「超幾何関数」の版間の差分
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Iyoiyo1240 (会話 | 投稿記録) Beta関数の積分表示における誤植の訂正 |
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'''超幾何関数'''(ちょうきかかんすう)は超幾何級数で定義される[[特殊関数]]である。 |
'''超幾何関数'''(ちょうきかかんすう、{{Lang-en-short|hypergeometric function}})は以下の[[超幾何級数]]で定義される[[特殊関数]]である。 |
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:<math>F(a,b |
:<math>F(a,b;c;z):={_2F_1}\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n</math> |
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ただし、{{math|(''x''){{sub|''n''}}}} は[[ポッホハマー記号]]で表した[[昇冪]] {{math|(''x''){{sub|0}} {{=}} 1}}、{{math|(''x''){{sub|''n''}} {{=}} ''x'' (''x''+1) (''x''+2)…(''x''+''n''−1)}} である。 |
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== 概要 == |
== 概要 == |
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超幾何関数は多くの[[初等関数]]や[[特殊関数]]を包含する。 |
超幾何関数は多くの[[初等関数]]や[[特殊関数]]を包含する。 |
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[[対数関数]]、[[逆三角関数]] |
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:<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
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(1-z)^{-a} &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a)(-a-1)\cdots(-a-n+1)}{n!}(-z)^n={_1F_0}\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};z\right]\\ |
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e^z &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n={_0F_0}\left[\begin{matrix}-\\-\end{matrix};z\right]\\ |
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\sin z &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n}=z\cdot{_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ |
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\cos z &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}={_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{1}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ |
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\log(1+z) &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}z^{n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-z\right]\\ |
\log(1+z) &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}z^{n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-z\right]\\ |
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\log\left(\frac{1+z}{1-z}\right) &= 2z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}z^{2n}=2z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1\\\frac{3}{2}\end{matrix};z^2\right]\\ |
\log\left(\frac{1+z}{1-z}\right) &= 2z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}z^{2n}=2z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1\\\frac{3}{2}\end{matrix};z^2\right]\\ |
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\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
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== オイラー積分表示 == |
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[[正弦積分]]、[[余弦積分]]、[[指数積分]] |
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ガウスの超幾何関数は[[オイラー積分]]で表される<ref name="hara">原岡喜重. (2002). 超幾何関数. [[朝倉書店]].</ref><ref name="toki">時弘哲治. (2006). 工学における特殊関数. [[共立出版]].</ref>。 |
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:<math>F(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\qquad(0<\real{a}<\real{c},|z|<1)</math> |
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\operatorname{Si}(z) &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}z^{2n}=z\cdot{_1F_2}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2},\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ |
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これは |
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\operatorname{Ci}(z) &= \gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)(2n)!}z^{2n}=\gamma+\log{z}-\frac{z^2}{4}\cdot{_2F_3}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2,\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ |
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\operatorname{Ei}(z) &= \gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nn!}z^{n}=\gamma+\log{z}+z\cdot{_2F_2}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2\end{matrix};z\right]\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\cdot\frac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(c-a)(b)_n}{\Gamma(c+n)\;n!}z^n\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\Beta(a+n,c-a)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{1}t^{a+n-1}(1-t)^{c-a-1}dt\right)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(b)_n}{n!}(tz)^n\right)dt\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\\ |
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\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
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として導かれる。 |
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== 超幾何定理 == |
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ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に<math>z=1</math>を代入するとガウスの超幾何定理を得る<ref name="toki"/><ref>{{MathWorld|title=Gauss's Hypergeometric Theorem|urlname=GausssHypergeometricTheorem}}</ref>。 |
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:<math>\begin{align}F(a,b;c;1) |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^1 t^{a-1}(1-t)^{c-a-b-1}dt\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)\Beta(a,c-a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\qquad(\real{a}+\real{b}<\real{c},c\not\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N})\\ |
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\end{align}</math> |
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となる。更に<math>a=-n</math>を代入すると{{仮リンク|ヴァンデルモンドの恒等式|en|Vandermonde's identity}}を得る<ref>{{MathWorld|title=Chu-Vandermonde Identity|urlname=Chu-VandermondeIdentity}}</ref>。 |
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:<math>F(-n,b;c;1)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-b)}=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}</math> |
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{{Main|ガウスの微分方程式}} |
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== 脚注 == |
== 脚注 == |
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== 参考文献 == |
== 参考文献 == |
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*{{Cite book|和書 |
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|author=西本敏彦 |
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|date=1998-11 |
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|title=超幾何・合流型超幾何微分方程式 |
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|publisher=共立出版 |
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|isbn=978-4-320-01593-7 |
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|ref={{Harvid|西本|1998}} |
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}} |
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*{{Cite book|和書 |
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|author=福原満洲雄|authorlink=福原満洲雄 |
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|date=1980-05-23 |
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|title=常微分方程式 |
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|series=岩波全書 116 |
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|edition=第2版 |
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|publisher=岩波書店 |
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|isbn=978-4-00-021234-2 |
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|ref={{Harvid|福原|1980}} |
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}} |
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== 関連項目 == |
== 関連項目 == |
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* [[一般化された超幾何関数]] |
* [[一般化された超幾何関数]] |
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* {{仮リンク|合流型超幾何関数|en|Confluent hypergeometric function}} |
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== 外部リンク == |
== 外部リンク == |
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*{{高校数学の美しい物語|1433|超幾何級数の定義と例}} |
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*{{MathWorld|title=Hypergeometric Function|urlname=HypergeometricFunction}} |
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{{DEFAULTSORT:ちようきかかんすう}} |
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[[Category:級数]] |
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[[Category:数学に関する記事]] |
2024年1月25日 (木) 13:04時点における最新版
超幾何関数(ちょうきかかんすう、英: hypergeometric function)は以下の超幾何級数で定義される特殊関数である。
ただし、(x)n はポッホハマー記号で表した昇冪 (x)0 = 1、(x)n = x (x+1) (x+2)…(x+n−1) である。
概要[編集]
完全楕円積分
オイラー積分表示[編集]
これは
として導かれる。
超幾何定理[編集]
ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示にを代入するとガウスの超幾何定理を得る[2][3]。
となる。更にを代入するとヴァンデルモンドの恒等式を得る[4]。
超幾何微分方程式[編集]
詳細は「ガウスの微分方程式」を参照
脚注[編集]
- ^ 原岡喜重. (2002). 超幾何関数. 朝倉書店.
- ^ a b 時弘哲治. (2006). 工学における特殊関数. 共立出版.
- ^ Weisstein, Eric W. "Gauss's Hypergeometric Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Weisstein, Eric W. "Chu-Vandermonde Identity". mathworld.wolfram.com (英語).
参考文献[編集]
- 西本敏彦『超幾何・合流型超幾何微分方程式』共立出版、1998年11月。ISBN 978-4-320-01593-7。
- 福原満洲雄『常微分方程式』(第2版)岩波書店〈岩波全書 116〉、1980年5月23日。ISBN 978-4-00-021234-2。
関連項目[編集]
外部リンク[編集]
- 『超幾何級数の定義と例』 - 高校数学の美しい物語
- Weisstein, Eric W. "Hypergeometric Function". mathworld.wolfram.com (英語).