論と比較することができる。たとえば、[[ド・ラームコホモロジー]]は、任意の滑らかな多様体の上の定数層 <math>\underline{\mathbf{R}}</math> の分解であるので、<math>\underline{\mathbf{R}}</math> の層コホモロジーは、[[ド・ラームコホモロジー]]に等しい。実際、層コホモロジーをド・ラームコホモロジーや特異コホモロジーと比較すると、2つのコホモロジーが同型であるというド・ラームコホモロジーの定理を証明することができる。
<!--However, computing sheaf cohomology using injective resolutions is nearly impossible. In practice, it is much more common to find a different and more tractable resolution of ''F''. A general construction is provided by [[Godement resolution]]s, and particular resolutions may be constructed using [[soft sheaf|soft sheaves]], [[fine sheaf|fine sheaves]], and [[flabby sheaf|flabby sheaves]] (also known as ''flasque sheaves'' from the French ''flasque'' meaning flabby). As a consequence, it can become possible to compare sheaf cohomology with other cohomology theories. For example, the [[de Rham complex]] is a resolution of the constant sheaf <math>\underline{\mathbf{R}}</math> on any smooth manifold, so the sheaf cohomology of <math>\underline{\mathbf{R}}</math> is equal to its [[de Rham cohomology]]. In fact, comparing sheaf cohomology to de&nbsp;Rham cohomology and singular cohomology provides a proof of de&nbsp;Rham's theorem that the two cohomology theories are isomorphic.-->

別のアプローチも{{仮リンク|チェックコホモロジー|en|Čech cohomology}}(Čech cohomology)により行われた。チェックコホモロジーは層のために開発された最初のコホモロジー論で、具体的な計算に適している。チェックコホモロジーは空間の開部分集合上の切断をコホモロジー類に関連付ける。ほとんどの場合、チェックコホモロジーは導来函手コホモロジーとして同じコホモロジー群を計算する。しかし、ある病的な空間の場合は、チェックコホモロジーは正しい <math>H^1</math> を計算するが、高次のコホモロジー群は正しくない。これを回避するため、{{仮リンク|ジャン・ルイ・ヴェルディエール|en|Jean-Louis Verdier}}(Jean-Louis Verdier)は{{仮リンク|単体的前層|label=超被覆|en|Simplicial presheaf}}(hypercoverings)を開発した。超被覆は正しい高次コホモロジー群を与えるのみならず、上記の開部分集合をある他の空間の射と置き換えることも可能となる。この柔軟さが必要な応用があり、[[ピエール・ドリーニュ]](Pierre Deligne）の[[ホッジ構造#混合ホッジ構造の定義|混合ホッジ構造]]の構成へ応用された。

同じコホモロジー群の計算のため、さらに非常に明白なアプローチが{{仮リンク|ボレル・ボット・ヴェイユの定理|en|Borel–Bott–Weil theorem}}(Borel–Bott–Weil theorem)であり、この定理は、{{仮リンク|旗多様体|en|flag manifold}}(flag manifold)上にある[[直線束]]のコホモロジー群を[[リー群]]の[[既約表現]]を同一視することができるという定理である。たとえば、この定理を使い、射影空間のすべての直線束のコホモロジー群を容易に計算することができる。

多くの場合、[[ポアンカレ双対]]を一般化した層の双対理論が存在する。{{仮リンク|グロタンディーク双対|en|Grothendieck duality<!-- 曖昧さ回避ページ -->|FIXME=1}}(Grothendieck duality)や{{仮リンク|ヴェルディエール双対|en|Verdier duality}}(Verdier duality)を参照。
<!--A different approach is by [[Čech cohomology]]. Čech cohomology was the first cohomology theory developed for sheaves and it is well-suited to concrete calculations. It relates sections on open subsets of the space to cohomology classes on the space. In most cases, Čech cohomology computes the same cohomology groups as the derived functor cohomology. However, for some pathological spaces, Čech cohomology will give the correct <math>H^1</math> but incorrect higher cohomology groups. To get around this, [[Jean-Louis Verdier]] developed [[hypercover]]ings. Hypercoverings not only give the correct higher cohomology groups but also allow the open subsets mentioned above to be replaced by certain morphisms from another space. This flexibility is necessary in some applications, such as the construction of [[Pierre Deligne]]'s [[mixed Hodge structure]]s.

A much cleaner approach to the computation of some cohomology groups is the [[Borel–Bott–Weil theorem]], which identifies the cohomology groups of some [[line bundle]]s on [[flag manifold]]s with [[irreducible representation]]s of [[Lie group]]s. This theorem can be used, for example, to easily compute the cohomology groups of all line bundles on projective space.

