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ゼータ函数は、次の式で作用素 <math>\mathcal O</math> の[[固有値]] <math>\lambda_i</math> |
ゼータ函数は、次の式で作用素 <math>\mathcal O</math> の[[固有値]] <math>\lambda_i</math> によって'''スペクトルのゼータ函数'''(spectral zeta function)<ref>Lapidus & van Frankenhuijsen (2006) "Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings" http://www.drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/Fractal/FractalGeometryComplexDimensionsZetaFunctions.pdf p.23</ref> としても表現できる。 |
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:<math> \zeta_{\mathcal O}(s) = \sum_{\lambda_i} \lambda_i^{-s}\ </math> |
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:<math> \det \mathcal O := e^{-\zeta'_{\mathcal O}(0)} \; |
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[[ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数]]は、作用素がコンパクト[[リーマン多様体]]の[[ラプラシアン]]の場合の例である。 |
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また、この考え方は、[[ゼータ函数正規化]]や[[解析的トーション]]に適用される |
また、この考え方は、[[ゼータ函数正規化]]や[[解析的トーション]]に適用される。 |
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<!---The '''[[zeta function (disambiguation)|zeta function]] of a mathematical [[operator (mathematics)|operator]]''' <math>\mathcal O</math> is a function defined as |
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さらに、代数幾何学的に一般化された[[熱核|熱核の方法]]とともに、作用素のゼータ函数は、{{仮リンク|アラケロフ理論|en|Arakelov theory}}の最も重要な動機の一つになっている。<ref>{{citation | last=Soulé | first= C. | title=Lectures on Arakelov geometry | series= Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume= 33 | publisher=Cambridge University Press | place=Cambridge | year= 1992 | pages= viii+177 | isbn= 0-521-41669-8 |
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:<math> \zeta_{\mathcal O}(s) = \operatorname{tr} \; \mathcal O^{-s} </math> |
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for those values of ''s'' where this expression exists, and as an [[analytic continuation]] of this function for other values of ''s''. Here "tr" denotes a functional [[trace (linear algebra)|trace]]. |
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The zeta function may also be expressible as a '''spectral zeta function'''<ref>Lapidus & van Frankenhuijsen (2006) p.23 </ref> in terms of the [[eigenvalues]] <math>\lambda_i</math> of the operator <math>\mathcal O</math> by |
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:<math> \zeta_{\mathcal O}(s) = \sum_{\lambda_i} \lambda_i^{-s} </math>. |
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It is used in giving a rigorous definition to the [[functional determinant]] of an operator, which is given by |
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:<math> \det \mathcal O := e^{-\zeta'_{\mathcal O}(0)} \;. </math> |
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The [[Minakshisundaram–Pleijel zeta function]] is an example, when the operator is the Laplacian of a compact Riemannian manifold.--> |
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==参考文献== |
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* {{citation | last1=Lapidus | first1=Michel L. | last2=van Frankenhuijsen | first2=Machiel | title=Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings | series=Springer Monographs in Mathematics | location=New York, NY | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2006 | isbn=0-387-33285-5 | zbl=1119.28005 }} |
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2024年2月16日 (金) 13:54時点における最新版
の右辺が存在するような s に対してはこの式で、他の s の値に対してはこの函数の解析接続として定義される。ここに tr は函数のトレースを表す。
ゼータ函数は、次の式で作用素 の固有値 によってスペクトルのゼータ函数(spectral zeta function)[1] としても表現できる。
これは汎函数行列式を厳密に定義することに使われる。それは
で与えられる。
ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数は、作用素がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの場合の例である。
また、この考え方は、ゼータ函数正規化や解析的トーションに適用される。
さらに、代数幾何学的に一般化された熱核の方法とともに、作用素のゼータ函数は、アラケロフ理論の最も重要な動機の一つになっている。[2]
参考文献
[編集]- ^ Lapidus & van Frankenhuijsen (2006) "Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings" http://www.drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/Fractal/FractalGeometryComplexDimensionsZetaFunctions.pdf p.23
- ^ Soulé, C.; with the collaboration of D. Abramovich, J.-F. Burnol and J. Kramer (1992), Lectures on Arakelov geometry, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 33, Cambridge: Cambridge University Press, pp. viii+177, ISBN 0-521-41669-8, MR1208731
- Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (2006), Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings, Springer Monographs in Mathematics, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-33285-5, Zbl 1119.28005
- Fursaev, Dmitri; Vassilevich, Dmitri (2011), Operators, Geometry and Quanta: Methods of Spectral Geometry in Quantum Field Theory, Theoretical and Mathematical Physics, Springer-Verlag, p. 98, ISBN 94-007-0204-3