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数学では、とくに群 (数学)や代数の表現論では、代数構造が既約表現（きやくひょうげん、irreducible representation もしくは irrep）とは、ゼロ表現ではない固有の閉じた部分表現を持たない表現を言う。

エルミートなベクトル空間 V 上の全ての有限次元のユニタリ表現は、既約表現の直和である。既約表現はいつも分解不可能(indecomposable)（つまりこれ以上、他の表現の直和には分解できない）なので、これらの（既約とユニタリ）言葉は混乱することがある。しかし、一般には、可約だが分解不可能な表現が多く存在する。例えば、上半三角冪ゼロ行列(upper triangular unipotent matrices)が作用している場合の実数の 2次元表現が例である。

歴史

群の表現論は、1940年代にリチャード・ブラウアー（英語版）(Richard Brauer)により一般化され、モジュラー表現論(modular representation theory)として構成され、そこでは行列作用素が、実数や複素数のベクトルというよりは、むしろ任意の標数の体 K の上に作用する。結果として現れる理論では既約表現に似た構造が、単純加群(simple module)である^[要出典]。

オーバービュー

詳細は「群の表現」を参照

ρ を群 G の表現 ρ: G → GL(V) とする。ここの V は体 F 上のベクトル空間である。V の基底 B をとると、ρ は群から可逆な行列の集合の上への函数（準同型）と考えることができ、この脈絡では行列表現(matrix representation)と呼ぶ。しかし、空間 V が基底を持たないと考えると問題を非常に単純化したことになる。

線型部分空間 $W\subset V$ は、任意の $g\in G$ と任意の $w\in W$ に対して $gw\in W$ が成り立つときは、G-不変という。ρ の G-不変部分空間 $W\subset V$ への制限は、部分表現(subrepresentation)として知られている。表現 ρ: G → GL(V) は、自明な部分表現しか持たないとき（全ての表現が自明な G-不変部分空間を持つ部分空間を作ることが可能な場合、例えば、ベクトル空間 V と{0}（英語版）となる場合）、既約(irreducible)という。もし、固有な非自明な不変部分空間が存在するときは、ρ を可約(reducible)であるという。

群の表現の記法と用語

「表現する」という用語がこの脈絡では特別な意味を持っているが、群の元は行列により表現することができる。群の表現は、群の元から行列の一般線型群への写像である。記法として、a, b, c... を群 G の元を表し、群の積は何のシンボルもつ使用しない。すると ab は a と b の群の積であり、これも G の元である。表現を D によって表すとしよう。a の表現は、

D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}

と書かれる。この書き方は解析学や線型代数の中で函数の記法と同じである。群表現の定義により、群の積の表現は表現の行列の積へ翻訳される。

D(ab)=D(a)D(b).

e を群の単位元とすると（従って ae = ea = a などとなる）、D(e) は単位行列、もしくは、単位行列のブロック行列と同一視できる。理由は、

D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)

であり、同じことが他の群の元全てについて成り立つからである。

分解可能表現と分解不可能表現

表現が分解可能とは、行列の相似(similar matrix) P を見つけて、行列相似変換できるときをいう。^[1]

D(a)\rightarrow P^{-1}D(a)P

これは全ての対角化可能行列やブロック行列の同じパターンの中への表現では、全ての行列を対角化する。つまり、各々のブロックは、互いに独立な群の表現となっている。表現 D(a) と P⁻¹D(a)P は同値表現(equivalent representations)という。^[2] 表現がk 個の直和（英語版）とは、

D(a)={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)

であることを言うので、この場合は、D(a) が分解可能(decomposable)であることとなる。括弧なしで数字ラベルを記載する人もいるが、n = 1, 2, ..., k に対して D⁽ⁿ⁾(a) のように、括弧の中の数字によって分解された行列をラベリングするのが通例である。

D(a) の次元はブロックの次元の和である。

\mathrm {dim} [D(a)]=\mathrm {dim} [D^{(1)}(a)]+\mathrm {dim} [D^{(2)}(a)]+\ldots +\mathrm {dim} [D^{(k)}(a)]

これが不可能であれば、表現は分解不可能である。^[1]^[3]