In many cases there is a duality theory for sheaves that generalizes [[Poincaré duality]]. See [[Grothendieck duality]] and [[Verdier duality]].-->

== サイトとトポス ==
{{Main|グロタンディーク位相|トポス (数学)}}

[[アンドレ・ヴェイユ]](André Weil)の[[ヴェイユ予想]]は、[[有限体]]上の[[代数多様体]]には[[ヴェイユコホモロジー]]が存在し、[[リーマン予想]]の類似を与えるはずであると言っている。しかし、そのような多様体の唯一の{{仮リンク|自然な位相|en|natural topology}}(natural topology)は[[ザリスキー位相]]であるが、ザリスキー位相での層コホモロジーは開集合が少なすぎるのでうまく振舞ってはくれない。[[アレクサンドル・グロタンディーク]](Alexandre Grothendieck)は、'''被覆'''の考えたを公理化する[[グロタンディーク位相]]を導入することで、この問題を解こうとした。グロタンディークは、層の定義が位相空間の開集合にのみ依存していて、個々の点には依存していないという見方をした。以前、彼は被覆の考え方を公理化したことがあり、開集合は他の対象へ置き換えていた。まさに今述べたように、前層はこれらの対象の各々をデータへ変え、層は被覆の新しい考え方に関して、張り合わせ公理を満たす前層である。これにより、グロタンディークは、[[エタール・コホモロジー]]やl-進コホモロジーを定義することができ、結局はこれらがヴェイユ予想を証明することに使われた。

グロタンディーク位相を持つ圏は、'''サイト'''と呼ばれる。サイト上の層の圏は、'''トポス'''とか'''グロタンディエクトポス'''と呼ばれる。トポスの概念は、後に、[[ウィリアム・ローヴェア]] (William Lawvere) やマイルス・ティエルニー (Miles Tierney) により抽象化され、[[:en:topos#Elementary topoi (topoi in logic)|基本トポス]](elementary topos)を定義した。基本トポスは[[数理論理学]]と関係している。

{{仮リンク|∞-トポス|en|∞-topos}}(∞-topos)も参照。
<!--== Sites and topoi ==
{{Main|Grothendieck topology|Topos}}

[[André Weil]]'s [[Weil conjectures]] stated that there was a [[Weil cohomology theory|cohomology theory]] for [[algebraic variety|algebraic varieties]] over [[finite field]]s that would give an analogue of the [[Riemann hypothesis]]. The only [[natural topology]] on such a variety, however, is the [[Zariski topology]], but sheaf cohomology in the Zariski topology is badly behaved because there are very few open sets. [[Alexandre Grothendieck]] solved this problem by introducing [[Grothendieck topology|Grothendieck topologies]], which axiomatize the notion of ''covering''. Grothendieck's insight was that the definition of a sheaf depends only on the open sets of a topological space, not on the individual points. Once he had axiomatized the notion of covering, open sets could be replaced by other objects. A presheaf takes each one of these objects to data, just as before, and a sheaf is a presheaf that satisfies the gluing axiom with respect to our new notion of covering. This allowed Grothendieck to define [[étale cohomology]] and [[l-adic cohomology]], which eventually were used to prove the Weil conjectures.

A category with a Grothendieck topology is called a ''site''. A category of sheaves on a site is called a ''topos'' or a ''Grothendieck topos''. The notion of a topos was later abstracted by [[William Lawvere]] and Miles Tierney to define an [[elementary topos]], which has connections to [[mathematical logic]].


層化の構成には何通りかの方法がある。たとえば層に付随するエタールバンドルの構成を前層に対して同様に実行することでエタールバンドルが得られ、このエタールバンドルに付随する層を考えることで層化が得られる。
See also: [[∞-topos]].-->


== 歴史 ==
== 歴史 ==
層の理論の起源をたどるのは容易ではない。はっきりと認識できる独立した層の理論が[[コホモロジー]]の基礎的な研究から生じるまでには約15年を要した。層の概念が最初にはっきりと現れたのは、第二次世界大戦中の[[ジャン・ルレー]]による[[偏微分方程式]]の研究だと言われている。その後、[[アンリ・カルタン]]のセミナーで形式的な整備が進められた。さらに任意の係数体 (coefficient field) 上の[[多様体]]にコホモロジー理論を構築することを目的の一つとして、[[1955年]]に[[ジャン＝ピエール・セール]]によって[[代数幾何学]]に層の概念が持ち込まれた。ほかに層が決定的に用いられる理論として[[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤幹夫]]らに端を発する偏微分方程式系の解析（[[D-加群|''D''-加群]]の理論）があげられる。
層の概念が最初にはっきりと現れたのは、第二次世界大戦中の[[ジャン・ルレイ]]による偏微分方程式の研究だと言われている。その後、[[アンリ・カルタン]]のセミナーで形式的な整備が進められた。
<!--The first origins of '''sheaf theory''' are hard to pin down &mdash; they may be co-extensive with the idea of [[analytic continuation]]{{Clarify|date=July 2010}}. It took about 15 years for a recognisable, free-standing theory of sheaves to emerge from the foundational work on [[cohomology]].-->


