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作用素 ${\mathcal {O}}$ のゼータ函数は、以下のように定義される関数である。

\zeta _{\mathcal {O}}(s)=\operatorname {tr} {\mathcal {O}}^{-s}

の右辺が存在するような s に対してはこの式で、他の s の値に対してはこの函数の解析接続として定義される。ここに tr は函数のトレースを表す。

ゼータ函数は、次の式で作用素 ${\mathcal {O}}$ の固有値 $\lambda _{i}$ によってスペクトルのゼータ函数(spectral zeta function)^[1] としても表現できる。

\zeta _{\mathcal {O}}(s)=\sum _{\lambda _{i}}\lambda _{i}^{-s}\ .

これは汎函数行列式を厳密に定義することに使われる。それは

\det {\mathcal {O}}:=e^{-\zeta '_{\mathcal {O}}(0)}\;

で与えられる。

ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数は、作用素がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの場合の例である。

また、この考え方は、ゼータ函数正規化や解析的トーションに適用される。

さらに、代数幾何学的に一般化された熱核の方法とともに、作用素のゼータ函数は、アラケロフ理論（英語版）の最も重要な動機の一つになっている。^[2]

参考文献

^ Lapidus & van Frankenhuijsen (2006) "Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings" http://www.drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/Fractal/FractalGeometryComplexDimensionsZetaFunctions.pdf p.23
^ Soulé, C.; with the collaboration of D. Abramovich, J.-F. Burnol and J. Kramer (1992), Lectures on Arakelov geometry, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 33, Cambridge: Cambridge University Press, pp. viii+177, ISBN 0-521-41669-8, MR1208731

Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (2006), Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings, Springer Monographs in Mathematics, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-33285-5, Zbl 1119.28005
Fursaev, Dmitri; Vassilevich, Dmitri (2011), Operators, Geometry and Quanta: Methods of Spectral Geometry in Quantum Field Theory, Theoretical and Mathematical Physics, Springer-Verlag, p. 98, ISBN 94-007-0204-3

[1] Lapidus & van Frankenhuijsen (2006) "Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings" http://www.drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/Fractal/FractalGeometryComplexDimensionsZetaFunctions.pdf p.23

[2] Soulé, C.; with the collaboration of D. Abramovich, J.-F. Burnol and J. Kramer (1992), Lectures on Arakelov geometry, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 33, Cambridge: Cambridge University Press, pp. viii+177, ISBN 0-521-41669-8, MR1208731

[1]

[2]

