ゼータ函数 (作用素)

数学的な作用素 ${\mathcal {O}}$ のゼータ函数 は次のように定義される．

$\zeta _{\mathcal {O}}(s)=\operatorname {tr} \;{\mathcal {O}}^{-s}$

変数の s に対し、上記の作用素の表現が存在する範囲で定義され、他の s の値に対するこの函数の解析接続される．ここに "tr" は函数のトレースを表す．

ゼータ函数は次の式で作用素 ${\mathcal {O}}$ の固有値 $\lambda _{i}$ でも表現可能かもしれない．

$\zeta _{\mathcal {O}}(s)=\sum _{\lambda _{i}}\lambda _{i}^{-s}$.

この式は作用素の汎函数判別式|en|functional determinantを厳密に定義することに使われる．汎函数判別式は

$\det {\mathcal {O}}:=e^{-\zeta '_{\mathcal {O}}(0)}\;.$

で与えられる．

ミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数は、作用素がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの場合の例である．

参考文献

• Fursaev, Dmitri; Vassilevich, Dmitri (2011), Operators, Geometry and Quanta: Methods of Spectral Geometry in Quantum Field Theory, Theoretical and Mathematical Physics, Springer-Verlag, p. 98, ISBN 94-007-0204-3