なお、[[アンリ・カルタン]]をはじめとするフランスの数学者達の層の解明は、[[岡潔]]が見出した不定域イデアルという概念をも基にしている。岡の複素関数論の[[イデア]]の不定域イデアルが基本内容を構成しそれを取り出し形式化したものが[[連接層]]の内容とされる。
* 1936年 - {{仮リンク|エドゥアルド・チェック|en|Eduard Čech}}(Eduard Čech)は[[被覆|開被覆]]と[[複体|単体]]と結びつけて、[[:en:Nerve of an open covering|脈体]]構成を導入した。
* 1938年 - {{仮リンク|ハスラー・ホイットニー|en|Hassler Whitney}}(Hassler Whitney)は{{仮リンク|ジェームズ・アレクサンダー|en|James Waddell Alexander II}}(James Waddell Alexander II)、[[アンドレイ・コルモゴロフ]]が初めて'''[[コチェイン]]'''(cochain)を定義して以来の研究を要約してコホモロジーの'現代的な'定義を与えた。
* 1943年 - {{仮リンク|ノーマン・スティーンロッド|en|Norman Steenrod}}(Norman Steenrod)による'''{{仮リンク|局所係数|en|local coefficients}}'''(local coefficients)を持つホモロジーに関する発表。
* 1945年 - {{仮リンク|ジャン・ルレイ|en|Jean Leray}}(Jean Leray)は[[偏微分方程式]]論への応用で[[不動点定理]]を証明するために戦争の捕虜時代に行った研究成果を発表した。これは層理論と{{仮リンク|スペクトル系列|en|spectral sequence}}(spectral sequence)の出発点となった。
* 1947年 - [[アンリ・カルタン]]は、[[アンドレ・ヴェイユ]]と連絡を取りながら、層の方法によって[[ド・ラームコホモロジー|ド・ラームの定理]]を改めて証明した（{{仮リンク|ド・ラーム＝ヴェイユの定理|en|De Rham-Weil theorem}}(De Rham-Weil theorem)参照）。ルレイは彼の講義において閉集合を通じて層の定義を与えた（後の''carapaces''）。
* 1948年 - カルタンのセミナーで層の理論が初めて記述された。
<!--* 1936 [[Eduard Čech]] introduces the ''[[Nerve of an open covering|nerve]]'' construction, for associating a [[simplicial complex]] to an open covering.
* 1938 [[Hassler Whitney]] gives a 'modern' definition of cohomology, summarizing the work since [[James Waddell Alexander II|J. W. Alexander]] and [[Kolmogorov]] first defined ''[[cochain]]s''.
* 1943 [[Norman Steenrod]] publishes on homology ''with [[local coefficients]]''.
* 1945 [[Jean Leray]] publishes work carried out as a [[prisoner of war]], motivated by proving [[Fixed point (mathematics)|fixed point]] theorems for application to [[Partial differential equation|PDE]] theory; it is the start of sheaf theory and [[spectral sequence]]s.
* 1947 [[Henri Cartan]] reproves the [[de Rham theorem]] by sheaf methods, in correspondence with [[André Weil]] (see [[De Rham-Weil theorem]]). Leray gives a sheaf definition in his courses via closed sets (the later ''carapaces'').
* 1948 The Cartan seminar writes up sheaf theory for the first time.-->
* 1950年 - "第二版"の層理論がカルタンのセミナーで作られた。茎のような (stalkwise) 構造を持つ[[層空間]] ([[:en:sheaf space|en]], ''espace étalé'') の定義が使われ、[[台 (数学)|台]]と台を持つコホモロジーが導入された。また、連続写像はスペクトル系列を生じた。同時期に[[岡潔]]は[[多変数複素函数|多変数複素函数論]]において[[イデアル]]の層のアイデア（に近いアイデア）を導入した。
* 1951年 - カルタンのセミナーで[[カルタンの定理|カルタンの定理 A, B]]が岡潔の研究に基づいて証明された。
* 1953年 - 解析理論における[[連接層]]についての有限性定理が[[セール双対性|セールの双対定理]]と同様にカルタンおよび[[ジャン＝ピエール・セール]]によって証明された。
* 1954年 - セールの論文[[#CITEREFSerre1955|''Faisceaux algébriques cohérents'']]（1955年掲載）は層を[[代数幾何学]]に導入した。これらのアイデアは直ちに{{仮リンク|フリードリヒ・ヒルツェブルッフ|en|Friedrich Hirzebruch}}(Friedrich Hirzebruch)によって使われた。彼は1956年に位相幾何学の手法についての有名な本を記した。
* 1955年 - [[アレクサンドル・グロタンディーク]]は[[カンサス]]のレクチャーにおいて[[アーベル圏]]および前層 (presheaf)を定義し、{{仮リンク|単射分解|en|injective resolution}}(injective resolution) を用いることで[[層コホモロジー]]を[[導来関手]]としてすべての位相空間に直接用いることを可能にした。
* 1956年 - [[オスカー・ザリスキ]]がレポート''[[#CITEREFMartinChernZariski1956|Algebraic sheaf theory]]''を発表。
<!--* 1950 The "second edition" sheaf theory from the Cartan seminar: the [[sheaf space]] (''espace étalé'') definition is used, with stalkwise structure. [[Support (mathematics)|Support]]s are introduced, and cohomology with supports. Continuous mappings give rise to spectral sequences. At the same time [[Kiyoshi Oka]] introduces an idea (adjacent to that) of a sheaf of ideals, in [[several complex variables]].
* 1951 The Cartan seminar proves the [[Theorems A and B]] based on Oka's work.
* 1953 The finiteness theorem for [[coherent sheaf|coherent sheaves]] in the analytic theory is proved by Cartan and [[Jean-Pierre Serre]], as is [[Serre duality]].
* 1954 Serre's paper ''[[#CITEREFSerre1955|Faisceaux algébriques cohérents]]'' (published in 1955) introduces sheaves into [[algebraic geometry]]. These ideas are immediately exploited by [[Hirzebruch]], who writes a major 1956 book on topological methods.
* 1955 [[Alexander Grothendieck]] in lectures in [[Kansas]] defines [[abelian category]] and ''presheaf'', and by using [[injective resolution]]s allows direct use of sheaf cohomology on all topological spaces, as [[derived functor]]s.
* 1956 [[Oscar Zariski]]'s report ''[[#CITEREFMartinChernZariski1956|Algebraic sheaf theory]]''-->
* 1957年 - グロタンディークの[[#CITEREFGrothendieck1957|''Tohoku''論文]]は[[ホモロジー代数]]を書き直した。彼は[[グロタンディーク双対]] ([[:en:Grothendieck duality|en]], 例えば場合によっては[[特異点 (数学)|特異点]][[代数多様体]]についての[[セール双対性|セール双対]]）を証明した。
* 1957年 - 前進：グロタンディークは層理論を代数幾何学の必要性に応じて拡張した。これには[[概型|スキーム]]とそれらの上の一般的な層、[[局所コホモロジー]] ([[:en:local cohomology|en]])、[[導来圏]] (J.L. Verdierと共同研究)、および[[グロタンディーク位相]]が含まれる。ホモロジー代数におけるグロタンディークによる影響力の大きい'six operations'も芽生えた。
* 1958年 - [[ロジェ・ゴドマン]] ([[:en:Roger Godement|en]]) の層理論に関する本が出版された。この頃、[[佐藤幹夫]]は[[佐藤の超函数]]を提唱した。これは層理論的な性質を持つことがわかった。
<!--* 1957 Grothendieck's [[#CITEREFGrothendieck1957|''Tohoku'' paper]] rewrites [[homological algebra]]; he proves [[Grothendieck duality]] (i.e., Serre duality for possibly [[Mathematical singularity|singular]] algebraic varieties).
* 1957 onwards: Grothendieck extends sheaf theory in line with the needs of algebraic geometry, introducing: [[Scheme (mathematics)|scheme]]s and general sheaves on them, [[local cohomology]], [[derived category|derived categories]] (with Verdier), and [[Grothendieck topologies]]. There emerges also his influential schematic idea of 'six operations' in homological algebra.
* 1958 [[Godement]]'s book on sheaf theory is published. At around this time [[Mikio Sato]] proposes his [[hyperfunction]]s, which will turn out to have sheaf-theoretic nature.-->


