単射

数学において、単射あるいは単写（たんしゃ、injective function、injection）とは、写像であって、その値域に属する元はいずれもその定義域のただ一つの元の像として表されるようなもののことをいう。

定義

写像 f: A → B が次の条件を満たすとき、 f を単射 (injection) とよぶ。あるいは f は（写像として）単射である (injective) という。（用語はブルバキによる）

任意の A の元 a₁, a₂ に対して、 a₁ ≠ a₂ ならば f(a₁) ≠ f(a₂) が成り立つ。

注意

同じことを f は 一対一の写像 であるともいうが、一対一対応 を全単射の意味で使うこともあり紛らわしく、この百科事典ではこの用語は使わない。

例

正の実数 x に対して、その自乗 x² を対応させる写像 f: R₊ → R は単射である。ただし、正の実数全体のなす集合を R₊ と表した。実際、x, y > 0 で x² = y² ならば、x = y となる。

ところがひとたびこれの定義域を実数の全体 R に拡張すると、これは単射でなくなる。実際、x, y ∈ R で x² = y² ならば、y = ±x となるから、像 x² はちょうど二つの元 ±x の像となっている。

性質

• 単射の制限は単射である。単射の拡張は単射であるとは限らない。
• 二つの単射の合成は単射である。
• 写像 f が単射ならば、f は圏論的な意味での単射 (monomorphism) （後述）である。

埋め込み

ある数学的構造をもつ二つの集合 A, B の間の準同型 f: A → B が単射ならば f の像 f(A) は B の部分系となる。もし、f: A → f(A) の逆写像がやはり準同型であるなら、これは A が B の部分系と同型となることを意味するが、これを特に埋め込み (inclusion、embedding) であるという。類似の概念としてはめ込み (immersion) がある。(<-- Fix me)

圏論的な単射

射 (morphism) f: X → Y が単射 (monomorphism) であるとは、条件

$g\circ f=h\circ f$

を満たす任意の射 g, h: Z → X に対し、g = h であるときに言う。

関連項目

• 全射
• 全単射
• 写像（関数）