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-[[作用素]] <math>\mathcal{O}</math> の'''[[ゼータ函数]]''' は次のように定義される．
+[[作用素 (関数解析学)|作用素]] <math>\mathcal{O}</math> の'''[[ゼータ函数]]'''は、以下のように定義される関数である。
-:<math> \zeta_{\mathcal O}(s) = \operatorname{tr} \; \mathcal O^{-s}\ .</math>
+:<math> \zeta_{\mathcal O}(s) = \operatorname{tr} \mathcal O^{-s}</math>
-変数の s に対し、上記の作用素の表現が存在する範囲で定義され、他の s の値に対してはこの函数の[[解析接続]]として表現される．ここに tr は函数の[[跡 (線型代数学)|トレース]]を表す．
+の右辺が存在するような ''s'' に対してはこの式で、他の ''s'' の値に対してはこの函数の[[解析接続]]として定義される。ここに tr は函数の[[跡 (線型代数学)|トレース]]を表す。
-ゼータ函数は、次の式で作用素 <math>\mathcal O</math> の[[固有値]] <math>\lambda_i</math> の'''スペクトルのゼータ函数'''(spectral zeta function)<ref>Lapidus & van Frankenhuijsen (2006) "Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings" http://www.drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/Fractal/FractalGeometryComplexDimensionsZetaFunctions.pdf p.23</ref> としても表現できる．
+ゼータ函数は、次の式で作用素 <math>\mathcal O</math> の[[固有値]] <math>\lambda_i</math> によって'''スペクトルのゼータ函数'''(spectral zeta function)<ref>Lapidus & van Frankenhuijsen (2006) "Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings" http://www.drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/Fractal/FractalGeometryComplexDimensionsZetaFunctions.pdf p.23</ref> としても表現できる。
 :<math> \zeta_{\mathcal O}(s) = \sum_{\lambda_i} \lambda_i^{-s}\ .</math>
-この式は[[汎函数行列式]]を厳密に定義することに使われる．作用素の行列式は
+これは[[汎函数行列式]]を厳密に定義することに使われる。それは
 :<math> \det \mathcal O := e^{-\zeta'_{\mathcal O}(0)} \;</math>
-で与えられる．
+で与えられる。
-[[ミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数]]は、作用素がコンパクト[[リーマン多様体]]の[[ラプラシアン]]の場合の例である．
+[[ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数]]は、作用素がコンパクト[[リーマン多様体]]の[[ラプラシアン]]の場合の例である。
-また、この考え方は、[[ゼータ函数正規化]]や[[解析的トーション]]に適用される．
+また、この考え方は、[[ゼータ函数正規化]]や[[解析的トーション]]に適用される。
-さらに、作用素のゼータ函数は、代数幾何学的に一般化された[[熱核|熱核の方法]]とともに、{{仮リンク|アラケロフ理論|en|Arakelov theory}}(Arakelov theory)の重要な動機の一つになっている。<ref>{{citation | last=Soulé | first= C. | title=Lectures on Arakelov geometry | series= Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume= 33 | publisher=Cambridge University Press | place=Cambridge | year= 1992 | pages= viii+177 | isbn= 0-521-41669-8
+さらに、代数幾何学的に一般化された[[熱核|熱核の方法]]とともに、作用素のゼータ函数は、{{仮リンク|アラケロフ理論|en|Arakelov theory}}の最も重要な動機の一つになっている。<ref>{{citation | last=Soulé | first= C. | title=Lectures on Arakelov geometry | series= Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume= 33 | publisher=Cambridge University Press | place=Cambridge | year= 1992 | pages= viii+177 | isbn= 0-521-41669-8
 |mr=1208731 | author2= with the collaboration of D. Abramovich, J.-F. Burnol and J. Kramer}}</ref>
-<!---The '''[[zeta function (disambiguation)|zeta function]] of a mathematical [[operator (mathematics)|operator]]''' <math>\mathcal O</math> is a function defined as
-:<math> \zeta_{\mathcal O}(s) = \operatorname{tr} \; \mathcal O^{-s} </math>
-for those values of ''s'' where this expression exists, and as an [[analytic continuation]] of this function for other values of ''s''.  Here "tr" denotes a functional [[trace (linear algebra)|trace]].
-The zeta function may also be expressible as a '''spectral zeta function'''<ref>Lapidus & van Frankenhuijsen (2006) p.23 </ref> in terms of the [[eigenvalues]] <math>\lambda_i</math> of the operator <math>\mathcal O</math> by
-:<math> \zeta_{\mathcal O}(s) = \sum_{\lambda_i} \lambda_i^{-s} </math>.
-It is used in giving a rigorous definition to the [[functional determinant]] of an operator, which is given by
-:<math> \det \mathcal O := e^{-\zeta'_{\mathcal O}(0)} \;. </math>
-The [[Minakshisundaram–Pleijel zeta function]] is an example, when the operator is the Laplacian of a compact Riemannian manifold.
-One of important motivations for [[Arakelov theory]] is the zeta functions for operators with the method of [[heat kernel]]s generalized algebro-geometrically.<ref>{{citation | last=Soulé | first= C. | title=Lectures on Arakelov geometry | series= Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume= 33 | publisher=Cambridge University Press | place=Cambridge | year= 1992 | pages= viii+177 | isbn= 0-521-41669-8
-|mr=1208731 | author2= with the collaboration of D. Abramovich, J.-F. Burnol and J. Kramer}}</ref>
--->
 ==参考文献==
 {{reflist}}
 * {{citation | last1=Lapidus | first1=Michel L. | last2=van Frankenhuijsen | first2=Machiel | title=Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings | series=Springer Monographs in Mathematics | location=New York, NY | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2006 | isbn=0-387-33285-5 | zbl=1119.28005 }}
-*{{citation|title=Operators, Geometry and Quanta: Methods of Spectral Geometry in Quantum Field Theory |series=Theoretical and Mathematical Physics |first1=Dmitri |last1=Fursaev |first2=Dmitri |last2=Vassilevich |publisher=[[Springer-Verlag]]  |year=2011 | isbn=94-007-0204-3 | page=98 }}
+* {{citation |title=Operators, Geometry and Quanta: Methods of Spectral Geometry in Quantum Field Theory |series=Theoretical and Mathematical Physics |first1=Dmitri |last1=Fursaev |first2=Dmitri |last2=Vassilevich |publisher=[[Springer-Verlag]]  |year=2011 | isbn=94-007-0204-3 | page=98 }}
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