さらに任意の係数体上の多様体にコホモロジー理論を構築することを目的の一つとして、[[1955年]]に[[ジャン＝ピエール・セール]]によって代数幾何学に層の概念が持ち込まれた。[[アレクサンドル・グロタンディーク]]によりこの考えが推し進められ、[[概型|スキーム]]上有意義な「層」を表現しうる[[トポス (数学)|トポス]]の概念が得られた。ほかに層が決定的に用いられる理論として[[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤幹夫]]らに端を発する偏微分方程式系の解析（''D''-加群の理論）があげられる。
この時点で、層は[[代数的位相幾何学]]に制限されずに使われるようになり、数学の主流の分野となった。後に、層の[[圏 (数学)|圏]]における[[論理]]は[[直観論理]]であることが発見された（この観測は現在は[[クリプキ＝ジョイアル意味論]] ([[:en:Kripke–Joyal semantics|en]])としてよく言及されるが、おそらくは多くの著者の貢献による）。このことは、層理論の様相のいくつかは[[ゴットフリート・ライプニッツ]]にまでさかのぼることができることを示している。
<!--At this point sheaves had become a mainstream part of mathematics, with use by no means restricted to [[algebraic topology]]. It was later discovered that the logic in categories of sheaves is [[intuitionistic logic]] (this observation is now often referred to as [[Kripke&ndash;Joyal semantics]], but probably should be attributed to a number of authors). This shows that some of the facets of sheaf theory can also be traced back as far as [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]].-->