理論物理や化学への応用

「量子力学での対称性（英語版）」および「ヤーン・テラー効果」も参照

量子力学や量子化学では、ハミルトニアンの縮退した固有状態の各々が、ハミルトニアンの対称群の表現を生成する。偶然にも縮退がない場合は既約表現に対応する。従って、既約表現を特定することは状態をラベリングし、どのように摂動の下でそれらが分解（英語版）するかを予測し、ゼロでない遷移要素を予測することができる。

量子力学では、選択規則(selection rule)を持つ系のエネルギーレベルのラベリングは、群の対称性の既約表現により決定される。^[4]

リー群

詳細は「リー群の表現論（英語版）」を参照

ローレンツ群

詳細は「ローレンツ群の表現論（英語版）」を参照

J を回転の生成子、K を励起の生成子としたとき、D(K) と D(J) の既約表現はローレンツ群のスピン表現を作ることに使うことができる。なぜならば、量子力学のスピン行列と関係しているからである。このことから相対論的波動方程式（英語版）を導出することができる。^[5]

参照項目

リー群

脚注

参考文献

H. Weyl (1950). The theory of groups and quantum mechanics. Courier Dover Publications. p. 203

A. D. Boardman, D. E. O'Conner, P. A. Young (1973). Symmetry and its applications in science. McGraw Hill. ISBN 0-07-084011-3

V. Heine (republished: 2007 original: 1960). Group theory in quantum mechanics: an introduction to its present usage. Dover. ISBN 0-07-084011-3

V. Heine (1993). Group Theory in Quantum Mechanics: An Introduction to Its Present Usage. Courier Dover Publications. ISBN 048-6675-858

E. Abers (2004). Quantum Mechanics. Addison Wesley. p. 425. ISBN 978-0-13-146100-0

B. R. Martin, G.Shaw. Particle Physics (3rd ed.). Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. pp. 3. ISBN 978-0-470-03294-7

Weinberg, S (1995), The Quantum Theory of Fields, 1, Cambridge university press, pp. 230–231, ISBN 0-521-55001-7
Weinberg, S (1996), The Quantum Theory of Fields, 2, Cambridge university press, ISBN 0-521-55002-7{{ISBN2}}のパラメータエラー: 無効なISBNです。
Weinberg, S (2000), The Quantum Theory of Fields, 3, Cambridge university press, ISBN 0-521-66000-9
R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1

P. W. Atkins (1970). Molecular Quantum Mechanics (Parts 1 and 2): An introduction to quantum chemistry. 1. Oxford University Press. pp. 125–126. ISBN 0-19-855129-0

参考論文

Bargmann, V.; Wigner, E. P. (1948). “Group theoretical discussion of relativistic wave equations”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 34 (5): 211–23.
E. Wigner (1937). “On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group”. Annals of Mathematics 40 (1): 149.

参考ウェブ

Artin, Michael (1999年). “Noncommutative Rings”. 2013年12月11日閲覧。

外部リンク

[Wigner_p_73-1] E.P. Wigner (1959). Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra. Pure and applied physics. Academic press. p. 73

[2] W.K. Tung (1985). Group Theory in Physics. World Scientific. p. 32. ISBN 997-1966-565

[Tung_33-3] W.K. Tung (1985). Group Theory in Physics. World Scientific. p. 33. ISBN 997-1966-565

[4] “A Dictionary of Chemistry, Answers.com”. Oxford Dictionary of Chemistry. 2013年12月16日閲覧。

[5] T. Jaroszewicz, P.S Kurzepa (1992年). “Geometry of spacetime propagation of spinning particles”. Annals of Physics (California, USA)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ 39行目: / 39行目: @@
 \end{pmatrix}</math>
-と書かれる。この書き方は[[解析学]]や[[線型代数]]の中で[[函数 (数学)|函数]]の記法と同じである。群表現の定義により、群の積の表現は表現の{{仮リンク|行列の積|en|matrix multiplication}}へ翻訳される。
+と書かれる。この書き方は[[解析学]]や[[線型代数]]の中で[[函数 (数学)|函数]]の記法と同じである。群表現の定義により、群の積の表現は表現の{{仮リンク|行列の積<!-- リダイレクト先の「[[行列#行列の積]]」は、[[:en:Matrix (mathematics)]] とリンク -->|en|matrix multiplication}}へ翻訳される。
 :<math>D(ab) = D(a)D(b).</math>