電束密度

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電束密度(でんそくみつど、electric flux density)は、電磁気学におけるベクトル場のひとつを表す物理量。国際単位系における単位は[C/m²]。電場と類似した概念であるが、誘電体を含む系において、電場の発散(div)を考える際には分極電荷の影響を加味しなければならないのに対し、電束密度の発散は真電荷のみによって定まるという違いがある。電気変位(electric displacement)とも呼ばれる。

定義

電束密度D は、次のように定義される。

${\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}$

ここで、

$\varepsilon _{0}$	: 真空の誘電率
${\boldsymbol {E}}$	: 電場
${\boldsymbol {P}}$	: 分極

である。

定義の背景

誘電体による分極の影響を考慮した電場を考える際、ガウスの法則

$\int _{S}\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=q$

の右辺の電荷$q$ には、真電荷$q_{e}$ だけでなく、分極電荷$q_{d}$ を加味する必要がある。 すなわち

$\int _{S}\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=q_{e}+q_{d}$

である。しかし実際には、$q_{d}$ は分極の複雑な影響の結果として現れるものであるため、直接には扱いにくいという欠点がある。これを避けるために、真電荷による寄与のみを考慮した仮想的な場として導入されたのが電束密度である。

分極ベクトルを${\boldsymbol {P}}$ とすると、${\boldsymbol {P}}$ は「単位面積を通過した分極電荷」を表しており、

$q_{d}=-\int _{S}{\boldsymbol {P}}\cdot d{\boldsymbol {S}}$

が成り立つ。これを用いると

$\int _{S}\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=q_{e}-\int _{S}{\boldsymbol {P}}\cdot d{\boldsymbol {S}}$

ここで、右辺第2項はあくまで(分極による)電荷を表すものであり、本来は右辺に書くべき量であるが、左辺同様の面積分の形をしているため、移項してまとめることができる。

$\int _{S}(\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}})\cdot d{\boldsymbol {S}}=q_{e}$

さらに$\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}$ をまとめて${\boldsymbol {D}}$ と書けば

$\int _{S}{\boldsymbol {D}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=q_{e}$

となる。これにより、分極電荷が式の上に現れないようにすることができる。

${\boldsymbol {D}}$ の定義から

$\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}={\boldsymbol {D}}-{\boldsymbol {P}}$

すなわち、「電場(の$\varepsilon _{0}$倍)は、真電荷による寄与${\boldsymbol {D}}$と分極電荷による寄与$-{\boldsymbol {P}}$との和によって定まる」と考えることができる。${\boldsymbol {D}}$ の定義式からは、あたかも分極の影響を包含した量のように見えるが、そうではなく、「最終的な電場から、分極の寄与を差し引いたもの($\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}-(-{\boldsymbol {P}})$)」と考えるのが良い。

線形応答による近似

実際には、${\boldsymbol {P}}$ は$q_{d}$ 同様に扱いにくいという問題があるため、たとえ${\boldsymbol {D}}$ を導入しても、上式から直接${\boldsymbol {E}}$ を求めることは困難である。そこで、近似として「誘電体を定めれば、外部の真電荷の分布が異なっても、${\boldsymbol {P}}$ と${\boldsymbol {E}}$ とは互いに比例するように落ち着く」と仮定し(${\boldsymbol {P}}=\chi {\boldsymbol {E}}$)、この比例定数$\chi$(電気感受率)に分極の複雑な実態を押し込めて、その誘電体の性質として代表させる。 この仮定を${\boldsymbol {D}}$ の定義式に反映させて${\boldsymbol {E}}$ について解き直せば

${\boldsymbol {E}}={\boldsymbol {D}}/(\varepsilon _{0}+\chi )$

となり、電場が求められる。 真空中では$\chi =0$ であるので、上の等式は「誘電体を置くことで、${\boldsymbol {D}}$ と${\boldsymbol {E}}$ の比が$\varepsilon _{0}$ から$\varepsilon _{0}+\chi$ に増加した」と解釈することもできる。この$\varepsilon =\varepsilon _{0}+\chi$ を「誘電率」と呼ぶことから、$\varepsilon _{0}$は「真空の誘電率」と 呼ばれる(真空中で誘電分極が起こるわけではない)。また$\varepsilon _{r}=\varepsilon /\varepsilon _{0}$ を「比誘電率」といい、誘電率が真空のときの何倍になるかを表している。すなわち

${\boldsymbol {D}}=(\varepsilon _{0}+\chi ){\boldsymbol {E}}=\varepsilon {\boldsymbol {E}}=\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}$

の関係がある。

物質によっては、分極 P が電場 E に比例せず、非線形の項が現れることがある。そのような物質に光を当てると非線形光学効果を示す。また、異方的な物質では、分極 P が電場 E と異なる向きに生じ、誘電率 ε がテンソルになる。詳細は誘電率を参照されたい。

その他の定義

誘電体を排除することができる巨視的な荷電物体(例えば液中に置かれた小球)が受ける電磁気力の大きさを用いて電束密度を定義することも出来る。電荷 q を持った物体が受ける電磁気力を K とすると、電束密度 D は物体を取り囲む誘電体の種類によらず次式で表される。

${\boldsymbol {D}}={\frac {\varepsilon _{0}{\boldsymbol {K}}}{q}}$