== 関連項目 ==
== 関連項目 ==
* {{仮リンク|余層|en|cosheaf}}
* [[連接層]]
* {{仮リンク|余層|en|cosheaf}}(cosheaf)
* {{仮リンク|ジャーブ|en|Gerbe}} (gerbe)
* {{仮リンク|ジャーブ|en|Gerbe}}(Gerbe)
* {{仮リンク|正則層|en|Holomorphic sheaf}}
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* {{仮リンク|スタック (数学)|label=スタック|en|Stack (mathematics)}}
* {{仮リンク|スタック (数学)|label=スタック|en|Stack (mathematics)}}(Stack)
* {{仮リンク|スペクトルの層|en|Sheaf of spectra}}
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* {{仮リンク|空間の前層|en|Presheaf of spaces}}
* [[リーマン面]]
* {{仮リンク|空間の前層|en|Presheaf of spaces}}(Presheaf of spaces)

== 脚注 ==
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=== 注釈 ===
<references group="注" />
=== 出典 ===
<references />


== 参考文献 ==
== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|title=輓近代数学の展望|year=1941|publisher=弘文堂書房|ref=harv|last=秋月|first=康夫|author-link=秋月康夫|NCID=BN05414072}}
* {{Citation | last1=Bredon | first1=Glen E. | author1-link = Glen Bredon | title=Sheaf theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94905-5 | mr=1481706 | edition=2nd | year=1997 | volume=170}} (oriented towards conventional topological applications)
** {{Cite book|和書|title=輓近代数学の展望|year=1970|publisher=ダイヤモンド社|ref=harv|last=秋月|first=康夫|author-link=秋月康夫|NCID=BN00660967}}
* {{Citation | last1=Godement | first1=Roger | author1-link = Roger Godement | title=Topologie algébrique et théorie des faisceaux | publisher=Hermann | location=Paris | mr=0345092 | year=1973}}

