ゼータ函数 (作用素)

作用素 ${\mathcal {O}}$ のゼータ函数 は次のように定義される．

$\zeta _{\mathcal {O}}(s)=\operatorname {tr} \;{\mathcal {O}}^{-s}\ .$

変数の s に対し、上記の作用素の表現が存在する範囲で定義され、他の s の値に対してはこの函数の解析接続として表現される．ここに tr は函数のトレースを表す．

ゼータ函数は、次の式で作用素 ${\mathcal {O}}$ の固有値 $\lambda _{i}$ のスペクトルのゼータ函数(spectral zeta function) としても表現できる．

$\zeta _{\mathcal {O}}(s)=\sum _{\lambda _{i}}\lambda _{i}^{-s}\ .$

この式は汎函数行列式を厳密に定義することに使われる．作用素の行列式は

$\det {\mathcal {O}}:=e^{-\zeta '_{\mathcal {O}}(0)}\;$

で与えられる．

ミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数は、作用素がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの場合の例である．

また、この考え方は、ゼータ函数正規化や解析的トーションに適用される．

さらに、作用素のゼータ函数は、代数幾何学的に一般化された熱核の方法とともに、アラケロフ理論(Arakelov theory)の重要な動機の一つになっている。

参考文献

• Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (2006), Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings, Springer Monographs in Mathematics, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-33285-5, Zbl 1119.28005 
• Fursaev, Dmitri; Vassilevich, Dmitri (2011), Operators, Geometry and Quanta: Methods of Spectral Geometry in Quantum Field Theory, Theoretical and Mathematical Physics, Springer-Verlag, p. 98, ISBN 94-007-0204-3