「ヘッケ作用素」の版間の差分
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'''ヘッケ作用素''' |
'''ヘッケ作用素'''(ヘッケさようそ、{{lang-en-short|Hecke operator}})とは、ウェイト<math>k</math>の[[正則保型形式]]に作用する[[作用素 (関数解析学)|作用素]]。[[モーデル作用素]]を拡張して定義される。 |
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== 定義 == |
== 定義 == |
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&=\sigma_{k-1}(m) a(0,f) + \sum^\infty_{n=1}\left(\sum_{d|(m,n)}d^{k-1}a\left(\frac{mn}{d^2}, f\right)\right)q^n,\end{align} |
&=\sigma_{k-1}(m) a(0,f) + \sum^\infty_{n=1}\left(\sum_{d|(m,n)}d^{k-1}a\left(\frac{mn}{d^2}, f\right)\right)q^n,\end{align} |
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</math> |
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によって定義される |
によって定義される{{Sfn|黒川他「数論Ⅱ」|p=454}}。 |
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ただし、<math>\sigma_{k}(n) := \sum_{d|n}d^k</math>{{Sfn|黒川他「数論Ⅱ」|p=390}}、また、<math>a(n,f)</math>は |
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<ref name="number_theory_2_454">黒川信重、栗原将人、斎藤毅共著「数論Ⅱ:岩澤理論と保型形式」岩波書店、2005年、ISBN 4-00-005528-3, p.454.</ref>。 |
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正則保型形式<math>f</math>のフーリエ係数である{{Sfn|黒川他「数論Ⅱ」|p=451}}。 |
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正則保型形式<math>f</math>のフーリエ係数である<ref>黒川他「数論Ⅱ」p.451.</ref>。 |
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:<math>f = \sum^\infty_{n=0} a(n,f) q^n.</math> |
:<math>f = \sum^\infty_{n=0} a(n,f) q^n.</math> |
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:<math>T_{k}(m) T_{k}(n) = T_{k}(n) T_{k} (m) = \sum_{d|(m,n)}d^{k-1} T_{k}\left(\frac{mn}{d^2}\right),</math> |
:<math>T_{k}(m) T_{k}(n) = T_{k}(n) T_{k} (m) = \sum_{d|(m,n)}d^{k-1} T_{k}\left(\frac{mn}{d^2}\right),</math> |
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を満足するので、<math>\mathbb{T}_{k}:=\mathbb{C}\left[T_{k}(m)|m=1,2\cdots\right]</math>は可換な<math>\mathbb{C}</math> |
を満足するので、<math>\mathbb{T}_{k}:=\mathbb{C}\left[T_{k}(m)|m=1,2\cdots\right]</math>は可換な<math>\mathbb{C}</math> |
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代数を構成する |
代数を構成する{{Sfn|黒川他「数論Ⅱ」|p=454}}。この<math>\mathbb{T}_{k}</math>を'''ヘッケ環'''と呼ぶ。 |
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(ただし、[[ヘッケ環]]は、制限を加えたものや、局所的な類似など他にもいろいろとある |
(ただし、[[ヘッケ環]]は、制限を加えたものや、局所的な類似など他にもいろいろとある{{Sfn|黒川他「数論Ⅱ」|p=454}}。) |
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== 出典 == |
== 出典 == |
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== 参考文献 == |
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* {{Cite book|和書 |
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|author1=黒川信重|authorlink=黒川信重 |
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|author2=栗原将人|authorlink2=栗原将人 |
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|author3=斎藤毅|authorlink3=斎藤毅 (数学者) |
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|year=2005 |
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|title=数論Ⅱ:岩澤理論と保型形式 |
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|publisher=[[岩波書店]] |
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|isbn=4-00-005528-3| |
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|ref={{Sfnref|黒川他「数論Ⅱ」}} }} |
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