* {{Citation | last1=Bredon | first1=Glen E. | title=Sheaf Theory | url={{google books|JFXSBwAAQBAJ|plainurl=yes}} | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94905-5 | mr=1481706 | edition=2nd | year=1997 | volume=170}} (oriented towards conventional topological applications)
* {{Citation | last1=Godement | first1=Roger | title=Topologie algébrique et théorie des faisceaux | publisher=Hermann | location=Paris | mr=0345092 | year=1973}}
* {{Citation | last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=Alexander Grothendieck | title=Sur quelques points d'algèbre homologique | mr=0102537 | year=1957 | journal=The Tohoku Mathematical Journal. Second Series | issn=0040-8735 | volume=9 | pages=119–221 | doi=10.2748/tmj/1178244839}}
* {{Citation | last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=Alexander Grothendieck | title=Sur quelques points d'algèbre homologique | mr=0102537 | year=1957 | journal=The Tohoku Mathematical Journal. Second Series | issn=0040-8735 | volume=9 | pages=119–221 | doi=10.2748/tmj/1178244839}}
* {{Citation | last1=Hirzebruch | first1=Friedrich | author1-link = Friedrich Hirzebruch | title=Topological methods in algebraic geometry | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Classics in Mathematics | isbn=978-3-540-58663-0 | mr=1335917 | year=1995}} (updated edition of a classic using enough sheaf theory to show its power)
* {{Citation | last1=Hirzebruch | first1=Friedrich | author1-link = フリードリッヒ・ヒルツェブルフ | title=Topological methods in algebraic geometry | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Classics in Mathematics | isbn=978-3-540-58663-0 | mr=1335917 | year=1995}} (updated edition of a classic using enough sheaf theory to show its power)
* {{Citation | last1=Kashiwara | first1=Masaki | author1-link=Masaki Kashiwara | last2=Schapira | first2=Pierre | title=Sheaves on manifolds | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] | isbn=978-3-540-51861-7 | mr=1299726 | year=1994 | volume=292}}(advanced techniques such as the [[derived category]] and [[vanishing cycle]]s on the most reasonable spaces)
* {{Citation | last1=Kashiwara | first1=Masaki | author1-link=Masaki Kashiwara | last2=Schapira | first2=Pierre | title=Sheaves on manifolds | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] | isbn=978-3-540-51861-7 | mr=1299726 | year=1994 | volume=292}} (advanced techniques such as the [[derived category]] and [[vanishing cycle]]s on the most reasonable spaces)
* {{Citation | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author1-link = Saunders Mac Lane | last2=Moerdijk | first2=Ieke | author2-link = Ieke Moerdijk | title=Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-0-387-97710-2 | mr=1300636 | year=1994}} (category theory and toposes emphasised)
* {{Citation | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author1-link = Saunders Mac Lane | last2=Moerdijk | first2=Ieke | title=Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-0-387-97710-2 | mr=1300636 | year=1994}} (category theory and toposes emphasised)
* {{Citation | last1=Martin | first1=W. T. | last2=Chern | first2=S. S. | author2-link=Shiing-Shen Chern | last3=Zariski | first3=Oscar | author3-link=Oscar Zariski | title=Scientific report on the Second Summer Institute, several complex variables | mr=0077995 | year=1956 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9904 | volume=62 | pages=79–141 | doi=10.1090/S0002-9904-1956-10013-X | issue=2}}
* {{Citation | last1=Martin | first1=W. T. | last2=Chern | first2=S. S. | author2-link=Shiing-Shen Chern | last3=Zariski | first3=Oscar | author3-link=Oscar Zariski | title=Scientific report on the Second Summer Institute, several complex variables | mr=0077995 | year=1956 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | issn=0002-9904 | volume=62 | pages=79–141 | doi=10.1090/S0002-9904-1956-10013-X | issue=2}}
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | title=Faisceaux algébriques cohérents | url=http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf | mr=0068874 | year=1955 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=61 | pages=197–278 | doi=10.2307/1969915 | jstor=1969915 | issue=2 | publisher=The Annals of Mathematics, Vol. 61, No. 2 }} <sup>[http://scholar.google.co.uk/scholar?hl=en&lr=&q=intitle%3AFaisceaux+alg%C3%A9briques+coh%C3%A9rents&as_publication=%5B%5BAnnals+of+Mathematics%7CAnnals+of+Mathematics.+Second+Series%5D%5D&as_ylo=1955&as_yhi=1955&btnG=Search Scholar search]</sup>
* {{Citation | last1=Seebach | first1=J. Arthur| last2=Seeback | first2=Linda A. | last3=Steen | first3=Lynn A. | title=What is a sheaf? | year=1970 | journal=American Mathematical Monthly | volume=77 | pages=681–703 | doi=10.2307/2316199 | mr=0263073}}
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | title=Faisceaux algébriques cohérents | url=http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf | mr=0068874 | year=1955 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=61 | pages=197–278 | doi=10.2307/1969915 | jstor=1969915 | issue=2 | publisher=The Annals of Mathematics, Vol. 61, No. 2 }} <sup>[https://scholar.google.co.uk/scholar?hl=en&lr=&q=intitle%3AFaisceaux+alg%C3%A9briques+coh%C3%A9rents&as_publication=%5B%5BAnnals+of+Mathematics%7CAnnals+of+Mathematics.+Second+Series%5D%5D&as_ylo=1955&as_yhi=1955&btnG=Search Scholar search]</sup>
* {{Citation | last1=Swan | first1=R. G. | title=The Theory of Sheaves | publisher=University of Chicago Press| year=1964}} (concise lecture notes)
* {{Citation | last1=Swan | first1=R. G. | title=The Theory of Sheaves | publisher=University of Chicago Press| year=1964}} (concise lecture notes)
* {{Citation | last1=Tennison | first1=B. R. | title=Sheaf theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | mr=0404390 | year=1975}} (pedagogic treatment)
* {{Citation | last1=Tennison | first1=B. R. | title=Sheaf theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | mr=0404390 | year=1975}} (pedagogic treatment)
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2023年9月10日 (日) 19:44時点における最新版

数学における層（そう、英: sheaf[注 1], 仏: faisceau）とは、位相空間上で連続的に変化する様々な数学的構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの貼り合わせ可能性によって定式化される。

　層は局所と大域をつなぐことばであり、装置である。層のことばを使って多様体やリーマン面などの幾何学的対象が定義できる。曲面の向きや微分形式も層のことばで定義できる。 例として、位相空間上の連続関数を考える。位相空間の各集合に対しそこで定義された連続関数の環が定まり、開集合の包含関係に対し定義域を制限することで定まる写像は環の射である。 さらに、局所的に定義された連続関数の族が大域的な関数を定義するならば、その関数は連続関数である。層の定義は、この2つの性質を抽象化したものである[1]。

　より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は前層（ぜんそう、presheaf）とよばれる[2]。

定義

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前層

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組 を が集合、 が の開集合系である位相空間とする。X 上の（集合の）前層 とは、次の条件を満たす の開集合から集合への対応規則である。

  • の開集合 に対して集合 が定まる。
  • 開集合の包含関係 に応じて制限写像（せいげんしゃぞう、restriction map）と呼ばれる写像
（ρ V
U  を ρU, V のように記すこともある）が定まり、さらに次の条件を満たす。
  1. （ここで、は恒等写像である）。
  2. 。

各開集合 に対応付けられる がどれも加群の構造を持ち、制限写像がどれも加群の準同型となっているならば X 上の加群の前層、同じく がどれも環であって制限写像がどれも環準同型ならば 上の環の前層、といったように たちのもつ構造によって前層をクラスに分けることができる。

各開集合 に対して の元を前層 の 上の切断（せつだん、section）あるいは断面（だんめん）と呼ぶ。開集合の包含関係 と 上の切断 が与えられたとき、

と記して、 を切断 の への制限 (restriction) と呼ぶ。

圏論の言葉で言えば、 の開集合系（これは包含関係に関する順序集合となる） を圏と見なすとき、 上の前層とは から集合の圏への反変関手のことであるということができる。また、可換群の（あるいは加群の）前層や環の前層は から可換群の圏や環の圏への反変関手のことであり、同様にして から適当な圏 への反変関手として に値を持つ前層が定義される[3]。二つの前層を関手と見なして、その間の自然変換となるものを前層の射または前層の準同型とよぶ。

層

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位相空間 X 上の前層はその切断が局所的な切断の張り合わせで定義できるとき層と呼ばれる。正確には X 上の層とは、前層 F = {F(U), ρ V
U } であって、X の各開集合 U に対して開被覆

が任意に与えられたとき、F(U) の元 s, t が任意の λ に対して

を満たすならば常に s = t が成立（既約性条件）し、さらに切断の族 (sλ ∈ Uλ)λ∈Λ が常に

を満たすものであるならば常に、F(U) の元 s で

をすべての λ に対して満たすものが存在する（閉条件）ようなもののことをいう。

射

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発見的な方法でいうと、層の射は層の間の写像のようなものである。しかし、層は位相空間の各開集合に対するデータを含んでいるので、層の射は、各開集合上の写像の整合性条件を満たす集まりとして定義される。

F と G を圏 C に値をもつ X 上の 2つの層とする。射 φ: G → F は、X の各開集合 U に対し、制限と両立するような射 φ(U): G(U) → F(U) からなる。言い換えると、開集合 U のすべての開部分集合 V に対し、次の図式が可換となる：

層を特別な種類の関手としても表現できることを思い出そう。このとき、層の射は対応する関手の自然変換である。射のこの概念により、任意の C に対し X 上の C に値を持つ層の圏が存在する。その対象は C に値を持つ層であり、射は層の射である。層の同型射はこの圏における同型射である。

層の同型射は各開集合 U 上の同型射であることを証明できる。言い換えると、φ が同型射であることと、各 U に対し φ(U) が同型射であることが同値である。同じことは単射についても正しいが、全射については正しくない。層係数コホモロジーを参照。

層の射の定義において貼りあわせの公理を用いなかったことに注意しよう。したがって、上の定義は前層に対しても意味をなす。すると C に値を持つ前層の圏は関手圏、O(X) から C への反変関手の圏である。

層の茎

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詳細は「茎 (層)」を参照

層 の茎 (stalk) は、点 x ∈ X の「まわり」の層の性質を捕らえる。ここに、「まわり」の意味は、概念的に言うと、その点のいくらでも小さい近傍を見るということであるが、もちろん、単独の近傍では十分小さくないので、ある種の極限をとらなければならない。

茎は、与えられた点 x を含む X のすべての開集合上での帰納極限

によって定義される。言い換えると、茎の元は、x のある開近傍上の切断により与えられ、2つのそのような切断は、より小さな近傍でそれらの制限が一致するとき、同じであると考える。

自然な射 F(U) → Fx は F(U) の切断 s をその芽 (germ) へ写す。これは芽の通常の定義を一般化する。

茎の別の定義方法は、

であり、ここに i は一点空間 {x} から X への包含である。同値性は逆像（英語版）の定義から導かれる。

多くの状況下で、層の茎を知ることは、層自身を知るに充分である。例えば、層の射が単射、全射、あるいは同型射であるか否かは、茎の上で調べることができる。ゴドマン分解（英語版）のような構成においても、茎が使われる。

エタール束

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局所同相写像 E → X は X 上のエタール束とよばれる。X 上の層と X 上のエタール束の間には自然な対応がある。

エタール束 E に対応する層 FE は各開集合 U に対してその上の E への切断の空間 Γ(U, E) を与え、開集合の包含関係に対して切断の制限写像を対応させることで定義される。X の点 x について、茎 FE, x は E における x の逆像と自然に対応する。

逆に、層 F に対応するエタール束 FE は F の茎の合併集合 に、次のようにして位相を入れることで構成される(射影 EF → X は Fx → x の寄せ集めで作られる)。任意の開集合 U と FU の任意の元 s について O(U; s) = { sy ∈ Fy | y ∈ U } (sy は茎 Fy における sの芽) とおき、O(U; s) の形にかける集合全てで生成されるような開集合系をEF上で考える。

例

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連続関数の層

Xを位相空間とする。X の開集合 U に対して、その上の複素数値連続関数のなす空間を C(U) とかくことにする。開集合の包含関係 V ⊆ U に対して関数の定義域の制限 C(U) → C(V) を考えることでX 上の層が得られる。点x におけるこの層の芽とはxのまわりでの関数の局所的な振る舞いを表していると考えることができる。 同様に、複素多様体に対しその上の正則関数のなす層を考えることができる。

定数層

Mを集合とするとき、離散位相を考えてMを位相空間とみなせる。このとき、直積空間X × MからXへの第一成分への射影写像は局所同相写像になっていて、X上のエタールバンドルを与えている。これに対応する層はMが定めるX上の定数層と呼ばれる。

空間の復元

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Xを位相空間とする。一点集合が定めるX上の定数層はO(X)上Xによって表現される関手yX = HomO(X)(-, X)だと見なすことができる。より一般にyXの部分層とXの開集合の間に自然な対応があり、X上の層からXの開集合たちとその間の包含関係を復元できることがわかる。簡素な空間 (sober space) と呼ばれるクラスの分離空間についてはその開集合系からもとの空間と位相同型な位相空間を得ることができる。このことから層は位相空間の圏論的・「代数／組み合わせ」的な言い換えを与えているとも考えられる。

前層の層化

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前層Pに対してその層化 aP が、普遍性 Hom(P, F) ≡ Hom(aP, F) (Fは任意の層)を満たすような層として定義される。この定義から、とくにすでに層であるような前層 P に対して層化 aP を考えれば、PとaPは自然に同型であることが要請される。集合の前層については実際に層化を考えることができ、加群や環の前層など付加的な構造を付与した場合でもたいていの場合には層化が可能である。

層化の構成には何通りかの方法がある。たとえば層に付随するエタールバンドルの構成を前層に対して同様に実行することでエタールバンドルが得られ、このエタールバンドルに付随する層を考えることで層化が得られる。

歴史

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層の概念が最初にはっきりと現れたのは、第二次世界大戦中のジャン・ルレイによる偏微分方程式の研究だと言われている。その後、アンリ・カルタンのセミナーで形式的な整備が進められた。

なお、アンリ・カルタンをはじめとするフランスの数学者達の層の解明は、岡潔が見出した不定域イデアルという概念をも基にしている。岡の複素関数論のイデアの不定域イデアルが基本内容を構成しそれを取り出し形式化したものが連接層の内容とされる。

さらに任意の係数体上の多様体にコホモロジー理論を構築することを目的の一つとして、1955年にジャン＝ピエール・セールによって代数幾何学に層の概念が持ち込まれた。アレクサンドル・グロタンディークによりこの考えが推し進められ、スキーム上有意義な「層」を表現しうるトポスの概念が得られた。ほかに層が決定的に用いられる理論として佐藤幹夫らに端を発する偏微分方程式系の解析（D-加群の理論）があげられる。

関連項目

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脚注

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[脚注の使い方]

注釈

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  1. ^ 英語で麦類の穂束、書類の束、矢の束などを意味する (sheaf - Wiktionary)。

出典

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  1. ^ P191 第7章 層 数学原論 斎藤毅著 東京大学出版会 2020年4月10日 ISBN 978-4-13-063904-0 なお、複素解析(著者：L.V.アールフォルス ／笠原乾吉 （訳）(1982)(株)現代数学社)の第8章 1.2 芽と層 およびそれ以降の節が、複素解析論における層の理論の具体的適用例として大変参考になる。
  2. ^ 層という訳語の由来は仏語 Faisceau のあとの方の 'ソー' をとったというのが一つの根拠である。Faisceau の元来の意味は束 (タバ) である。'群の束' (X 上に配置された) の意である。ところで、これを横に見ると地層のような層になる。そこで、垂直を水平におきかえて層と訳してみたのである。この訳がよいか、悪いか、わが国で定着しているかどうか知らないが、この訳語の発案者として、その由来を記しておく。(秋月 1970, p. 176)
  3. ^ Bredon 1997, pp. 1–2.

参考文献

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外部リンク

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